2020年度｜問1｜公式PDF p.2 未着手
小数のわり算と計算の順序
計算・単位 → 整数・小数の計算順序と位取り → かっこ内では、かけ算・わり算を足し算より先に行います。わり算の答えを分数にするときは、割られる数と割る数を分数に直して約分します。
この問題の見方：6.6を割る前に、かっこ内の「4×6」と「18÷2」をそれぞれ計算します。6.6÷33になったら、33と6.6の関係に注目します。
使う工夫：計算順序を守って割る数を33にまとめます。その後、6.6を66/10と見て先に33で約分すれば、筆算を使わず分数にできます。
段階ヒント
ヒント1：かっこの中では、4×6と18÷2のどちらも先に計算します。
ヒント2：かっこ内を33にまとめ、6.6＝66/10として「66/10÷33」を考えましょう。
完全解説
1. かっこ内では、かけ算・わり算が先です。4×6＝24、18÷2＝9と求めます。 2. 24＋9＝33なので、もとの式は6.6÷33です。 3. 分数で答えるため、6.6＝66/10と直します。すると、66/10÷33＝66/10×1/33です。 4. 66と33を先に約分すると2/10となり、さらに約分して1/5です。
本番の書き方
4×6＋18÷2＝24＋9＝33
6.6÷33＝66/10×1/33
＝2/10＝1/5
答え：1/5
検算：逆算すると、33×1/5＝33÷5＝6.6となり、割られる数に戻ります。公式解答の1/5とも一致します。
よくあるミス：かっこ内を左から順に計算して、4×6＋18を先に足してしまう誤りです。かっこ内でも、かけ算・わり算が先です。
次に見抜く印：「かっこ＋四則」が見えたら、計算順序を確認し、最後のわり算で先に約分できる数がないか探します。
2020年度｜問2｜公式PDF p.2 未着手
分数と小数の混合計算
計算・単位 → 小数・帯分数を直して先に約分する → 分数と小数が混ざるときは、小数を分数にそろえると計算しやすくなります。分数で割る計算は、割る数の分子と分母を逆にしてかけます。
この問題の見方：0.6＝3/5、1と1/4＝5/4と直せることを確認します。特に2/5÷3/5は、同じ分母5が消えて簡単になります。
使う工夫：小数と帯分数を分数に統一し、かっこ内から計算します。最後は7/6×4/5として、かける前に2と4を約分します。
段階ヒント
ヒント1：0.6を3/5に直すと、2/5÷3/5は簡単にできます。
ヒント2：かっこ内は1/2＋2/3です。これを通分した後、5/4で割る計算に進みましょう。
完全解説
1. 0.6＝3/5なので、2/5÷0.6＝2/5÷3/5です。 2. 割る数を逆にして、2/5×5/3＝2/3。5が約分で消えます。 3. かっこ内は1/2＋2/3＝3/6＋4/6＝7/6です。 4. 1と1/4＝5/4なので、7/6÷5/4＝7/6×4/5。2で約分すると14/15です。
本番の書き方
0.6＝3/5、1と1/4＝5/4
1/2＋2/5÷3/5＝1/2＋2/3＝7/6
7/6×4/5＝14/15
答え：14/15
検算：14/15×5/4＝7/6です。さらに7/6－1/2＝2/3、2/3×0.6＝0.4＝2/5となり、もとの式を逆にたどれます。公式解答とも一致します。
よくあるミス：2/5÷3/5を2/5×3/5とする誤りです。わり算では、割る数だけを逆数にします。
次に見抜く印：小数・分数・帯分数が混ざったら、まず分数に統一し、積を出す前に約分できる組を探します。
2020年度｜問3｜公式PDF p.2 未着手
分配法則を使う小数計算
計算・単位 → 共通因数をまとめる分配法則 → 同じ数をかけている項は、分配法則の逆を使ってまとめられます。共通する数を見つけると、計算全体で1や10を作れることがあります。
この問題の見方：前半の2項には0.3、後半の2項には1.7が共通しています。また、0.8＋0.9＝1.7、0.3＋0.7＝1になることに注目します。
使う工夫：0.3をまとめて1.7を作り、後半も1.7でまとめます。最後に0.3＋0.7＝1を作れば、4回の小数のかけ算をしなくて済みます。
段階ヒント
ヒント1：最初の2項から0.3を、後ろの2項から1.7をくくり出してみましょう。
ヒント2：前半は0.3×（0.8＋0.9）、後半は（0.2＋0.5）×1.7です。どちらにも1.7が現れます。
完全解説
1. 最初の2項は0.3×0.8＋0.3×0.9＝0.3×（0.8＋0.9）とまとめられます。 2. 0.8＋0.9＝1.7なので、前半は0.3×1.7です。 3. 後半は0.2×1.7＋0.5×1.7＝（0.2＋0.5）×1.7＝0.7×1.7です。 4. 全体は（0.3＋0.7）×1.7＝1×1.7＝1.7です。
本番の書き方
＝0.3×（0.8＋0.9）＋（0.2＋0.5）×1.7
＝0.3×1.7＋0.7×1.7
＝（0.3＋0.7）×1.7＝1.7
答え：1.7
検算：別々に計算すると0.24＋0.27＋0.34＋0.85＝0.51＋1.19＝1.70です。まとめた計算と公式解答の1.7に一致します。
よくあるミス：0.3×0.8＋0.3×0.9を0.3×0.8×0.9とする誤りです。共通因数でまとめたとき、かっこ内は足し算のままです。
次に見抜く印：同じ数をかけた項が複数あったら共通因数を探し、かっこ内や係数どうしで1・10を作れないか確認します。
2020年度｜問4｜公式PDF p.2 未着手
逆算を使った分数計算
計算・単位 → □をひとまとまりにして逆の順に戻す → □が割る数の位置にある「A÷□＝B」では、□＝A÷Bです。複雑な式は、答え側から計算を逆向きにたどります。
この問題の見方：まず3と1/4－1と3/5を計算します。次に、最後の「×12と5/6」を17と1/2から逆算すると、□で割った直後の数が分かります。
使う工夫：帯分数を仮分数に直し、右端から逆算します。大きな積を一度に作らず、35/2÷77/6や33/20÷15/11で先に約分します。
段階ヒント
ヒント1：17と1/2から、最後にかけた12と5/6を取り除くには、何で割ればよいでしょう。
ヒント2：差は33/20です。□で割った直後の数を「35/2÷77/6」で求めてから、「33/20÷□」との関係を使います。
完全解説
1. 3と1/4－1と3/5＝13/4－8/5＝65/20－32/20＝33/20です。 2. 12と5/6＝77/6、17と1/2＝35/2と直します。 3. □で割った直後の数は、35/2÷77/6＝35/2×6/77＝15/11です。 4. したがって33/20÷□＝15/11です。「A÷□＝B」では□＝A÷Bなので、33/20÷15/11を計算します。 5. 33/20×11/15＝121/100＝1.21です。
本番の書き方
3と1/4－1と3/5＝33/20
35/2÷77/6＝15/11
□＝33/20÷15/11
＝121/100＝1.21
答え：1.21
検算：33/20÷1.21＝15/11です。これに77/6をかけると15/11×77/6＝35/2＝17と1/2になり、もとの式と公式解答の両方に一致します。
よくあるミス：「33/20÷□＝15/11」から、□＝15/11÷33/20としてしまう誤りです。割る数を求めるときは「割られる数÷商」です。
次に見抜く印：□がわり算記号の後ろにある式を見たら、右端から逆算し、最後に「割られる数÷商」で□を求めます。
2020年度｜問5｜公式PDF p.3 未着手
分数の分数の計算
計算・単位 → 入れ子の分数を内側から計算する → 分母の中にさらに分数がある連分数は、最も内側の計算から外側へ進みます。長い分数線の下全体を、ひとまとまりの分母として扱います。
この問題の見方：分数線の長さを確認し、一番内側の「1＋1/7」から始めます。その結果が、次の「1÷」の割る数になります。
使う工夫：内側から順に「1＋1/7」「1÷その結果」「1＋その結果」「1÷分母全体」と4段階に分けます。各段階を1行ずつ書いて構造を崩しません。
段階ヒント
ヒント1：まず、最も内側にある1＋1/7だけを計算しましょう。
ヒント2：1＋1/7＝8/7なので、その外側は1÷8/7です。これを計算して、外側の1に足します。
完全解説
1. 最も内側は1＋1/7＝8/7です。 2. その外側の小さい分数は1÷8/7＝1×7/8＝7/8です。 3. 大きい分数の分母全体は1＋7/8＝15/8になります。 4. 最後に、分子の1を分母全体15/8で割ります。1÷15/8＝1×8/15＝8/15です。
本番の書き方
1＋1/7＝8/7
1÷8/7＝7/8
1＋7/8＝15/8
1÷15/8＝8/15
答え：8/15
検算：答えから内側を組み直すと、1＋1/7＝8/7、1÷8/7＝7/8、1＋7/8＝15/8となり、1÷15/8＝8/15です。公式解答とも一致します。
よくあるミス：分数線の下の「1＋…」の1を分母に含めず、別に足してしまう誤りです。分数線の下全体を一つのかっこと見ます。
次に見抜く印：分母の中に分数が重なる形を見たら、短い分数線から長い分数線へ、内側から1段ずつ計算します。
2020年度｜問6｜公式PDF p.3 未着手
紙を重ねた厚さ
計算・単位 → 長さ・重さ・体積の単位をそろえる → 同じ厚さの紙を重ねた全体の厚さは、1枚の厚さ×枚数です。mmからmへ直すときは、1000mm＝1mを使って1000で割ります。
この問題の見方：「1枚0.5mm」と「2020枚」を見て、まず全体をmmで求めます。答えはmなので、最後に1000mm＝1mで換算します。
使う工夫：0.5を1/2と見て、0.5×2020を2020÷2に置き換えます。小数の筆算を避け、単位換算は最後に1回だけ行います。
段階ヒント
ヒント1：0.5mmは1/2mmです。2020の半分を考えましょう。
ヒント2：全体の厚さは0.5×2020mmです。求めたmmを1000で割るとmになります。
完全解説
1. 紙はすべて同じ厚さなので、全体の厚さは0.5mm×2020枚で求めます。 2. 0.5は1/2ですから、0.5×2020＝2020÷2＝1010。全体は1010mmです。 3. 1000mm＝1mなので、1010mmをmに直すには1000で割ります。 4. 1010÷1000＝1.01より、重ねた厚さは1.01mです。
本番の書き方
0.5×2020＝2020÷2＝1010mm
1010÷1000＝1.01m
答え：1.01m
検算：1.01m＝1010mmです。1010mm÷2020枚＝0.5mmとなり、1枚の厚さに戻ります。公式解答の1.01mとも一致します。
よくあるミス：mmからmへ直すときに100で割る誤りです。1m＝100cmですが、1m＝1000mmです。
次に見抜く印：同じ物を多数重ねる問題は「1個分×個数」。最後に、問題の数値と答えで求められた単位が同じか確認します。
2020年度｜問7｜公式PDF p.3 未着手
64の約数の個数
数の性質 → 素因数分解で約数の個数を数える → ある数を素因数の積で表すと、約数は各素因数を何個使うかで数えられます。64＝2⁶なので、約数は2を0個から6個まで使った数です。
この問題の見方：64が2だけを6回かけた数「2⁶」であることに注目します。また、8×8になる平方数なので、中央の8を重ねて数えないようにします。
使う工夫：かけ算の組をすべて書く代わりに、2を使う個数を0個、1個、…と変えます。確認には1×64、2×32、4×16、8×8の組を使います。
段階ヒント
ヒント1：64を、素数2だけのかけ算で表してみましょう。
ヒント2：64＝2×2×2×2×2×2です。約数は、この2を何個使って作るかで区別できます。
完全解説
1. 64＝2×2×2×2×2×2＝2⁶です。 2. 約数を作るとき、2を1個も使わなければ1、1個なら2、2個なら4となります。 3. 同様に2を3個、4個、5個、6個使うと、8、16、32、64です。 4. 約数は1、2、4、8、16、32、64の7個です。8×8の8は同じ数なので、2回数えません。
本番の書き方
64＝2⁶
約数：1，2，4，8，16，32，64
よって7個
答え：7個
検算：かけ算の組は1×64、2×32、4×16、8×8です。最初の3組から6個、中央の8が1個で合計7個となり、公式解答と一致します。
よくあるミス：8×8を見て8を2回数え、約数を8個とする誤りです。平方数の中央の約数は1回だけ数えます。
次に見抜く印：「約数は全部で何個」と聞かれたら素因数分解を考え、平方数なら中央の約数の重複にも注意します。
2020年度｜問8｜公式PDF p.3 未着手
円の面積から直径を求める
平面図形 → 半径・中心角から面積を求める → 円の面積は「半径×半径×3.14」です。面積を3.14で割ると半径×半径が分かり、その平方数から半径を求めて2倍すると直径になります。
この問題の見方：153.86cm²と円周率3.14を見て、153.86÷3.14が「半径×半径」になると判断します。問題が求めているのは半径ではなく直径です。
使う工夫：3.14×50＝157を基準にします。153.86は157より3.14だけ小さいため、153.86÷3.14＝50－1＝49と素早く求められます。
段階ヒント
ヒント1：面積を3.14で割ると、半径を2回かけた数になります。
ヒント2：3.14×50＝157です。153.86は157より3.14だけ小さいので、商は50より1小さくなります。
完全解説
1. 円の面積＝半径×半径×3.14なので、半径×半径＝153.86÷3.14です。 2. 3.14×50＝157で、153.86＝157－3.14です。したがって153.86÷3.14＝50－1＝49です。 3. 半径×半径＝49となるので、半径は7cmです。 4. 求めるのは直径ですから、7×2＝14cmです。
本番の書き方
半径×半径＝153.86÷3.14
＝50－1＝49
半径＝7cm
直径＝7×2＝14cm
答え：14cm
検算：半径7cmとして面積を戻すと、7×7×3.14＝49×3.14＝153.86cm²です。与えられた面積に戻り、公式解答の14cmとも一致します。
よくあるミス：半径7cmを求めたところで終える誤りです。最後に、問われているのが半径か直径かを読み直します。
次に見抜く印：円の面積から長さを求める問題では、面積÷3.14で平方数を作り、「半径か直径か」を最後に確認します。
2020年度｜問9｜公式PDF p.4 未着手
時間の分数
割合・比 → 割合から元の量・残りの量を求める → 全体の2/3が分かっているときは、全体を3等分したうちの2個分と考えます。2個分から1個分を求め、3個分へ戻します。
この問題の見方：「□時間の2/3倍が64分」を、3等分したうち2個分が64分と読み替えます。時間と分が混ざるため、まず分のまま全体を求めます。
使う工夫：64分を2個分と見て、64÷2×3と計算します。先に2で割るため大きな分数を作らず、最後だけ60分＝1時間で帯分数に直します。
段階ヒント
ヒント1：64分は、□時間を3等分したうちの2個分です。まず1個分を求めましょう。
ヒント2：全体の分数は64÷2×3で求められます。その後、60分で1時間になることを使います。
完全解説
1. □時間を3等分すると、その2個分が64分です。 2. 1個分は64÷2＝32分です。 3. 全体は3個分なので、32×3＝96分です。 4. 96分を時間に直すと96/60時間＝8/5時間です。 5. 8/5＝1と3/5なので、□に入る帯分数は1と3/5です。
本番の書き方
全体＝64÷2×3＝96分
96分＝96/60時間
＝8/5時間＝1と3/5時間
答え：1と3/5時間
検算：1と3/5時間＝96分です。96×2/3＝64分となって問題の条件に戻り、公式解答の1と3/5とも一致します。
よくあるミス：64×2/3として、さらに小さい量を求める誤りです。64分はすでに2個分なので、2で割ってから3倍して全体へ戻します。
次に見抜く印：「ある量の○分の△が分かる」という形では、分かっている△個分を△で割り、分母の個数まで増やして全体を求めます。
2020年度｜問10｜公式PDF p.4 未着手
まちがえた計算の訂正
計算・単位 → □をひとまとまりにして逆の順に戻す → 計算方法を取り違えた問題では、まず誤った計算と結果から、もとの数を逆算します。その後、問題文どおりの正しい計算を行います。
この問題の見方：「3.5を足すはず」「2.5をかけた」「答えが1.5」の3点を分けて読みます。1.5は正しい答えではなく、誤ったかけ算の結果です。
使う工夫：誤算を逆算して、もとの数を1.5÷2.5で求めます。小数点を両方10倍して15÷25＝3/5とすれば、筆算なしで0.6が得られます。
段階ヒント
ヒント1：誤った計算は「ある数×2.5＝1.5」です。まず、かける前の数に戻しましょう。
ヒント2：もとの数は1.5÷2.5で求められます。その数が分かったら、予定どおり3.5を足します。
完全解説
1. 誤った計算では、ある数に2.5をかけて1.5になっています。 2. もとの数は逆算して1.5÷2.5です。両方を10倍すると15÷25＝3/5＝0.6となります。 3. 本来は、その0.6に3.5を足す計算でした。 4. したがって正しい計算は0.6＋3.5＝4.1です。誤った答え1.5に3.5を足すのではありません。
本番の書き方
もとの数＝1.5÷2.5
＝15÷25＝0.6
正しい答え＝0.6＋3.5＝4.1
答え：4.1
検算：正しい答えから3.5を引くと4.1－3.5＝0.6です。この0.6に誤って2.5をかけると0.6×2.5＝1.5となり、問題の誤算と公式解答の4.1を確認できます。
よくあるミス：誤った答え1.5に3.5を足してしまう誤りです。1.5から先に、計算前のもとの数へ戻す必要があります。
次に見抜く印：「足すはずをかけた」などの誤算問題では、誤った演算と結果からもとの数を復元し、その後で正しい演算を行います。
2020年度｜問11｜公式PDF p.4 未着手
差と平均から大きい整数を求める
特殊算 → 平均×個数で合計と差を求める → 平均×個数で合計を求めます。2数の合計に差を足すと大きい数の2倍になるので、最後に2で割ります。
この問題の見方：「平均531」と「差206」を見たら、まず2つの整数の合計を531×2で作ります。
使う工夫：2つの整数を順に探さず、「合計＋差」で小さい整数を消去します。大きい整数だけを最短で求められます。
段階ヒント
ヒント1：平均531は1個分の大きさです。整数が2つあるので、先に2つの合計へ直しましょう。
ヒント2：合計に差206を足すと、大きい整数が2個分になります。式は（531×2＋206）÷2です。
完全解説
1. 531×2＝1062。これは2つの整数の合計です。 2. 合計は「大きい整数＋小さい整数」、差206は「大きい整数−小さい整数」です。 3. この2つを足すと小さい整数が消え、大きい整数の2倍になります。 4. （1062＋206）÷2＝1268÷2＝634。したがって、大きい整数は634です。
本番の書き方
531×2＝1062
（1062＋206）÷2＝634
答え：634
検算：小さい整数は634−206＝428。634＋428＝1062、1062÷2＝531となり、差と平均の両方を満たします。公式解答634とも一致します。
よくあるミス：531＋206＝737とすること。531は小さい整数ではなく、2つの整数の平均です。
次に見抜く印：「2数の平均」と「2数の差」が出たら、合計＝平均×2を作り、合計と差を足す方法を使います。
2020年度｜問12｜公式PDF p.4 未着手
直方体の表面積
立体図形 → 面の組と展開図から表面積を求める → 直方体には同じ大きさの面が2枚ずつ、全部で3組あります。表面積は「3種類の面積の和×2」で求めます。
この問題の見方：縦1cm、横2cm、高さ3cmから、1×2、2×3、1×3の3種類の長方形を見つけます。
使う工夫：6面を1枚ずつ足さず、向かい合う同じ面を組にします。分配法則を使い、2×（1×2＋2×3＋1×3）とまとめます。
段階ヒント
ヒント1：上と下、前と後、右と左は、それぞれ同じ面積です。まず異なる3種類の面だけを考えましょう。
ヒント2：3種類の面積は1×2、2×3、1×3です。それぞれ2枚あるので、2×（1×2＋2×3＋1×3）となります。
完全解説
1. 縦1cm・横2cmの面は1×2＝2cm²です。 2. 横2cm・高さ3cmの面は2×3＝6cm²です。 3. 縦1cm・高さ3cmの面は1×3＝3cm²です。 4. それぞれ向かい合う面が2枚ずつあるので、2×（2＋6＋3）＝2×11＝22cm²です。
本番の書き方
1×2＝2、2×3＝6、1×3＝3
2×（2＋6＋3）＝22cm²
答え：22cm²
検算：面ごとに数えると、2cm²が2枚、6cm²が2枚、3cm²が2枚なので、4＋12＋6＝22cm²です。公式解答22cm²と一致します。
よくあるミス：1×2×3＝6とすること。これは体積であり、表面積ではありません。また、底面や裏面を数え忘れないようにします。
次に見抜く印：直方体の表面積では、「異なる3種類の面」と「同じ面が2枚ずつ」を見つけます。
2020年度｜問13｜公式PDF p.5 未着手
りんごとみかんの値段
特殊算 → 同じ量をそろえて差をとる → 2つの買い方を足すと1組の値段、引くと2品の値段の差を作れることがあります。「和と差」から一方の値段を求めます。
この問題の見方：りんごとみかんの個数が、2個・3個から3個・2個へ入れ替わっている点と、代金が500円から550円へ50円増えている点を見ます。
使う工夫：2条件を足して「りんご1個＋みかん1個」の値段を作り、引いて「りんご1個−みかん1個」の値段を作ります。文字の方程式を使わない消去算です。
段階ヒント
ヒント1：2つの買い方を足すと、りんごもみかんも5個ずつになります。また、2つの買い方の差は、りんご1個とみかん1個の値段の差です。
ヒント2：1個ずつの和は（500＋550）÷5、値段の差は550−500です。りんご1個は、この和と差を足して2で割ります。
完全解説
1. 2つの条件を足すと、りんご5個とみかん5個で500＋550＝1050円です。 2. よって、りんご1個とみかん1個の合計は1050÷5＝210円です。 3. 2つ目はりんごが1個多く、みかんが1個少ないため、550−500＝50円は「りんご1個−みかん1個」です。 4. 和210円に差50円を足すと、りんご2個分になります。 5. （210＋50）÷2＝130円です。
本番の書き方
（500＋550）÷5＝210円
550−500＝50円
（210＋50）÷2＝130円
答え：130円
検算：みかんは210−130＝80円。130×2＋80×3＝500円、130×3＋80×2＝550円となり、両方の条件を満たします。公式解答130円と一致します。
よくあるミス：550−500＝50円を、そのままりんご1個の値段にすること。50円はりんごとみかんの値段の差です。
次に見抜く印：2種類の品物の個数が入れ替わる代金問題では、条件の和で1組の値段、差で2品の値段の差を作れないか調べます。
2020年度｜問14｜公式PDF p.5 未着手
割増しと割引き
割合・比 → 割増し・値引きの割合を続けてかける → 割合による増減を続けるときは、増減率を足し引きせず、変化後の量を順に考えます。同じ2割でも、増やす前と減らす前では基準の値段が違います。
この問題の見方：「2割増しの2割引き」と「8円引き」が同じ金額になるので、元の値段を100としたとき最後にいくつ残るかを見ます。
使う工夫：元の値段を100等分した比で考えます。100→120→96となるので、元の値段との差4に8円を対応させます。
段階ヒント
ヒント1：元の値段を100とすると、2割増しの値段は120です。この120から2割を引いた値を考えましょう。
ヒント2：120の2割は24なので、最後は96です。元の100との差4が8円に当たります。
完全解説
1. 元の値段を100とすると、2割増し後は100＋20＝120です。 2. 次の2割引きは、元の100ではなく120を基準にするので、120−120×0.2＝96です。 3. つまり「2割増しの2割引き」は、元の値段100から4だけ安い金額です。 4. この4に当たる金額が8円なので、1に当たる金額は8÷4＝2円です。 5. 元の100に当たる値段は2×100＝200円です。
本番の書き方
100→120→96
100−96＝4
8÷4×100＝200円
答え：200円
検算：200円を2割増しすると240円、その2割引きは240−48＝192円です。200−8＝192円とも一致し、公式解答は200円です。
よくあるミス：2割増しと2割引きが打ち消し合うと考えること。2回目の2割は、増額後の120を基準にします。
次に見抜く印：「○割増しのあと○割引き」とあれば、同じ割合でも打ち消さず、100を基準に順番どおり変化させます。
2020年度｜問15｜公式PDF p.5 未着手
食塩水を混ぜた濃度
割合・比 → 食塩量を保存して混合する → 食塩の量は「食塩水の重さ×濃度」で求め、混ぜても変わりません。途中で一部だけを使うときは、その部分に含まれる食塩も同じ割合で取り出します。
この問題の見方：最初に水100gと8％の食塩水100gでAを作り、そのAのうち100gだけを次に使うという2段階を区別します。
使う工夫：濃度を直接平均せず、食塩の重さを追います。Aは200gになり、次に使う100gはちょうど半分なので、食塩量も半分にできます。
段階ヒント
ヒント1：水100gに食塩は含まれません。まず、8％の食塩水100gに含まれる食塩の重さを求めましょう。
ヒント2：A全体200gに食塩は8gあります。次に使うA100gにはその半分が入り、6％の食塩水100gには食塩が6g入ります。
完全解説
1. 8％の食塩水100gに含まれる食塩は100×0.08＝8gです。水100gには食塩がないので、Aは全体200g、食塩8gです。 2. 次に使うA100gは全体の半分なので、含まれる食塩も8÷2＝4gです。 3. 6％の食塩水100gには100×0.06＝6gの食塩があります。 4. Bは全体200g、食塩は4＋6＝10gです。 5. 10÷200×100＝5％です。
本番の書き方
Aの食塩＝100×0.08＝8g
A100gの食塩＝8÷2＝4g
（4＋6）÷200×100＝5％
答え：5%
検算：B200gの5％は200×0.05＝10gで、混ぜた食塩4＋6＝10gと一致します。また、5％はAの4％と6％の間です。公式解答とも一致します。
よくあるミス：Aを200gすべて使うと考えること。Bに混ぜるのは、作ったAのうち100gだけです。
次に見抜く印：食塩水を作った後、その一部を別の食塩水と混ぜる問題では、各段階の全体量と食塩量を分けて書きます。
2020年度｜問16｜公式PDF p.5 未着手
円柱の体積比
立体図形 → 底面積比×高さ比で体積を比べる → 円周の比は半径の比と同じですが、円の面積比は半径比を2回かけた比になります。円柱の体積比は、底面積比×高さ比です。
この問題の見方：底面の円周の比4：3と、高さの比3：2を別々に見ます。円周比4：3を、そのまま底面積比にしないことが要点です。
使う工夫：実際の半径や円周率を求めず、比だけで計算します。底面積比を4²：3²に直し、高さ比3：2をかけます。
段階ヒント
ヒント1：円周は半径に比例するので、半径の比も4：3です。円の面積では、この比を何回かけるでしょう。
ヒント2：体積比は（4×4×3）：（3×3×2）です。これを簡単にしてから、①の400cm³を対応させます。
完全解説
1. 円周の比が4：3なので、①と②の底面の半径比も4：3です。 2. 円の面積は半径×半径×3.14だから、底面積比は4²：3²＝16：9です。 3. 高さの比3：2をかけると、体積比は16×3：9×2＝48：18＝8：3です。 4. ①の400cm³が8に当たるので、比の1は400÷8＝50cm³です。 5. ②は比の3だから50×3＝150cm³です。
本番の書き方
底面積比＝4²：3²＝16：9
体積比＝16×3：9×2＝8：3
400÷8×3＝150cm³
答え：150cm³
検算：②を150cm³とすると、400：150＝8：3です。また、150×8÷3＝400cm³に戻ります。公式解答150cm³と一致します。
よくあるミス：円周比4：3を底面積比にもそのまま使うこと。底面積では半径の比を2回かけます。
次に見抜く印：円柱について円周比と高さ比が与えられたら、「円周比＝半径比」「底面積比＝半径比の2乗」「体積比＝底面積比×高さ比」と進めます。
2020年度｜問17｜公式PDF p.6 未着手
54と144の公約数の和
数の性質 → 最大公約数と公約数を利用する → 2つの整数の公約数は、その2数の最大公約数の約数と一致します。約数は積の組で小さい方と大きい方を対にすると、漏れなく列挙できます。
この問題の見方：54と144の約数を別々に全部書く前に、144−54×2、54−36という差を使って最大公約数を求めます。
使う工夫：差を取って大きな数を小さくし、最大公約数18を出します。その後、18の約数を積の組（1,18）、（2,9）、（3,6）で並べます。
段階ヒント
ヒント1：2数の公約数を直接探すのではなく、まず54と144の最大公約数を求めましょう。差を取っても最大公約数は変わりません。
ヒント2：144−54×2＝36、54−36＝18です。18の約数を、積が18になる組にして並べましょう。
完全解説
1. 144−54×2＝36です。54と144を両方割る数は36も割るので、公約数は変わりません。 2. 54−36＝18、36は18で割り切れるため、最大公約数は18です。 3. したがって、54と144の公約数は18の約数です。 4. 18の約数を積の組で並べると、1と18、2と9、3と6です。 5. 1＋2＋3＋6＋9＋18＝39です。
本番の書き方
144−54×2＝36、54−36＝18
18の約数：1,2,3,6,9,18
和＝39
答え：39
検算：1、2、3、6、9、18はすべて54と144の両方を割り切ります。合計は39で、公式解答と一致します。
よくあるミス：144の約数である4、8、12などを加えること。求めるのは一方だけの約数ではなく、両方に共通する約数です。
次に見抜く印：「2数の公約数をすべて」や「公約数の和」とあれば、まず最大公約数を求め、その約数へ問題を置き換えます。
2020年度｜問18｜公式PDF p.6 未着手
5人の平均点
特殊算 → 人数の異なる組の合計から平均を出す → 人数の異なる組の平均は、2つの平均をそのまま平均できません。各組の人数を重みとして、合計点または基準平均との差で考えます。
この問題の見方：A・Bは2人で平均76点、C・D・Eは3人で平均71点です。76点側が2人、71点側が3人で、人数が異なることを最初に確認します。
使う工夫：71点を5人全員の基準にします。A・Bの2人だけが基準より5点ずつ高いので、その余分な10点を5人に分けます。
段階ヒント
ヒント1：まず5人全員が71点だったと考えます。実際には、AさんとBさんだけがその基準より高くなっています。
ヒント2：76−71＝5点の上乗せが2人分あります。5人の平均への上乗せは5×2÷5です。
完全解説
1. 5人全員が71点なら、5人の平均も71点です。 2. AさんとBさんの組は平均76点なので、2人は基準より平均で76−71＝5点ずつ高くなっています。 3. 余分な点数は5×2＝10点です。 4. この10点を5人全体に分けると、平均は10÷5＝2点上がります。 5. したがって、5人の平均は71＋2＝73点です。
本番の書き方
余分な点＝（76−71）×2＝10点
71＋10÷5＝73点
答え：73点
検算：合計点で確かめると、76×2＋71×3＝152＋213＝365点、365÷5＝73点です。公式解答73点と一致します。
よくあるミス：（76＋71）÷2＝73.5点とすること。2つの組は2人と3人で、同じ人数ではありません。
次に見抜く印：複数の組の平均をまとめるとき、人数が違えば加重平均です。低い平均を基準にして、平均との差×人数を配る方法が使えます。
2020年度｜問19｜公式PDF p.6 未着手
2人で行う仕事の日数
特殊算 → 全体の仕事量と1日あたりの仕事をそろえる → 仕事全体を2人の日数の最小公倍数にすると、1日分の仕事量を整数で表せます。「何日目に終わるか」は、終わるまでの時間を切り上げて考えます。
この問題の見方：Aは11日、Bは13日なので、仕事全体を11×13＝143と置きます。すると、2人の1日分を分数ではなく整数で出せます。
使う工夫：全体を143とする仕事算です。Aは1日13、Bは1日11、2人で24進むので、5日後の残りと6日目の仕事量を比べます。
段階ヒント
ヒント1：仕事全体を、11でも13でも割り切れる143と置きましょう。AとBが1日に進める量が整数になります。
ヒント2：Aは1日13、Bは1日11、2人では1日24です。5日で120進み、全体143までに残る量を調べます。
完全解説
1. 仕事全体を11×13＝143とします。 2. Aは143÷11＝13、Bは143÷13＝11の仕事を1日に進めます。 3. 2人では1日に13＋11＝24進みます。 4. 5日では24×5＝120で、143−120＝23だけ残るため、まだ終わりません。 5. 残り23は1日分の24より少ないので、次の6日目の途中で終わります。したがって6日目です。
本番の書き方
全体＝11×13＝143
1日分＝13＋11＝24
24×5＝120＜143＜24×6
よって6日目
答え：6日目
検算：正確な日数は143÷24＝5と23/24日です。5日を過ぎ、6日目の終わりより前なので6日目となり、公式解答と一致します。
よくあるミス：143÷24の整数部分5だけを見て「5日目」とすること。5日後には仕事が23残っています。
次に見抜く印：2人が別々の日数で終える仕事を一緒に行う問題では、全体を日数の最小公倍数にし、「何日間」か「何日目」かも確認します。
2020年度｜問20｜公式PDF p.6 未着手
規則に従う整数の50番目
規則性 → 一定の差からn番目・数列の和を求める → 一定の差で増える数列のn番目は「最初の数＋差×（n−1）」です。1番目からn番目までに進む回数はn回ではなくn−1回です。
この問題の見方：5、9、13、17の隣り合う数を引き、どこでも9−5＝13−9＝17−13＝4になることを見ます。
使う工夫：50個を書き並べず、初めの5から4ずつ進む回数だけを数えます。50番目までの間隔は49回です。
段階ヒント
ヒント1：この数列は、前の数にいつも同じ数を足しています。その増える数を、隣り合う2数の差から見つけましょう。
ヒント2：1番目の5から50番目までは、4を49回足します。式は5＋4×（50−1）です。
完全解説
1. 9−5＝4、13−9＝4、17−13＝4なので、この数列は4ずつ増えます。 2. 1番目から2番目へ進むときに4を1回足します。 3. したがって、1番目から50番目までは4を50−1＝49回足します。 4. 50番目は5＋4×49＝5＋196＝201です。別の見方では、5＝4×1＋1なので、50番目は4×50＋1とも求められます。
本番の書き方
増える数＝4
5＋4×（50−1）
＝5＋196＝201
答え：201
検算：201から4を49回引くと201−196＝5に戻ります。また201＝4×50＋1で、50番目の形にも合い、公式解答201と一致します。
よくあるミス：4を50回足して5＋4×50＝205とすること。1番目の5はすでにあるため、増える回数は49回です。
次に見抜く印：隣り合う数の差がすべて同じなら等差数列です。指定された番目より1少ない回数だけ差を足します。
2020年度｜問21｜公式PDF p.7 未着手
連続する整数の和
規則性 → 一定の差からn番目・数列の和を求める → 1からnまでの整数の和は、両端から組にして考えると求めやすく、1から100までなら100×101÷2です。全体から一部を取り除いたときは、まず取り除いた部分の和を求めます。
この問題の見方：「1から100まで」「残りが4893」「連続する2つの整数を除いた」に注目し、全体の和から除いた2数の和を出します。
使う工夫：1から100までの和を作り、全体から4893を引いて157を得ます。連続する2整数の和は、中央が157÷2になることを利用します。
段階ヒント
ヒント1：まず、1から100までの和を100×101÷2で求めます。
ヒント2：除いた2整数の和は5050−4893です。その和が157になる連続する2整数を探しましょう。
完全解説
①1から100までの和は、最初と最後を組にすると101の組が50組できるので、5050です。②残った整数の和が4893だから、除いた2整数の和は5050−4893=157です。③連続する2整数は、前の数に1を足した数なので、和が157になる組を探します。④78+79=157となるので、除いた整数は78と79です。
本番の書き方
1〜100の和：100×101÷2=5050
除いた和：5050−4893=157
連続2整数：78,79
答え：78と79
検算：78+79=157、さらに5050−(78+79)=4893となるので、残りの和と一致します。
よくあるミス：4893を除いた2整数の和と取り違えたり、連続する整数を77と80のように選んだりしない。
次に見抜く印：全体の和と残りの和が示され、「連続する2つを除いた」とある問題は、まず差を取ります。
2020年度｜問22｜公式PDF p.7 未着手
往復の平均の速さ
速さ → 全道のり÷全時間で平均する → 平均の速さは、速さを平均するのではなく、全道のりを全時間で割って求めます。往復では、同じ片道の道のりでも速さが違うため、単純平均は使えません。
この問題の見方：行きが時速7km、帰りが時速9kmで、往復の道のりが同じことに注目します。速さの平均ではなく、かかった時間の合計を考えます。
使う工夫：7と9の最小公倍数63kmを片道と仮定すると、時間が整数になります。往復の道のりを、行き帰りの時間の合計で割ります。
段階ヒント
ヒント1：片道を63kmとすると、7km/hと9km/hで割った時間がともに整数になります。
ヒント2：行きは63÷7時間、帰りは63÷9時間です。往復の道のり126kmを、その時間の合計で割りましょう。
完全解説
①片道を63kmとします。これは7と9の最小公倍数なので、時間の計算がしやすくなります。②行きの時間は63÷7=9時間、帰りの時間は63÷9=7時間です。③往復の道のりは63×2=126km、全時間は9+7=16時間です。④したがって平均の速さは126÷16=63÷8=7と7/8km/hです。
本番の書き方
片道63kmとする
行き9時間、帰り7時間→計16時間
全道のり126km÷16=時速7と7/8km
答え：時速7と7/8km
検算：時速7と7/8kmで16時間進むと、(63/8)×16=126kmとなり、往復の道のりに戻ります。
よくあるミス：(7+9)÷2=8km/hとすること。速さが同じ時間だけ続くとは限らないため、単純平均ではありません。
次に見抜く印：往復・行き帰りで速さが違う問題は、全道のり÷全時間。まず同じ片道の道のりを置きます。
2020年度｜問23｜公式PDF p.7 未着手
さいころの目の和
場合の数・論理 → カード・さいころの並べ方を条件で分ける → 2個のさいころを同時に投げても、「大」と「小」のように区別されていれば、出た目の順序が違う組は別の場合として数えます。
この問題の見方：2個のさいころが「大・小」と区別され、目の和が5になる条件を確認します。
使う工夫：大さいころの目を1から順に決め、そのたびに小さいさいころに必要な目を1つ対応させて、漏れなく列挙します。
段階ヒント
ヒント1：大さいころが1なら、小さいさいころは4です。大さいころを2、3、4と変えてみます。
ヒント2：組は(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)です。大・小の順で書いた組を数えましょう。
完全解説
①大さいころの目を1にすると、小さいさいころは4で、和は5です。②大が2、3、4のときは、それぞれ小が3、2、1になります。③大が5以上なら、小に0以下が必要になり、さいころの目ではありません。④したがって可能な組は(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)の4組で、答えは4通りです。
本番の書き方
大の目：1→小4
2→3、3→2、4→1
4組→4通り
答え：4通り
検算：4組をそれぞれ足すとすべて5で、さいころの目も1〜6内です。大・小を入れ替えた組も別に数えています。
よくあるミス：(1,4)と(4,1)を同じと考えたり、(5,0)まで数えたりしない。
次に見抜く印：区別された2個のさいころで和を作るときは、片方を固定して対応する目を列挙します。
2020年度｜問24｜公式PDF p.7 未着手
正五角形と正三角形の角度
平面図形 → 三角形・多角形の内角と外角 → 正五角形の1つの内角は(5−2)×180÷5=108°、正三角形の1つの角は60°です。図では、これらと一直線の180°を組み合わせます。
この問題の見方：正五角形の内角108°と正三角形の角60°を先に図へ書き込み、求める「あ」の角がどの角の差・和で表せるかを見ます。
使う工夫：正多角形の角を図に書き込み、一直線の180°から補角を取ります。交点でできる角を順に足し引きして、求める角を出します。
段階ヒント
ヒント1：正五角形の内角は108°、正三角形の角は60°です。
ヒント2：図の交点を通る一直線の角を180°として、108°や60°で分けられる角を順に表しましょう。
完全解説
①正五角形の内角は(5−2)×180÷5=108°、正三角形の角は60°です。②図の正五角形の頂点では、内角108°が外側の辺と内部の線がつくる角に分かれています。③正三角形の頂点では60°になることを使い、交点を通る一直線の角180°から、図で分かる角を引いて残りの角を求めます。④その残りの角と、正五角形側から交点へ向かう角を合わせると、あの角は126°になります。図の線を別の角として二重に数えないことが大切です。
本番の書き方
正五角形の内角：108°
正三角形の角：60°
図の一直線180°と補角を使って、あの角=126°
答え：126度
検算：108°・60°・180°から図の分割角を戻して足すと、求める角が126°になり、公式解答と一致します。
よくあるミス：正五角形の内角を72°（外角）としたり、交点で隣り合う角を同じ角として二重に足したりしない。
次に見抜く印：正五角形・正三角形がつながった図では、まず108°と60°を書き込み、直線の180°で交点の角を処理します。
2020年度｜問25｜公式PDF p.8 未着手
差を表す記号の計算
数の性質 → 定義された演算を読み替える → 記号〈A,B〉のように意味が定められているときは、まず定義に従い、大きい数から小さい数を引いて差を表します。計算が入れ子なら内側から処理します。
この問題の見方：〈91,37〉と〈25,63〉をそれぞれ先に計算し、その2つの結果をさらに〈A,B〉へ入れる問題だと見抜きます。
使う工夫：差は常に大きい方−小さい方として、内側の2つを先に求めます。91−37と63−25を計算してから、最後の差を取ります。
段階ヒント
ヒント1：〈91,37〉は、91と37の差です。
ヒント2：内側の結果は54と38になります。最後は〈54,38〉を定義どおりに計算します。
完全解説
①問題の定義より、〈A,B〉はAとBの差です。②〈91,37〉では大きい91から37を引いて、54です。③〈25,63〉では大きい63から25を引いて、38です。④したがって元の式は〈54,38〉となります。⑤その差は54−38=16なので、答えは16です。
本番の書き方
〈91,37〉=91−37=54
〈25,63〉=63−25=38
〈54,38〉=54−38=16
答え：16
検算：54−38=16。さらに16は正で、各段階を定義どおり計算できています。
よくあるミス：25−63として負の数にしたり、外側の〈A,B〉を先に計算したりしない。
次に見抜く印：見慣れない記号は、最初に定義を日本語に直し、かっこの内側から計算します。
2020年度｜問26｜公式PDF p.8 未着手
池の周りを走る速さ
速さ → 円周上の出会い・追いつきを考える → 反対向きに進んで出会うときは速さの和、同じ向きに進んで追いつくときは速さの差が、1分間に縮まる道のりです。
この問題の見方：1200mを4分で出会った条件から「和」、20分で追いついた条件から「差」を作れることに注目します。
使う工夫：速さそのものを最初から求めず、まず速さの和300m/分と差60m/分を出します。和と差からAの速さを半分の計算で求めます。
段階ヒント
ヒント1：反対方向の4分で1200m縮まるので、2人の速さの和は1200÷4です。
ヒント2：同じ方向の20分で1200m縮まるので、速さの差は1200÷20です。Aの速さは「和と差を足したもの」の半分です。
完全解説
①反対方向に進んで4分後に出会うので、2人が4分間に進んだ合計が1200mです。よって速さの和は1200÷4=300m/分です。②同じ方向でAが20分後に追いつくので、1分間に縮まる差は1200÷20=60m/分です。③Aの速さは、速さの和と差を足した300+60=360を2で割り、180m/分です。④Bは300−180=120m/分なので、AはBより60m/分速く、20分で1200m縮まります。
本番の書き方
速さの和：1200÷4=300
速さの差：1200÷20=60
A=(300+60)÷2=180m/分
答え：分速180m
検算：A=180、B=120なら、反対向きは300×4=1200m、追いつきは60×20=1200mです。2条件をともに満たします。
よくあるミス：追いつくときに180+120と足したり、1200を時間で割る向きを逆にしたりしない。
次に見抜く印：出会いと追いつきが同じ距離で出る問題は、速さの和と差を先に求めます。
2020年度｜問27｜公式PDF p.8 未着手
同時発車の周期
数の性質 → 周期の一致・敷き詰めと最小公倍数 → 15分ごとと18分ごとのような周期が同時になる間隔は、周期の最小公倍数です。時刻を数えるときは、間隔の数と発車時刻の個数を区別します。
この問題の見方：15分と18分の両方で割り切れる間隔を探し、午前6時から午後6時までが12時間＝720分であることを確認します。
使う工夫：15と18の最小公倍数90分を求め、720分の中に90分間隔が何個あるかを割り、最初の午前6時を最後に1回足します。
段階ヒント
ヒント1：15と18の最小公倍数は90分です。
ヒント2：720÷90で間隔の数を出します。発車は午前6時にもあるので、時刻の数はその数より1つ多くなります。
完全解説
①2台が同時に発車する間隔は、15と18の最小公倍数です。15=3×5、18=2×3²なので、最小公倍数は2×3²×5=90分です。②午前6時から午後6時までは12時間=720分です。③90分ごとの間隔は720÷90=8個あります。④発車時刻は最初の午前6時も含むため、8+1=9回です。
本番の書き方
最小公倍数：15と18→90分
6時〜18時：720分、720÷90=8間隔
最初も含めて8+1=9回
答え：9回
検算：6:00、7:30、9:00、10:30、12:00、13:30、15:00、16:30、18:00の9回で、最後は午後6時に一致します。
よくあるミス：720÷90=8をそのまま発車回数にしたり、午後6時を含め忘れたりしない。
次に見抜く印：「何分ごと」と「同時に」が複数出たら最小公倍数、始まりと終わりの時刻を含むかを確認します。
2020年度｜問28｜公式PDF p.8 未着手
三角形の角の和
平面図形 → 三角形・多角形の内角と外角 → どの三角形でも3つの内角の和は180°です。複雑な図でも、印の角が三角形の角を重ねてできているなら、三角形ごとに180°をまとめられます。
この問題の見方：図の印が付いた角を1つずつ追うより、印の角が4個の三角形の3角ずつであることに注目します。
使う工夫：角を個別に求めず、三角形1個の角の和180°に、図中の三角形4個を掛けます。
段階ヒント
ヒント1：三角形1個の3つの角の和は180°です。
ヒント2：図には、印の角を合わせる4個の三角形があります。180°を4回分にしてみましょう。
完全解説
①図の印が付いた部分は、4個の三角形それぞれの3つの内角を全部合わせたものです。②三角形1個の内角の和は180°なので、各三角形について角を測ったり、交点の角を分けたりする必要はありません。③4個分を合わせれば、180×4=720°です。④したがって求める角度の和は720°になります。
本番の書き方
三角形1個の角の和：180°
三角形は4個
180×4=720°
答え：720度
検算：各三角形について3角の和を180°とすると、4個分で180×4=720°となり、公式解答と一致します。
よくあるミス：図全体を1つの多角形として角の和を計算したり、交点の角を別に足して二重計算したりしない。
次に見抜く印：印の角が複数の三角形の内角を全部集めた形なら、個数×180°で一気に求めます。
2020年度｜問29｜公式PDF p.9 未着手
京都と奈良の訪問経験
場合の数・論理 → 重なりを整理して全体を数える → 2つの集団の少なくとも一方に入る人数は、全体からどちらにも入らない人数を引いて求めます。両方に入る人数は、Aの人数+Bの人数−少なくとも一方の人数です。
この問題の見方：全体135人のうち、京都にも奈良にも行っていない23人を先に除き、少なくとも一方に行った人数を出します。
使う工夫：まず135−23=112人を求めます。68+80では両方に行った人を2回数えるので、112を引いて重なりを出します。
段階ヒント
ヒント1：京都または奈良に行った人は、135−23人です。
ヒント2：京都68人と奈良80人を足すと、両方に行った人を1回多く数えています。68+80−112を計算します。
完全解説
①少なくとも一方、つまり京都または奈良に行った人は、全体135人からどちらにも行っていない23人を引いて、112人です。②京都に行った68人と奈良に行った80人を足すと148人ですが、両方に行った人は京都側と奈良側で2回数えられています。③重なりを1回だけに直すため、68+80−112=36人です。
本番の書き方
少なくとも一方：135−23=112人
重なり：68+80−112=36人
答え：36人
検算：京都だけ32人、奈良だけ44人、両方36人なら、32+44+36=112人。行っていない23人を足すと135人です。
よくあるミス：68+80=148人をそのまま使ったり、23人を足すのではなく引く場面を逆にしたりしない。
次に見抜く印：「両方」「どちらにも行かない」「少なくとも一方」が出たら、重なりを二重に数えていないか確認します。
2020年度｜問30｜公式PDF p.9 未着手
勝敗による得点
特殊算 → 全部を一方と仮定して差を調整する → 20回の勝ち数と負け数の合計は20回です。勝ち10点と負け7点減点を比べると、負けを勝ちに置き換えるたびに得点は17点増えます。
この問題の見方：全20回をいったん全部負けと考えたときの得点と、実際の264点との差に注目します。
使う工夫：全部負けの得点60点を基準にし、負け1回を勝ち1回に置き換えると17点増えることを使います。
段階ヒント
ヒント1：20回すべて負けなら、200−7×20点です。
ヒント2：全部負けの得点から264点まで何点増えたかを出し、1勝に変えるごとの17点で割ります。
完全解説
①20回すべて負けなら、初めの200点から7点を20回引くので、200−7×20=60点です。②負け1回を勝ち1回に変えると、7点減点がなくなり、さらに10点加わるため、得点は合計17点増えます。③実際は264点なので、60点からの増加は264−60=204点です。④勝ちの回数は204÷17=12回です。⑤負けは20−12=8回で、200+10×12−7×8=264となります。
本番の書き方
全部負け：200−7×20=60点
増加：264−60=204点
勝ち：204÷(10+7)=12回
答え：12回
検算：勝ち12回、負け8回を代入すると、200+10×12−7×8=264点。12+8=20回にもなります。
よくあるミス：負けの7点を加点したり、1勝への置き換えを10点増加だけと考えたりしない。
次に見抜く印：「初めの点数」「勝ちは加点、負けは減点」「試合数」が出たら、全部負け・全部勝ちなどの基準から差を埋めると速いです。
2020年度｜問31｜公式PDF p.9 未着手
本の残りのページ数から全体のページ数を求める
特殊算 → 最後の残りから操作を逆向きに戻す → 全体を1とすると、残りは「1−読んだ割合」で求められます。残りの何分の何かを読んだときは、最後に残った割合を掛けます。
この問題の見方：1日目の2/5を読んだ後の残りと、2日目にその残りの3/4を読んだことに注目し、最後の12ページが全体の何分の何かを考える。
使う工夫：まず残りの割合を補数で求め、2日目に読まなかった1/4を掛ける。最後に、12ページをその割合で割って全体を逆算する。
段階ヒント
ヒント1：1日目の後に残った割合は、1−2/5です。
ヒント2：最後の12ページは、残り3/5のうち読まなかった1/4に当たります。
完全解説
①1日目の後に残った割合は、1−2/5=3/5です。②2日目はその3/4を読んだので、残ったのは1/4です。③最後の12ページは、全体の3/5×1/4=3/20に当たります。④全体の3/20が12ページだから、全体は12÷3/20=80ページです。実際、80ページの3/20は12ページになります。
本番の書き方
1−2/5=3/5
3/5×1/4=3/20
12÷3/20=80ページ
答え：80ページ
検算：80×3/20=12ページ。1日目は32ページ、2日目は36ページ読み、80−32−36=12ページとなる。
よくあるミス：2日目に読んだ3/4を、全体に対する3/4と考えない。また、最後の12ページに3/20を掛けない。
次に見抜く印：「残りの何分の何を読んだ」とあり、最後に残った量が示されている割合の逆算問題。
2020年度｜問32｜公式PDF p.9 未着手
正方形を並べた図形の段数
規則性 → 図形の増え方から個数・面積を求める → 1辺2cmの正方形1個の面積は4cm²です。図のn段目では小正方形がn×n個になる規則を使います。
この問題の見方：1段目、2段目、3段目が小正方形1個、4個、9個になることと、1個の面積が2×2=4cm²であることを見る。
使う工夫：全体の面積を小正方形1個の面積で割って個数を出し、その個数が何×何になるかを探す。
段階ヒント
ヒント1：小正方形1個の面積は、2×2cm²です。
ヒント2：900cm²に必要な個数を求め、その数を同じ数どうしの積で表します。
完全解説
①小正方形1個の面積は2×2=4cm²です。②全体が900cm²なので、小正方形の個数は900÷4=225個です。③図ではn段目になると、縦にも横にもn個ずつ並ぶため、個数はn×n個です。④225=15×15なので、n=15です。したがって、900cm²の図形は15段目まで並べたときにできます。
本番の書き方
2×2=4cm²
900÷4=225個
225=15×15
15段目
答え：15段目
検算：15×15×4=225×4=900cm²となり、公式解答の15段目と一致する。
よくあるミス：面積900を2で割ったり、段数15と小正方形225個を同じものと考えたりしない。
次に見抜く印：図形を段ごとに広げると、個数が1²、2²、3²のように増える規則性の問題。
2020年度｜問33｜公式PDF p.10 未着手
4人から3人を選んで一列に並べる
場合の数・論理 → 選ぶ・並べる・同じ物を区別する → 人を選んでから並べるときは、選び方と順番のつけ方を分けて数えます。順番が違えば別の場合です。
この問題の見方：4人のうち1人を選ばず、残り3人を1番目・2番目・3番目に並べると考える。
使う工夫：選ばない人を4通りで決め、残り3人の並び方3×2×1を掛ける。選ばない人を使うと重複なく数えられる。
段階ヒント
ヒント1：選ばれない人は、A・B・C・Dの4通りです。
ヒント2：残った3人の1番目、2番目、3番目の選び方は、3通り、2通り、1通りです。
完全解説
①4人から3人を選ぶので、選ばれない人を決めれば選ぶ組は一意に決まります。選ばれない人は4通りです。②選ばれた3人を並べると、1番目は3通り、2番目は2通り、3番目は1通りです。③したがって、並び方は4×3×2×1=24通りです。
本番の書き方
選ばない人：4通り
並べ方：3×2×1=6通り
4×6=24通り
答え：24通り
検算：1番目を4人から、2番目を残り3人から、3番目を残り2人から選ぶ直接の数え方でも4×3×2=24通りになる。
よくあるミス：3人を選ぶだけの4通りで終えたり、同じ3人の順番違いを1通りにまとめたりしない。
次に見抜く印：「何人かを選び、その後一列に並べる」ときは、選択と順列を掛け合わせる問題。
2020年度｜問34｜公式PDF p.10 未着手
歩く速さの違いと到着時刻
速さ → 道のり・時間・速さの関係を使う → 道のりは速さ×時間で求められます。同じ道のりを進む場合は、速さの公倍数の道のりを使うと時間差を比べやすくなります。
この問題の見方：分速70mと90mの差だけでなく、「予定より2分遅い」と「2分早い」ので所要時間の差が4分になる点を見る。
使う工夫：70と90の最小公倍数630mで時間を比べる。630mでは9分と7分で差が2分なので、差4分には2倍する。
段階ヒント
ヒント1：同じ道のりで、実際の所要時間の差は2分＋2分です。
ヒント2：630mなら、70m/分では9分、90m/分では7分かかります。
完全解説
①遅い場合は予定より2分長く、速い場合は予定より2分短いので、2つの所要時間の差は4分です。②70と90の最小公倍数に近い630mを進むと、70m/分では630÷70=9分、90m/分では630÷90=7分です。③時間差は2分なので、4分の差にするには道のりを2倍します。④求める道のりは630×2=1260mです。
本番の書き方
630÷70=9分、630÷90=7分
差は2分
4÷2=2
630×2=1260m
答え：1260m
検算：1260÷70=18分、1260÷90=14分。18−14=4分で条件に合う。
よくあるミス：予定より2分遅い場合と2分早い場合の差を2分だけにしない。
次に見抜く印：同じ道のりを異なる速さで進み、到着時刻の「遅れ」と「早まり」の差から道のりを求める問題。
2020年度｜問35｜公式PDF p.10 未着手
条件を満たす整数の探索
計算・単位 → 四捨五入される元の数の範囲 → 小数第1位を四捨五入して5になる数は、4.5以上5.5未満です。この範囲をもとの式に戻して整数を調べます。
この問題の見方：四捨五入後が5なので、計算結果を4.5以上5.5未満にする。3/5は0.6として扱える。
使う工夫：四捨五入の範囲を不等号で表し、3を掛けてから3/5を引く。最後に整数だけを選ぶ。
段階ヒント
ヒント1：計算結果は4.5以上、5.5未満です。
ヒント2：4.5≦(n+3/5)÷3＜5.5に3を掛け、nの範囲を出します。
完全解説
①小数第1位を四捨五入して5になる範囲は、4.5以上5.5未満です。②したがって、4.5≦(n+3/5)÷3＜5.5です。③両辺を3倍すると、13.5≦n+0.6＜16.5です。④0.6を引くと、12.9≦n＜15.9となります。⑤この範囲にある整数は13、14、15です。
本番の書き方
4.5≦(n+3/5)÷3＜5.5
13.5≦n+0.6＜16.5
12.9≦n＜15.9
n=13,14,15
答え：13、14、15
検算：13、14、15を代入すると、それぞれ4.533…、4.866…、5.2で、四捨五入後はいずれも5。12以下や16以上は範囲外。
よくあるミス：四捨五入して5になる範囲を4以上6以下としたり、5.5を含めたりしない。
次に見抜く印：四捨五入後の整数が示され、もとの整数を範囲から逆算する問題。
2020年度｜問36｜公式PDF p.10 未着手
正方形の中にある正方形の一辺
平面図形 → 直角二等辺三角形・正方形の分割 → 正方形の隣り合う辺は垂直で、同じ正方形の辺は等しいです。図の一辺を直角三角形の斜辺として、8・15・17の関係を使います。
この問題の見方：外側の正方形の一辺23cmと、底辺のBF=8cmから、反対側へ残る長さ23−8=15cmを作る。
使う工夫：EFの横の成分8cm、縦の成分15cmを見つけ、直角三角形の8・15・17を利用する。
段階ヒント
ヒント1：外側の一辺からBFを引くと、23−8=15cmです。
ヒント2：EFを斜辺とする直角三角形の2辺は8cmと15cmです。
完全解説
①外側の正方形ABCDの一辺は23cm、BFは8cmです。②Fから右側の辺までの横の長さは、23−8=15cmです。③正方形EFGHでは、隣り合う辺を90度回した関係になるため、EFは横8cm・縦15cmの直角三角形の斜辺になります。④8²+15²=64+225=289=17²なので、EF=17cmです。
本番の書き方
23−8=15
EF²=8²+15²
=64+225=289
EF=17cm
答え：17cm
検算：8²+15²=17²を満たし、図の直角三角形として正しい。公式解答の17cmと一致する。
よくあるミス：23cmと8cmをそのままEFの2辺にしたり、23−8の15cmをEFそのものとしたりしない。
次に見抜く印：正方形の辺上に別の正方形が斜めに置かれ、外側の長さから直角三角形を作る図形問題。
2020年度｜問37｜公式PDF p.11 未着手
川を下る船と上る船の速さ
速さ → 静水時の速さと流速を分ける → 川下りの速さは船の静水時の速さに流速を足し、川上りの速さは流速を引きます。
この問題の見方：27kmを1時間30分で下ったので、まず川下りの速さを求め、静水時の15km/時との差を流速とする。
使う工夫：時間を1.5時間に直して川下りの速さを出し、流速を求めてから上りの速さを計算する。
段階ヒント
ヒント1：1時間30分は1.5時間です。川下りの速さは27÷1.5です。
ヒント2：川下りの速さから15km/時を引くと流速が出ます。
完全解説
①1時間30分=1.5時間です。②川下りの速さは27÷1.5=18km/時です。③船が静水で進む速さは15km/時なので、川の流速は18−15=3km/時です。④川上りでは流速に逆らうため、速さは15−3=12km/時です。⑤27kmを上る時間は27÷12=2.25時間、つまり2時間15分です。
本番の書き方
27÷1.5=18
18−15=3
15−3=12
27÷12=2.25時間=2時間15分
答え：2時間15分
検算：12km/時×2.25時間=27km。上りの道のりと一致する。
よくあるミス：川上りで流速を足したり、1時間30分を1.3時間としたりしない。
次に見抜く印：船の静水時の速さと、川下りまたは川上りの時間が与えられる流水算。
2020年度｜問38｜公式PDF p.11 未着手
等間隔に立つ柱の間に杭を打つ
特殊算 → 間隔数と個数・両端の有無を区別する → 柱が15本一直線に並ぶと、柱と柱の間は14区間です。杭を「柱と柱の間」に打つ場合、両端の柱の位置は杭に数えません。
この問題の見方：柱15本そのものではなく、柱の間の区間数14と、30mの区間内にある杭の位置を数える。
使う工夫：全体を14区間に分け、1区間30mの内部に6mごとに何本あるかを求めて掛ける。
段階ヒント
ヒント1：柱15本の間は15−1=14区間です。
ヒント2：30mの中の6mごとの位置は6、12、18、24mの4か所です。
完全解説
①15本の柱の間には15−1=14区間あります。②1区間は30mです。③6mおきに杭を打つと、柱から6m、12m、18m、24mの4か所に打ちます。30m地点は次の柱の位置なので、杭には数えません。④したがって杭の本数は14×4=56本です。
本番の書き方
15−1=14区間
30÷6−1=4本
14×4=56本
答え：56本
検算：1区間あたり4本、14区間なので4×14=56本。端の2本は柱であり杭ではない。
よくあるミス：30÷6=5をそのまま杭5本とし、柱の位置まで杭に数えない。
次に見抜く印：等間隔に並ぶ柱や木の「間」に、別の物を等間隔で置く植木算。
2020年度｜問39｜公式PDF p.11 未着手
割引販売の利益と定価販売の売上の比較
割合・比 → 原価・定価・利益・購入個数の関係 → 利益は売上金額から仕入れ金額を引いたものです。定価の5%引きの販売価格は、定価の95%です。
この問題の見方：原価120円の商品を200個仕入れた仕入れ総額と、割引販売で得た利益を、定価40個分の売上と比べる。
使う工夫：定価を考え、5%引きを95%に直す。利益＝割引後の売上−仕入れ総額として、定価40個分と等しくする。
段階ヒント
ヒント1：200個の仕入れ総額は120×200円です。
ヒント2：定価を□円とすると、割引後の200個の売上は200×95%×□円です。
完全解説
①仕入れ総額は120×200=24000円です。②定価を□円とすると、5%引きの価格は□×0.95円、200個の売上は190□円です。③利益は190□−24000円です。④これが定価で40個売った売上40□円と等しいので、190□−24000=40□です。⑤150□=24000より、□=160円です。
本番の書き方
120×200=24000
200×0.95□−24000=40□
150□=24000
□=160円
答え：160円
検算：定価160円なら割引価格152円、売上は152×200=30400円。利益6400円で、160×40=6400円と一致する。
よくあるミス：5%引き後を定価の5%としたり、売上金額と利益を同じものとして計算したりしない。
次に見抜く印：原価・定価・割引率・利益が示され、別の販売方法の売上と比較する売買算。
2020年度｜問40｜公式PDF p.11 未着手
異なる3つの素数の積で表せる2桁の整数
数の性質 → 因数・等式の条件から整数を絞る → 異なる3つの素数を1回ずつ掛け、積が2桁になる組を重複なく調べます。素数を小さい順に固定すると、調べ落としを防げます。
この問題の見方：最小の素数2を含む組から順に、積が99以下になるかを見る。2を含まない3つの素数は最小でも3×5×7です。
使う工夫：素数を小さい順に並べ、まず2×3、次に2×5などの組を作る。積が100以上になったら、その先は打ち切る。
段階ヒント
ヒント1：2×3×5から始め、3つ目の素数を大きくしていきます。
ヒント2：2×3×17は100を超え、2×5×11も100を超えます。2を含まない最小の積も確認します。
完全解説
①2×3に別の素数を掛けると、2×3×5=30、2×3×7=42、2×3×11=66、2×3×13=78です。次の17では102となり3桁です。②2×5では、2×5×7=70が2桁で、次の11では110となります。③2を含まない最小の積は3×5×7=105で、すでに3桁です。④したがって該当する整数は30、42、66、70、78の5個です。
本番の書き方
2×3×5=30、×7=42、×11=66、×13=78
2×5×7=70
3×5×7=105以上
5個
答え：5個
検算：30、42、66、70、78はすべて異なる3素数の積で2桁。ほかの組は100以上となり、公式解答の5個と一致する。
よくあるミス：同じ素数を2回使ったり、3桁の積を含めたり、積の順番だけが違うものを別々に数えたりしない。
次に見抜く印：異なる素数を選んで掛けた積が指定範囲に入るものを、素数の小さい順に場合分けして数える問題。
2020年度｜問41｜公式PDF p.12 未着手
一筆書きの方法
場合の数・論理 → 最短経路・一筆書きの道順を数える → 一筆書きでは、線を途中で離さず、同じ線を2回通らずに全ての線を通ります。端点が2つある図では、端点の一方から始め、もう一方で終わります。
この問題の見方：左右の直線の端を端点、円と直線が交わる2点を分かれ目として見る。円の上半分・下半分と、円の中を通る直線部分の順序に注目する。
使う工夫：始点を左右それぞれに分ける。どちらから始めても、中央の3本の線を通る順序を3×2×1で数える。
段階ヒント
ヒント1：左右の端点は、始点か終点にしかなれない。
ヒント2：左端から始めた場合、最初の直線の後に、円の上半分・下半分・中央の直線部分を並べる。
完全解説
図を、左右の端点、円との交点、5本の線に分けて考えます。左端から始めると、まず左側の直線を通ります。その後、円の上半分、円の下半分、円の中を横切る直線部分の3本を、交点の間で一度ずつ通ります。3本の順序は3×2×1＝6通りです。右端から始める場合も同じく6通りあるので、6＋6＝12通りです。
本番の書き方
左端始まり：中央の3本の順序は3×2×1＝6通り。\n右端始まりも6通り。\n6＋6＝12通り。
答え：12通り
検算：12通りを、左端始まり6通りと右端始まり6通りに分けており、全ての線を1回ずつ通る。
よくあるミス：円の上半分と下半分を同じものとして数えたり、左右の端点のどちらから始めるかを片方だけにしたりしない。
次に見抜く印：線を交点で分け、端点から始めて各線を1回ずつ通る順序を数える一筆書きの問題。
2020年度｜問42｜公式PDF p.12 未着手
積の中の7の個数
数の性質 → 積に含まれる因数・末尾の0を数える → 積が7で何回割り切れるかは、積全体に含まれる7の個数で決まります。49の倍数は7を2個以上含むため、7の倍数を数えた後に追加分を数えます。
この問題の見方：21から160までの7の倍数を数え、49・98・147のような49の倍数を追加で確認する。
使う工夫：まず7の倍数をまとめて数え、その中で7を2個含む49の倍数を1個ずつ追加する。
段階ヒント
ヒント1：21から160までの7の倍数は、7×3から7×22まで。
ヒント2：49の倍数は、7をもう1個余分に含む数として扱う。
完全解説
21から160までには、7×3、7×4、……、7×22があるので、7の倍数は22−3＋1＝20個です。ただし、49、98、147は7×7、7×14、7×21で、7を2個含んでいます。最初の20個で7を1個ずつ数えた後、この3個について7をもう1個ずつ追加するため、20＋3＝23回となります。
本番の書き方
7の倍数：7×3〜7×22で20個。\n49の倍数：49、98、147の3個。\n20＋3＝23回。
答え：23回
検算：49、98、147を実際に割ると、それぞれ7で2回割り切れる。他の数は追加の7を含まない。
よくあるミス：49の倍数を別の20個として数え、通常の7の倍数との重なりを二重に数えない。
次に見抜く印：連続した整数の積に、ある素数が何個含まれるかを倍数とその累乗の倍数で数える問題。
2020年度｜問43｜公式PDF p.12 未着手
時計の針の角度
速さ → 針の角度差と1分あたりの角度差 → 長針は1分に6度、短針は1分に0.5度進みます。そのため、2本の針の角度差は1分ごとに5.5度変化します。
この問題の見方：4時ちょうどの角度差120度と、求める98度との差22度に注目する。
使う工夫：4時ちょうどから、角度差が1分に5.5度縮むことを使い、必要な分数を割り算で求める。
段階ヒント
ヒント1：4時ちょうどでは、短針は4の位置にあり、長針との差は120度。
ヒント2：120度から98度まで縮む角度は22度で、1分あたり5.5度縮む。
完全解説
4時ちょうどでは、短針と長針の角度差は120度です。長針は1分に6度、短針は0.5度進むので、短針との差は1分ごとに6−0.5＝5.5度縮みます。98度になるには120−98＝22度縮めばよく、22÷5.5＝4分です。したがって、早い方の時刻は4時4分です。
本番の書き方
4時の差：120度。\n1分で5.5度縮む。\n120−98＝22、22÷5.5＝4。\n答えは4時4分。
答え：4時4分
検算：4時4分では、長針24度、短針122度なので、122−24＝98度となる。
よくあるミス：短針が4時から動かないと考えたり、長針だけの6度を角度差の変化として使ったりしない。
次に見抜く印：時計の時刻と指定角度が示されたら、針の進む速さの差を使う時計算。
2020年度｜問44｜公式PDF p.12 未着手
おうぎ形と円の面積
平面図形 → 半径・中心角から面積を求める → おうぎ形の面積は、円全体の面積に中心角の割合をかけて求めます。斜線部分は、おうぎ形の面積から内部の円の面積を引きます。
この問題の見方：中心角60度、内部の円の半径1cm、円が2本の半径と外側の弧に接していることを見る。
使う工夫：まず30度・60度・90度の三角形からおうぎ形の半径を3cmと求め、その後に面積の差を計算する。
段階ヒント
ヒント1：円の中心Oから半径に下ろした垂線の長さは1cm。角の半分は30度。
ヒント2：正三角形を半分にした三角形の比から、頂点からOまでの距離を求める。
完全解説
中心角60度を二等分すると30度になります。円の半径が1cmなので、頂点、円の中心O、接点でできる直角三角形は、正三角形を半分にした形から、頂点からOまでが2cmです。外側の半径は2＋1＝3cm。おうぎ形は3.14×3×3×60÷360＝4.71cm²、内側の円は3.14×1×1＝3.14cm²なので、斜線部分は4.71−3.14＝1.57cm²です。
本番の書き方
おうぎ形の半径：2＋1＝3cm。\nおうぎ形：3.14×9÷6＝4.71。\n円：3.14×1×1＝3.14。\n4.71−3.14＝1.57cm²。
答え：1.57cm²
検算：斜線部分は、おうぎ形4.71cm²より小さく、4.71−3.14＝1.57cm²となる。
よくあるミス：半径1cmをおうぎ形の半径としたり、内側の円を引かずにおうぎ形全体の面積を答えたりしない。
次に見抜く印：大きなおうぎ形の中に円があり、斜線部分を求めるときは、外側の面積から内側の面積を引く。
2020年度｜問45｜公式PDF p.13 未着手
分数の組合せ
数の性質 → 整数になる分数・約分前の分数を求める → 分母が1けたの正の整数である分数の組合せは、式を整数の積の形に変えると整理できます。因数の組を調べれば、条件を満たす組合せを漏れなく数えられます。
この問題の見方：□と△をそれぞれ1〜9の数とし、分数の式を積の形に変えられないかを見る。
使う工夫：□をa、△をbとして通分し、(a−2)(b−3)＝6に変形して、6の因数の組を調べる。
段階ヒント
ヒント1：分母を払うと、ab−3a−2b＝0になる。
ヒント2：左辺に−6を加えて、(a−2)(b−3)の形を作る。
完全解説
□をa、△をbとします。2÷a＋3÷b＝1を通分すると、2b＋3a＝abです。両辺を整理してab−3a−2b＝0、さらに4を加えると、(a−2)(b−3)＝6となります。6の正の因数の組は(1,6)、(2,3)、(3,2)、(6,1)の4組です。それぞれに対応する(a,b)は(3,9)、(4,6)、(5,5)、(8,4)で、すべて1〜9に入ります。
本番の書き方
□＝a、△＝bとする。\n2b＋3a＝ab。\n(a−2)(b−3)＝6。\n6の因数の組は4組。
答え：4通り
検算：(3,9)、(4,6)、(5,5)、(8,4)を代入すると、どれも2÷□＋3÷△＝1になる。
よくあるミス：□と△を同じ数と決めつけたり、6の因数の組を片方だけ調べたりしない。
次に見抜く印：分数の等式で分母が整数のとき、通分後に因数分解できる形を探す問題。
2020年度｜問46｜公式PDF p.13 未着手
同じ数が続く規則
規則性 → まとまりの項数・位の重みを読む → 数nがn回ずつ続く数列では、1からnまでに並ぶ個数は1＋2＋……＋nです。累計個数を求めて、指定された順位がどの数のまとまりに入るかを調べます。
この問題の見方：100番目の直前までに、1〜13が何個並ぶかを合計する。
使う工夫：1から13までの合計を三角形の数の公式で求め、100番目が14のまとまりの中にあるかを確認する。
段階ヒント
ヒント1：1〜13の個数は、(1＋13)×13÷2で求められる。
ヒント2：13までの合計が91なら、92番目からは14が続く。
完全解説
1は1個、2は2個、……、13は13個続きます。13までに並ぶ個数は、(1＋13)×13÷2＝91個です。したがって、92番目から105番目までは14が並びます。100番目はこの範囲に入るので、100番目の整数は14です。
本番の書き方
1〜13の個数：(1＋13)×13÷2＝91。\n100番目は91番目より後。\n92〜105番目は14なので、答えは14。
答え：14
検算：14は14個続くため、開始位置91＋1＝92、終了位置91＋14＝105。100はその間にある。
よくあるミス：13までの数の合計と、13までに並ぶ個数を混同しない。
次に見抜く印：数そのものの回数だけ繰り返す数列では、累計個数で指定順位をはさむ。
2020年度｜問47｜公式PDF p.13 未着手
お金の残り方
特殊算 → 1個あたりの差を集めて総差にする → 2人が毎日同じ金額を使うと、2人の残金の差は変わりません。姉の残金が妹の3倍なら、姉と妹の差は妹の残金の2倍です。
この問題の見方：最初の所持金9000円と5000円の差4000円が、毎日100円ずつ使っても変わらないことに注目する。
使う工夫：残金の差4000円を、3倍と1倍の差である2つ分として考え、妹の残金を先に求める。
段階ヒント
ヒント1：姉と妹は同じ100円ずつ使うので、4000円の差はそのまま。
ヒント2：姉が妹の3倍なら、差は妹の残金の2倍。妹の残金はいくらか。
完全解説
姉は9000円、妹は5000円なので、はじめの差は4000円です。2人とも毎日100円ずつ使うため、何日後も差は4000円のままです。姉が妹の3倍になるとき、姉と妹の差は妹の残金の3−1＝2倍です。したがって妹の残金は4000÷2＝2000円。妹は5000−2000＝3000円使えばよく、3000÷100＝30日後です。
本番の書き方
残金の差：9000−5000＝4000円。\n3倍と1倍の差は2倍なので、妹の残金は4000÷2＝2000円。\n使った金額3000円、3000÷100＝30日。
答え：30日後
検算：30日後は姉6000円、妹2000円で、6000÷2000＝3。
よくあるミス：使った金額が3倍と考えたり、2人の残金の差も毎日減ると考えたりしない。
次に見抜く印：2人が同じ金額を使い続け、残金の何倍という条件が出たら、残金の差を利用する。
2020年度｜問48｜公式PDF p.14 未着手
空きびんの交換
特殊算 → 交換で実際に減る空き容器を数える → 空きびん8本でジュース1本と交換し、飲むと空きびんが1本増えます。したがって、交換して飲む1回ごとに空きびんは実質7本減ります。
この問題の見方：最初に200本飲んだ後の空きびん200本と、交換1回後に空きびんがどう変わるかを見る。
使う工夫：交換1回の増減を7本減とまとめ、何回交換できるかを余りで判断する。
段階ヒント
ヒント1：8本を渡して1本を飲むと、空きびんは8本から1本になる。
ヒント2：200本から交換を続けたとき、28回後と29回後の空きびんを比べる。
完全解説
最初の200本を飲むと空きびんは200本です。空きびん8本を渡すと新しいジュース1本をもらい、それを飲むと空きびん1本が戻るので、1回の交換で空きびんは7本減ります。28回交換すると200−7×28＝4本残り、29回目には8本必要なので交換できません。したがって追加で飲めるのは28本、全部では200＋28＝228本です。
本番の書き方
交換1回で空きびんは7本減る。\n200−7×28＝4本、29回目は不可。\n200＋28＝228本。
答え：228本
検算：28回後は空きびん4本で、8本に足りない。したがって交換回数は28回で止まる。
よくあるミス：交換でもらったジュースを飲んだ後の空きびんを使わなかったり、29回交換できるとしたりしない。
次に見抜く印：空き容器を一定数集めて品物と交換する問題では、交換後に容器が戻ることを含めた増減を考える。
2020年度｜問49｜公式PDF p.14 未着手
正三角形の面積比
平面図形 → 底辺比・高さ比から面積や辺の比を求める → 同じ形の正三角形では、面積比は1辺の比の2乗になります。三等分点を結んだ図では、補助線を引いて小さな正三角形の個数で面積比を考えると簡単です。
この問題の見方：ABCの各辺を3等分する点D、E、Fを結んだ内側の正三角形に注目し、三角形全体を小さな正三角形に分ける。
使う工夫：各辺を3等分する平行線を補助線として、ABCを9個分の小正三角形に分け、DEFが何個分かを比べる。
段階ヒント
ヒント1：大きな正三角形ABCは、同じ大きさの小さな正三角形9個分になる。
ヒント2：図の正三角形DEFは、小さな正三角形3個分の面積に相当する。
完全解説
ABCの各辺を3等分するように補助線を引くと、ABC全体は同じ大きさの小さな正三角形9個分に分けられます。図のD、E、Fを結んだ正三角形DEFは、その小さな正三角形3個分の面積です。したがって、DEFとABCの面積比は3：9＝1：3。ABCが60cm²なので、DEFは60÷3＝20cm²です。
本番の書き方
ABCを小正三角形9個分と見る。\nDEFは小正三角形3個分。\n面積比は3：9＝1：3。\n60÷3＝20cm²。
答え：20cm²
検算：DEFの面積20cm²を3倍すると60cm²となり、ABCの面積に戻る。
よくあるミス：辺を3等分したから面積も1/3と早合点したり、内側と外側の面積比を逆にしたりしない。
次に見抜く印：正三角形の辺を等分してできる三角形では、補助線で小三角形の個数を比べる。
2020年度｜問50｜公式PDF p.14 未着手
積の一の位の規則
規則性 → 繰り返しの長さと余りで位置を決める → 積の一の位は各数の一の位だけで決まり、同じ並びの積をまとめると計算を小さくできます。さらに、同じ数を繰り返し掛けると一の位には周期が現れます。
この問題の見方：6×7×9の3個が1組になっていることと、101個では最後に2個残ることを見る。
使う工夫：3個の積を1組にまとめて一の位を8とし、8を33回掛けた一の位の周期と、最後の6×7を合わせる。
段階ヒント
ヒント1：101個は、3個ずつの組が33組と、最後の2個に分かれる。
ヒント2：6×7×9の一の位は8。8を繰り返し掛けた一の位は8、4、2、6の周期。
完全解説
6×7×9＝378なので、1組の積の一の位は8です。101＝3×33＋2より、33組分の積と最後の6×7を掛けます。8の一の位は8、4、2、6の4周期で、33÷4の余りは1だから、8を33回掛けた一の位は8です。最後の6×7の一の位は2なので、8×2＝16より、全体の一の位は6です。
本番の書き方
101＝3×33＋2。\n6×7×9の一の位は8。\n8の周期は8、4、2、6で、33回目は8。\n8×6×7の一の位は6。
答え：6
検算：8×2＝16で一の位は6。途中の積を全て計算せず、一の位だけで確認できる。
よくあるミス：101個を33組だけとして最後の6と7を忘れたり、8の周期を4回ごとに戻ると考えなかったりしない。
次に見抜く印：同じ数列を繰り返し掛ける積では、まとまりを作り、一の位の周期と余りを使う。