2023年度｜問1｜公式PDF p.2 未着手
小数と帯分数の四則計算
計算・単位 → 小数・帯分数を直して先に約分する → 小数と帯分数が混ざる計算では、すべて分数にそろえます。割り算を逆数の掛け算へ直した後、積を出す前に約分します。
この問題の見方：1.4、1.25、1/5を見て、まず7/5、5/4、3/15に直せると判断します。次に、2つのかっこを別々に計算します。
使う工夫：すべて分数に統一し、割り算を掛け算へ直します。7/5×35/12×3/7では、最初と最後の7を先に約分すると、大きな積を作らずに済みます。
段階ヒント
ヒント1：1.4と1.25を分数へ直し、2つのかっこの中をそれぞれ整理しましょう。
ヒント2：最初のかっこは35/12、後ろのかっこは7/3です。7/5×35/12×3/7の形にして、掛ける前に約分します。
完全解説
1. 1.4＝7/5、1と2/3＝5/3、1.25＝5/4と直します。 2. 最初のかっこは5/3＋5/4＝20/12＋15/12＝35/12です。 3. 後ろのかっこは2と8/15−1/5＝38/15−3/15＝35/15＝7/3です。 4. 式は7/5×35/12÷7/3＝7/5×35/12×3/7。7を約分すると35×3÷（5×12）＝7/4です。 5. 7/4を帯分数に直して、1と3/4となります。
本番の書き方
1.4＝7/5、かっこ内＝35/12、7/3
7/5×35/12×3/7＝7/4
＝1と3/4
答え：1 3/4
検算：1と3/4＝7/4を後ろの7/3とかけ、35/12で割ると7/5＝1.4へ戻ります。公式解答の1と3/4とも一致します。
よくあるミス：割る数7/3をそのまま掛けることや、足し算の分子・分母を別々に足すことです。逆数にするのは割り算を掛け算へ直すときだけです。
次に見抜く印：小数と分数が混ざり、1.25や1.4のように簡単な分数へ直せる数があれば、分数への統一と先の約分を考えます。
2023年度｜問2｜公式PDF p.2 未着手
3.14をまとめる計算
計算・単位 → 共通因数をまとめる分配法則 → 同じ数の何倍かで表せる項は、分配法則で共通因数をまとめられます。3.14、31.4、0.314は小数点の位置だけが違う数です。
この問題の見方：6.28、0.314、31.4を見て、それぞれ3.14の2倍、0.1倍、10倍であることに注目します。
使う工夫：3項から共通の3.14をくくります。係数だけを先に計算すれば、3回の小数の掛け算を1回に減らせます。
段階ヒント
ヒント1：6.28、0.314、31.4を、すべて「3.14×ある数」の形に直しましょう。
ヒント2：式全体は3.14×（12×2−40×0.1＋3×10）と表せます。まず、かっこの中を計算します。
完全解説
1. 6.28＝3.14×2なので、12×6.28＝3.14×24です。 2. 0.314＝3.14×0.1なので、40×0.314＝3.14×4です。 3. 31.4＝3.14×10なので、3×31.4＝3.14×30です。 4. 共通の3.14をまとめると、3.14×（24−4＋30）になります。 5. かっこ内は50なので、3.14×50＝157です。
本番の書き方
12×6.28−40×0.314＋3×31.4
＝3.14×（24−4＋30）
＝3.14×50＝157
答え：157
検算：各項を別々に計算すると、75.36−12.56＋94.2＝62.8＋94.2＝157です。まとめた計算と公式解答の両方に一致します。
よくあるミス：0.314を3.14の100分の1とすることです。小数点は1けた左へ動いているので、0.314＝3.14×0.1です。
次に見抜く印：3.14、6.28、31.4、0.314などが同じ式に並んだら、3.14の何倍かへ直して分配法則を使います。
2023年度｜問3｜公式PDF p.2 未着手
帯分数が入る逆算
計算・単位 → □をひとまとまりにして逆の順に戻す → 何重かのかっこに□がある場合は、式のいちばん外側から逆向きに戻します。「ある数÷2/15＝30」なら、ある数は30×2/15です。
この問題の見方：□を直接求めようとせず、まず波かっこ全体を1つの数と見ます。いちばん外側の「÷2/15＝30」から戻します。
使う工夫：外側から順に、割り算、引き算、足し算を逆算します。30×2/15では30と15を先に約分すると、波かっこ全体がすぐ求められます。
段階ヒント
ヒント1：波かっこ全体を○とすると、○÷2/15＝30です。まず○を求めましょう。
ヒント2：波かっこ全体は30×2/15です。その値を使い、□＋1と5/6＝8と1/2−波かっこ全体、と戻します。
完全解説
1. 波かっこ全体を○と見ると、○÷2/15＝30です。したがって○＝30×2/15＝4です。 2. 8と1/2から「□＋1と5/6」を引いた結果が4なので、□＋1と5/6＝8と1/2−4＝4と1/2です。 3. □＝4と1/2−1と5/6。仮分数にすると27/6−11/6＝16/6です。 4. 16/6を約分して8/3、帯分数に直して2と2/3となります。
本番の書き方
波かっこ全体＝30×2/15＝4
□＋1と5/6＝8と1/2−4＝4と1/2
□＝4と1/2−1と5/6＝2と2/3
答え：2 2/3
検算：□へ2と2/3を入れると、□＋1と5/6＝4と1/2です。8と1/2−4と1/2＝4、さらに4÷2/15＝30となり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：最初に30÷2/15を計算することです。元の式では波かっこ全体を2/15で割って30になるため、逆算では30に2/15を掛けます。
次に見抜く印：□がかっこの奥にあり、最後に掛け算や割り算が付く式は、外側の計算から逆順にたどります。
2023年度｜問4｜公式PDF p.2 未着手
6575分の換算
計算・単位 → 時間の60進法と単位あたりの量 → 1日＝24時間＝1440分、1時間＝60分です。大きな分数を日・時間・分へ直すときは、1440分、次に60分で商と余りを求めます。
この問題の見方：6575分は1日よりかなり長いので、まず1440分が何個入るかを見ます。その余りだけを時間と分へ直します。
使う工夫：すべてを一度に割らず、日、時間、分の順に分けます。1440×4＝5760を先に引けば、残りは3けたになり計算しやすくなります。
段階ヒント
ヒント1：1日分の1440分が、6575分の中に何回入るか考えましょう。
ヒント2：4日分を引いた残りは815分です。815を60で割り、商を時間、余りを分にします。
完全解説
1. 1日は24×60＝1440分です。 2. 6575分には1440分が4回入り、4日分は1440×4＝5760分です。 3. 残りは6575−5760＝815分です。 4. 815分には60分が13回入り、13時間分は60×13＝780分です。 5. さらに815−780＝35分残るので、全部で4日13時間35分です。
本番の書き方
1日＝1440分
6575−1440×4＝815
815＝60×13＋35
4日13時間35分
答え：4日13時間35分
検算：4日13時間35分を分へ戻すと、4×1440＋13×60＋35＝5760＋780＋35＝6575分です。公式解答とも一致します。
よくあるミス：1日を24分や240分として扱うこと、または815÷60の余り35を小数時間として読むことです。余りはそのまま分です。
次に見抜く印：多くの「分」を日・時間・分で表す問題は、1440で日を取り、残りを60で時間と分に分けます。
2023年度｜問5｜公式PDF p.3 未着手
面積の単位をそろえる
計算・単位 → 長さ・重さ・体積の単位をそろえる → 面積の式では、掛ける2つの長さの単位をそろえます。1m＝100cmなので、1m²＝10000cm²であり、長さの換算を2回分行います。
この問題の見方：36cm、0.45m、□cm、0.6m、0.3m²と単位が混ざっている点を見ます。□がcmなので、全部をcmとcm²へそろえます。
使う工夫：0.45m＝45cm、0.6m＝60cm、0.3m²＝3000cm²として整数計算にします。最初の面積を全体から引き、残りを60cmで割ります。
段階ヒント
ヒント1：1m²は100cm²ではありません。100cm×100cmが何cm²になるか考えましょう。
ヒント2：式を36×45＋□×60＝3000と直します。□は（3000−36×45）÷60で求められます。
完全解説
1. 0.45m＝45cm、0.6m＝60cmです。 2. 0.3m²＝0.3×10000＝3000cm²です。面積なので100を2回掛けます。 3. 最初の長方形の面積は36×45＝1620cm²です。 4. 2つ目の長方形に必要な面積は3000−1620＝1380cm²です。 5. その一辺は60cmなので、もう一辺は1380÷60＝23cm。□に入る整数は23です。
本番の書き方
0.45m＝45cm、0.6m＝60cm
0.3m²＝3000cm²
□＝（3000−36×45）÷60＝23
答え：23
検算：36cm×45cm＋23cm×60cm＝1620＋1380＝3000cm²です。3000cm²＝0.3m²となるため、元の式と公式解答に一致します。
よくあるミス：0.3m²を30cm²や300cm²へ直すことです。長さは100倍ですが、面積は100×100＝10000倍で換算します。
次に見抜く印：cmとmが掛け算の中に混ざり、答える長さの単位が指定されていたら、先に辺と面積の単位を統一します。
2023年度｜問6｜公式PDF p.3 未着手
複分数の空欄
計算・単位 → □をひとまとまりにして逆の順に戻す → 分数の中に分数がある複分数では、長い分数線の分母全体を1つの数として扱います。外側から逆算してから、内側の1/□を求めます。
この問題の見方：長い分数線の上は2、下は「2＋1/□」全体だと確認します。まず、2を何で割ると6/7になるかを考えます。
使う工夫：分母全体を○と置いて、2÷○＝6/7を逆算します。複雑な形のまま通分せず、外側の分母、2との差、□の順に求めます。
段階ヒント
ヒント1：「2＋1/□」全体を○と見ると、2÷○＝6/7です。
ヒント2：○＝2÷6/7＝7/3です。したがって、2＋1/□＝7/3から、内側の分数を求めます。
完全解説
1. 大きな分数は、2÷（2＋1/□）を表しています。 2. 分母全体を○とすると、2÷○＝6/7なので、○＝2÷6/7＝2×7/6＝7/3です。 3. したがって2＋1/□＝7/3です。2＝6/3なので、1/□＝7/3−6/3＝1/3です。 4. 1を□で割った数が1/3になるため、□＝3です。
本番の書き方
分母全体＝2÷6/7＝7/3
1/□＝7/3−2＝1/3
□＝3
答え：3
検算：□へ3を入れると、分母は2＋1/3＝7/3です。2÷7/3＝2×3/7＝6/7となり、元の式と公式解答に一致します。
よくあるミス：長い分数線を途中で切り、2÷2＋1/□として計算することです。分母は「2＋1/□」の全体です。
次に見抜く印：長い分数線の下に足し算がある問題では、まず分母全体を囲み、1つの数として外側から逆算します。
2023年度｜問7｜公式PDF p.3 未着手
積の桁数
計算・単位 → 10・100・1000になる組を作る → 積の順番は自由に入れ替えられるので、2と5などを組ませて10、100、1000を作れます。桁数は計算結果の先頭の数字と0の個数を合わせて数えます。
この問題の見方：2と5、4と250、8と50を見て、10、1000、400という計算しやすい組が作れることに注目します。
使う工夫：交換法則と結合法則で、（2×5）×（4×250）×（8×50）と組み替えます。元の順に大きな掛け算をする必要はありません。
段階ヒント
ヒント1：2と5、4と250を先に掛けると、10のまとまりができます。
ヒント2：積を（2×5）×（4×250）×（8×50）と並べ替えると、10×1000×400になります。
完全解説
1. 掛け算だけの式なので、数の順番と組み合わせを変えられます。 2. 2×5＝10、4×250＝1000、8×50＝400という、きりのよい組を作ります。 3. 全体の積は10×1000×400＝4000000です。 4. 4000000は先頭の4と、その後ろの0が6個あります。したがって、全部で7桁の整数です。
本番の書き方
（2×5）×（4×250）×（8×50）
＝10×1000×400
＝4000000 → 7桁
答え：7桁
検算：4000000は1000000以上10000000未満なので7桁です。元の因数をすべて使っており、公式解答の7桁とも一致します。
よくあるミス：後ろの0が6個あることだけを見て6桁と答えることです。先頭の4も1桁として数えるため、合計は7桁です。
次に見抜く印：積の中に2、4、5、50、250などがあれば、筆算の前に10・100・1000を作る組を探します。
2023年度｜問8｜公式PDF p.3 未着手
両端を除くリボン
特殊算 → 間隔数と個数・両端の有無を区別する → 一直線を等間隔に区切ると、両端を含む点の数は区間数より1多くなります。両端に置かない場合の点の数は、区間数より1少なくなります。
この問題の見方：400mの両端にはリボンを付けないという条件を先に囲みます。400÷5で求まるのはリボンの本数ではなく、5mの区間数です。
使う工夫：まず80区間と求め、両端を含む区切り点81個から両端の2個を引きます。短く書くなら、両端なしなので区間数−1です。
段階ヒント
ヒント1：400÷5で求まる80は、何の個数でしょう。リボンの本数とは限りません。
ヒント2：5mごとの区切りは0mから400mまであります。そのうち0mと400mの2点には付けません。
完全解説
1. 400÷5＝80なので、ロープは5mの区間80個に分かれます。 2. 一直線では、区間が80個なら区切り点は両端を含めて80＋1＝81個です。 3. 問題では0mの端と400mの端にリボンを付けません。 4. したがって81−2＝79本です。これは5m、10m、…、395mの各地点に付けることと同じです。
本番の書き方
区間数＝400÷5＝80
両端を除く点の数
＝80＋1−2＝79本
答え：79本
検算：リボンの位置は5の倍数で、最初が5m、最後が395mです。395÷5＝79より79か所あり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：400÷5＝80をそのまま本数にすることです。80は区間数であり、両端にリボンを付けるかどうかで本数が変わります。
次に見抜く印：「一直線」「等間隔」「両端には置かない」がそろったら、植木算の区間数−1を使います。
2023年度｜問9｜公式PDF p.4 未着手
10人の中央値
データの整理 → 小さい順の中央の値・範囲を調べる → 中央値は、資料を小さい順に並べたときの中央の値です。資料が偶数個なら、中央にある2個の平均を取ります。
この問題の見方：得点が10個あることを数えます。偶数個なので、並べた後の5番目と6番目だけが中央値を決めると判断します。
使う工夫：合計は求めず、得点を昇順に並べます。10個すべてを並べたら、中央の13点と15点の平均だけを計算します。
段階ヒント
ヒント1：中央値では得点の合計を使いません。まず10個を小さい順に並べましょう。
ヒント2：並べると7、9、11、11、13、15、15、15、17、20です。中央の5番目と6番目を使います。
完全解説
1. 得点を小さい順に並べると、7、9、11、11、13、15、15、15、17、20です。 2. 資料は10個なので、中央が1個だけになるのではなく、5番目と6番目の間が中央です。 3. 5番目は13点、6番目は15点です。 4. この2数の平均を取り、（13＋15）÷2＝14点となります。
本番の書き方
7、9、11、11、13｜15、15、15、17、20
中央2数は13と15
（13＋15）÷2＝14点
答え：14点
検算：並べた資料は10個あり、14点より小さい側に5個、大きい側にも5個あります。公式解答の14点とも一致します。
よくあるミス：元の並びの5番目と6番目を使うことや、全得点を10で割って平均値を求めることです。中央値では必ず大きさの順に並べます。
次に見抜く印：「中央値」と書かれていたら、合計より先に資料の個数を数え、昇順に並べて中央を探します。
2023年度｜問10｜公式PDF p.4 未着手
速さを変えた所要時間
速さ → 同距離の時間比は速さの逆比 → 同じ道のりでは、速さが何倍になると、かかる時間はその逆の割合になります。時速と分速を比べるときは、mと分へ単位をそろえます。
この問題の見方：時速4kmを1分当たりに直すと、4000÷60＝200/3mです。新しい分速200mはその3倍だとすぐ分かります。
使う工夫：道のりを先に求めず、速さの比を使います。新しい速さが3倍なので時間は1/3となり、50÷3分を分と秒へ直します。
段階ヒント
ヒント1：時速4kmを、1分に進むmへ直して分速200mと比べましょう。
ヒント2：もとの速さは分速200/3m、新しい速さはその3倍です。同じ道のりなので、時間は50÷3分になります。
完全解説
1. 時速4km＝1時間に4000m進む速さです。1時間は60分なので、もとの速さは4000÷60＝200/3m/分です。 2. 新しい分速200mは、200÷（200/3）＝3倍の速さです。 3. 同じ道のりでは、速さが3倍なら時間は1/3になるため、50÷3＝16と2/3分です。 4. 2/3分＝60×2/3＝40秒なので、かかる時間は16分40秒です。
本番の書き方
時速4km＝分速200/3m
200÷200/3＝3倍
50÷3＝16と2/3分
＝16分40秒
答え：16分40秒
検算：もとの道のりは4×50/60＝10/3kmです。分速200mで16分40秒、つまり50/3分走ると200×50/3＝10000/3m＝10/3kmとなり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：時速4kmと分速200mを単位の違うまま比べることや、速さが3倍なら時間も3倍とすることです。同じ道のりでは時間は反対に1/3です。
次に見抜く印：同じ道のりを別の速さで進み、2つの速さが簡単な倍数になる問題では、道のりを出す前に速さの比と時間の逆比を調べます。
2023年度｜問11｜公式PDF p.4 未着手
アメとガムの和差算
特殊算 → 合計と差から各量を求める → 2つの数量の合計と差が分かるとき、合計から差を引くと「少ない方2つ分」になる。少ない方は（合計−差）÷2で求められる。
この問題の見方：「合計35個」「差が11個」「ガムの方が少ない」の3条件を見て、少ない方を求める和差算だと判断します。
使う工夫：差の11個を多いアメから取り除き、アメとガムを同じ個数にそろえます。そろえた後の合計を2等分するのが最短です。
段階ヒント
ヒント1：多いアメから、ガムより余分にある11個を取り除くとどうなりますか。
ヒント2：残った35−11個は、ガム何組分に当たるか考えます。
完全解説
1. ガムはアメより11個少ないので、アメにはガムと同じ分のほかに11個の余りがあります。2. アメからその11個を取り除くと、アメとガムが同じ個数になります。3. このときの合計は35−11＝24個で、これはガム2組分です。4. したがってガムは24÷2＝12個です。
本番の書き方
35−11＝24（少ない方2組分）
24÷2＝12個
答え：12個
検算：ガムを12個とすると、アメは12＋11＝23個です。12＋23＝35個、23−12＝11個となり、合計と差の両方を満たします。公式解答の12個とも一致します。
よくあるミス：（35＋11）÷2＝23個として、多い方のアメを答えてしまうこと。何が少ないかを最後に確認します。
次に見抜く印：「2つの合計」「2つの差」「多い方または少ない方」がそろったら和差算です。少ない方は合計から差を引いて2等分します。
2023年度｜問12｜公式PDF p.4 未着手
3つの図形の角度和
平面図形 → 三角形・多角形の内角と外角 → 四角形の内角の和は360度、三角形は180度である。交差する2直線の対頂角は等しいので、離れた角を中央の三角形へ移して考えられる。
この問題の見方：上の四角形と下の2つの三角形に分け、印のない3つの角が、対頂角を通して中央の三角形の3角になることを見ます。
使う工夫：3図形の内角を一つずつ求めず、内角の和をまとめます。全内角720度から、印のない3角の和180度を一度だけ引きます。
段階ヒント
ヒント1：上の図形は四角形、下の左右はそれぞれ三角形です。まず3つの内角の和をまとめましょう。
ヒント2：印のない3角を対頂角に置き換えると、中央にある三角形の3内角になります。
完全解説
1. 上の四角形の内角の和は360度です。2. 下の2つは三角形なので、内角の和はそれぞれ180度です。3. 3図形の全内角は360＋180＋180＝720度になります。4. このうち印のない3角は、それぞれの対頂角を見ると中央の三角形の3内角に当たり、合計180度です。5. よって印の角の合計は720−180＝540度です。
本番の書き方
全内角＝360＋180＋180＝720度
印なし3角＝180度
720−180＝540度
答え：540度
検算：印のない3角をそれぞれア、イ、ウとすると、ア＋イ＋ウ＝180度です。印の角の和は（360−ア）＋（180−イ）＋（180−ウ）＝540度となり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：印が同じ形に見えることから、すべて同じ角度だと決めること。また、交差点の向かい合う角が等しいことを使わず、図の見た目で角度を推測すること。
次に見抜く印：複数の三角形や四角形が交差している角度和では、求めない角の対頂角が別の三角形を作っていないか探します。
2023年度｜問13｜公式PDF p.5 未着手
分子を変える分数
数の性質 → 整数になる分数・約分前の分数を求める → 同じ分母のまま分子だけを変えた2つの分数は、その差を見ると元の分母を求めやすい。約分後の分数は、まず共通分母に直して比べる。
この問題の見方：「分子に4を足す」と「分子から3を引く」を比べ、2つの分子には4＋3＝7の差ができることに注目します。
使う工夫：2つの結果の差を取り、分子の差7をそのまま対応させます。結果を24分の形にそろえると、元の分母と分子を順に戻せます。
段階ヒント
ヒント1：5/8と1/3を、同じ分母の分数に直して差を求めましょう。
ヒント2：2つの結果では分子が7違います。共通分母にしたときの分子の差も7になる形を探します。
完全解説
1. 分子に4を足した場合と3を引いた場合では、分子の差は4＋3＝7です。2. 結果の差は5/8−1/3＝15/24−8/24＝7/24です。3. 同じ元の分母に対して分子が7違い、その差が7/24なので、元の分母は24です。4. 4を足した後の分子は15ですから、元の分子は15−4＝11です。5. よって元の分数は11/24です。
本番の書き方
5/8−1/3＝15/24−8/24＝7/24
分母＝24
分子＝15−4＝11
11/24
答え：11/24
検算：11/24の分子に4を足すと15/24＝5/8、分子から3を引くと8/24＝1/3です。2条件をともに満たし、公式解答とも一致します。
よくあるミス：約分後の8や3を元の分母だと決めること。また、分子の変化を4−3＝1としてしまうこと。増やした場合と減らした場合の隔たりは7です。
次に見抜く印：「同じ分数の分子だけを増減したら、別々の分数になった」という問題では、できた2分数の差と分子の変化の差を対応させます。
2023年度｜問14｜公式PDF p.5 未着手
50円玉と500円玉
特殊算 → 全部を一方と仮定して差を調整する → 個数の合計と2種類の単価が分かるときは、全部を一方の種類だと仮定する。仮の金額と実際の金額の差を、1枚を交換したときの差で割る。
この問題の見方：「50円玉と500円玉が合計15枚」とあるので、全部を高い500円玉とした場合の金額を最初に出します。
使う工夫：全部500円玉と仮定し、実際より多い金額を消去します。500円玉を50円玉へ1枚替えるたびに450円減ることを利用します。
段階ヒント
ヒント1：15枚がすべて500円玉なら、合計はいくらになるでしょう。
ヒント2：仮の合計と4350円の差を求め、その差が450円何個分かを考えます。
完全解説
1. 15枚がすべて500円玉なら、500×15＝7500円です。2. 実際は4350円なので、仮の金額は7500−4350＝3150円多くなっています。3. 500円玉1枚を50円玉へ替えると、金額は500−50＝450円減ります。4. 3150円を450円ずつ減らすには3150÷450＝7回必要です。したがって50円玉は7枚です。
本番の書き方
500×15−4350＝3150円
500−50＝450円
3150÷450＝7枚
答え：7枚
検算：残りの500円玉は15−7＝8枚です。50×7＋500×8＝350＋4000＝4350円となり、枚数も7＋8＝15枚です。公式解答とも一致します。
よくあるミス：3150円を50円や500円で割ること。1枚を交換したときに変わる金額は、2種類の差である450円です。
次に見抜く印：2種類の物について「合計個数」と「合計金額」が出たら、全部を高い方または安い方と仮定するつるかめ算を考えます。
2023年度｜問15｜公式PDF p.5 未着手
2人でする仕事
特殊算 → 全体の仕事量と1日あたりの仕事をそろえる → 仕事全体を、かかる日数の最小公倍数にすると、1日分の仕事量を整数で表せる。2人で行う1日分は、それぞれの1日分を足す。
この問題の見方：Aさんの12日とBさんの15日を見て、最小公倍数60を仕事全体にすると計算しやすいと判断します。
使う工夫：全仕事を60と置き、AとBの1日分を整数で求めます。「何日目」なので、割り算の端数は次の日に入ることにも注意します。
段階ヒント
ヒント1：仕事全体を60とすると、AさんとBさんは1日にそれぞれどれだけ進めますか。
ヒント2：2人の1日分を足し、6日後に終わっているか、仕事がいくつ残るかを調べます。
完全解説
1. 仕事全体を12と15の最小公倍数60とします。2. Aさんは1日に60÷12＝5、Bさんは60÷15＝4進めます。3. 2人では1日に5＋4＝9進みます。4. 6日後に終えた量は9×6＝54で、まだ60−54＝6残っています。5. 残りは7日目の途中に終わるため、答えは7日目です。
本番の書き方
全体60
A：60÷12＝5、B：60÷15＝4
60÷（5＋4）＝6と2/3日
よって7日目
答え：7日目
検算：6日終了時は54で未完成、7日終了時なら54＋9＝63で全体60を超えます。したがって終了は7日目の途中であり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：6と2/3日かかることから「6日目」と答えること。「何日目」は6日を過ぎた時点で7日目に入っています。
次に見抜く印：「Aだけなら何日、Bだけなら何日、一緒なら何日目」という形は仕事算です。日数の最小公倍数を全体にします。
2023年度｜問16｜公式PDF p.5 未着手
直方体を切り取った体積
立体図形 → 柱体の体積・くり抜き・体積保存 → 段のある立体は、外側を補った大きな直方体から、欠けた直方体を引くと求めやすい。欠けた部分の辺は、図にある全体の長さとの差で求める。
この問題の見方：外側の直方体を7cm×6cm×9cmと見ます。次に、上に残る横の長さ5cmと下段の高さ3cmから、欠けた部分の横と高さを出します。
使う工夫：「全体から引く」を使います。欠けた直方体は、横7−5、奥行き6、高さ9−3となり、1回の引き算で体積を求められます。
段階ヒント
ヒント1：まず、欠ける前の7cm×6cm×9cmの直方体を考えましょう。
ヒント2：欠けた部分の横は7−5cm、高さは9−3cmです。奥行きは全体と同じ6cmです。
完全解説
1. 欠ける前の大きな直方体の体積は7×6×9＝378cm³です。2. 欠けた部分の横は、全体7cmから上に残る5cmを引いて2cmです。3. 欠けた部分の高さは、全体9cmから下段3cmを引いて6cmで、奥行きは6cmです。4. 欠けた体積は2×6×6＝72cm³です。5. 残る体積は378−72＝306cm³です。
本番の書き方
全体＝7×6×9＝378
欠け＝（7−5）×6×（9−3）＝72
378−72＝306cm³
答え：306cm³
検算：上下に分けても、下段は7×6×3＝126cm³、上段は5×6×6＝180cm³です。126＋180＝306cm³となり、公式解答と一致します。
よくあるミス：欠けた部分の高さを図の3cmにすること。3cmは残っている下段の高さなので、欠けた部分は9−3＝6cmです。
次に見抜く印：階段形の立体では、「大きな直方体−欠けた部分」と「段ごとに分けて足す」のどちらが短いかを見ます。
2023年度｜問17｜公式PDF p.6 未着手
母と子の年齢
特殊算 → 変わらない年齢差と年齢の比を使う → 何年後かには、登場する全員が同じ年数だけ年を取る。将来の年齢の和を比で分け、求めた将来の年齢から経過年数を引いて現在へ戻す。
この問題の見方：現在の和48才に対し、「2年後」は母と子の2人がそれぞれ2才増えるので、和が4才増えることを最初に確認します。
使う工夫：2年後の合計を先に求め、その時点の母：子＝3：1で分けます。現在の年齢を別々に仮定する必要はありません。
段階ヒント
ヒント1：2年後には、母と子の年齢の和はいくつ増えるでしょう。
ヒント2：2年後の合計を、母3つ分・子1つ分の合計4つに分け、最後に現在へ戻します。
完全解説
1. 2年後は母も子も2才増えるため、年齢の和は2＋2＝4才増えます。2. 2年後の和は48＋4＝52才です。3. このとき母：子＝3：1なので、合計は3＋1＝4つ分です。4. 子の2年後の年齢は52÷4＝13才です。5. 現在はその2年前なので、13−2＝11才です。
本番の書き方
2年後の和＝48＋2×2＝52才
子の2年後＝52÷（3＋1）＝13才
現在＝13−2＝11才
答え：11才
検算：現在の子を11才とすると母は48−11＝37才です。2年後は子13才、母39才となり、39÷13＝3です。和と3倍の条件を満たし、公式解答とも一致します。
よくあるミス：2年後の合計に2才だけを足すこと。母と子の2人が年を取るため、合計には2×2＝4才を足します。
次に見抜く印：年齢の和と「何年後に何倍」が出たら、その将来時点の合計を作り、倍数を比に直して分けます。
2023年度｜問18｜公式PDF p.6 未着手
食塩水の混合
割合・比 → 食塩量を保存して混合する → 2種類の濃度を混ぜて中間の濃度にするとき、混ぜる重さの比は目標濃度からの差の逆比になる。低い方の量：高い方の量＝高い方との差：低い方との差である。
この問題の見方：3％と5％の間に4.2％があるので、4.2−3＝1.2と5−4.2＝0.8の2つの濃度差を見ます。
使う工夫：てんびん算で濃度差を逆に対応させます。食塩の重さを小数で最後まで計算するより、3％液：5％液の比を先に作る方が短くなります。
段階ヒント
ヒント1：4.2％は3％より何ポイント高く、5％より何ポイント低いでしょう。
ヒント2：3％液：5％液は、反対側の濃度差である0.8：1.2です。これを簡単な整数比に直します。
完全解説
1. 3％液は目標の4.2％より1.2ポイント低く、5％液は0.8ポイント高くなっています。2. 高い方の余り0.8と低い方の不足1.2をつり合わせるので、3％液：5％液＝0.8：1.2＝2：3です。3. 3％液180gが比の2に当たるため、1つ分は180÷2＝90gです。4. 5％液は3つ分なので、90×3＝270gです。
本番の書き方
3％液：5％液
＝（5−4.2）：（4.2−3）
＝0.8：1.2＝2：3
180÷2×3＝270g
答え：270g
検算：食塩は3％液に180×0.03＝5.4g、5％液に270×0.05＝13.5gあります。合計18.9gを全体450gで割ると18.9÷450＝0.042＝4.2％となり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：3％と5％を単純に平均して4％とすること。2種類の食塩水の重さは同じではありません。また、濃度差の比を逆にし忘れないようにします。
次に見抜く印：2つの濃度と混合後の濃度が示され、片方の重さを求める問題では、目標濃度から左右への差を逆比にします。
2023年度｜問19｜公式PDF p.6 未着手
トラックが列車を追い越す
速さ → 列車の長さと進む距離・相対速度 → 同じ向きに進む2台の速さの差が、相対速度になる。後ろの車両が前の車両を完全に追い越すには、両方の長さの合計だけ相対的に進む必要がある。
この問題の見方：「完全に追い越す」を見て、貨物列車200mだけでなくトラック自身の長さ5mも必要だと確認し、時速60kmと42kmの差を取ります。
使う工夫：相対速度を使います。2台それぞれの進んだ距離を求めず、相対距離200＋5＝205mを、速さの差で直接割ります。
段階ヒント
ヒント1：トラックの先頭が列車の最後尾から列車の先頭を抜け、さらにトラックの最後尾まで出るには、相対的に何m進む必要がありますか。
ヒント2：速さの差は60−42＝18km/hです。これを秒速に直して、相対距離を割ります。
完全解説
1. 同じ向きなので、トラックが列車へ近づく相対速度は60−42＝18km/hです。2. 18km/h＝18000÷3600＝5m/秒です。3. 完全に追い越すには、トラックが列車の長さ200mと自分の長さ5mの合計205mだけ相対的に進みます。4. したがって、かかる時間は205÷5＝41秒です。
本番の書き方
相対速度＝60−42＝18km/h
18km/h＝5m/秒
（200＋5）÷5＝41秒
答え：41秒
検算：41秒間にトラックが列車より余分に進む距離は5×41＝205mです。これは列車200mとトラック5mの合計に等しく、完全に追い越した状態になります。公式解答とも一致します。
よくあるミス：200÷5＝40秒として、トラック自身の長さ5mを入れ忘れること。また、同方向なのに速さを足してしまうこと。
次に見抜く印：「同じ方向」「追いつく・追い越す」なら速さの差を使います。「完全に追い越す」なら、必要な相対距離に両方の長さを含めます。
2023年度｜問20｜公式PDF p.6 未着手
回転した二等辺三角形の角
平面図形 → 回転・転がり・移動でできる面積や角度 → 回転移動では、回転中心から対応する点までの長さと図形の角度が保たれる。また、2辺が等しい三角形では、その向かい側の2つの底角が等しい。
この問題の見方：Bを中心に26度回転してAがD、CがEへ移るので、BA＝BD、BC＝BEと見ます。さらにEが辺AC上にあることを図で確認します。
使う工夫：回転でできる二等辺三角形BCEとABDを順に使います。求める角アを直接追わず、まず77度を作り、Dの角を回転後の26度と残りに分けます。
段階ヒント
ヒント1：BC＝BEなので、三角形BCEは二等辺三角形です。頂角∠CBEは回転角と同じ26度です。
ヒント2：三角形BCEの底角から元の三角形ABCの角を求めます。次にBA＝BDでできる三角形ABDのDの角を、∠BDEと角アに分けます。
完全解説
1. 回転によりBC＝BE、∠CBE＝26度なので、三角形BCEの底角は（180−26）÷2＝77度です。2. EはAC上にあるため、∠BCAも77度です。AB＝ACより∠ABCも77度なので、∠BAC＝180−77×2＝26度です。3. BA＝BD、∠ABD＝26度だから、三角形ABDの底角∠ADBは77度です。4. 回転後の∠BDEは元の∠BACと等しく26度です。5. ∠ADBは角アと∠BDEに分かれるので、角ア＝77−26＝51度です。
本番の書き方
∠BCE＝（180−26）÷2＝77度
∠BAC＝180−77×2＝26度
∠ADB＝77度、∠BDE＝26度
角ア＝77−26＝51度
答え：51度
検算：三角形ABCの角は26度・77度・77度です。回転した三角形DBEも同じ角を持ち、Dでは∠ADB＝角ア＋∠BDE＝51＋26＝77度となります。図の角の分割と公式解答の51度に一致します。
よくあるミス：回転角26度をそのまま角アとすること。また、AB＝ACによる二等辺三角形ABCと、回転でできるBA＝BD、BC＝BEの二等辺三角形を混同すること。
次に見抜く印：回転図形では、まず「中心から元の点まで＝中心から移った点まで」に印を付けます。同じ長さから二等辺三角形を見つけ、回転角を頂角として使います。
2023年度｜問21｜公式PDF p.7 未着手
最大整数の記号計算
数の性質 → 定義された演算を読み替える → 【A】は、A以下の最大の整数を表します。記号の中に入っている計算を先にすべて行うか、数だけに記号をつけるかで結果が変わります。
この問題の見方：【2.9×8】と【2.9】×8で、【】が囲んでいる範囲が違うことに注目します。
使う工夫：先に23.2を作ってから整数部分を取る場合と、2.9を整数にしてから8倍する場合を分けて計算します。
段階ヒント
ヒント1：左側は、まず2.9×8を計算してから【】をつけます。
ヒント2：右側は【2.9】＝2なので、左側との差は【23.2】−2×8です。
完全解説
①左側の【】の中は2.9×8なので、2.9×8＝23.2です。②23.2以下の最大の整数は23だから、【2.9×8】＝23です。③右側は2.9そのものに【】をつけるので、【2.9】＝2です。④したがって【2.9】×8＝2×8＝16です。⑤求める差は23−16＝7となります。
本番の書き方
2.9×8＝23.2
【23.2】−【2.9】×8
＝23−2×8＝7
答え：7
検算：23≤23.2＜24、2≤2.9＜3なので、二つの整数部分はそれぞれ23と2です。公式解答の7とも一致します。
よくあるミス：【】の位置を無視して、両方を【2.9×8】として計算しないようにします。
次に見抜く印：同じ記号でも、囲む範囲が違うと計算順序が変わる問題です。まず記号の内側を確認します。
2023年度｜問22｜公式PDF p.7 未着手
平均点が2点上がる回数
特殊算 → 平均×個数で合計と差を求める → 平均が上がったときは、追加された点数がもとの平均より何点高いかを考えます。その余分な点数を、今回を含む全回数に分けた量が平均の上昇分です。
この問題の見方：今回の90点は、以前の平均74点より16点高く、平均は2点上がっています。
使う工夫：90−74で生まれた16点の余分を、平均の上昇2点ずつに分けて、今回を含む回数を直接求めます。
段階ヒント
ヒント1：今回の点数が、以前の平均より何点高いかを計算します。
ヒント2：その差16点を、平均の上昇分76−74＝2点で割ります。
完全解説
①以前の平均は74点、今回の得点は90点なので、今回の得点は平均より90−74＝16点高いです。②この16点の上積みが、今回を含む全回数に分かれて平均を押し上げました。③平均は76−74＝2点上がったので、全回数は16÷2＝8回です。④実際、以前は7回だったことになり、今回を加えた回数が8回となります。
本番の書き方
90−74＝16
76−74＝2
16÷2＝8回
答え：8回
検算：以前7回なら合計は74×7＝518点、今回を加えると608点です。608÷8＝76点となり、条件に戻ります。
よくあるミス：以前の平均74点から今回の平均76点までの差2点だけを答えにしないことです。
次に見抜く印：平均が変わる問題で、追加された数と以前の平均との差が分かるときは、余分÷平均の上昇で全体の回数を求めます。
2023年度｜問23｜公式PDF p.7 未着手
7時22分の時計の角
速さ → 針の角度差と1分あたりの角度差 → 長針は1分に6度、短針は1分に0.5度進みます。短針は時刻の数字で止まらず、分に合わせて少しずつ動いています。
この問題の見方：7時22分では、長針だけでなく短針も7時の位置から22分間進んでいる点を見ます。
使う工夫：12時の方向からの角度を長針と短針で別々に求め、二つの角度の差を取ります。
段階ヒント
ヒント1：長針は22分で、12時の方向から何度進みますか。
ヒント2：短針は7時の210度に、22分間の11度を加えます。
完全解説
①長針は1分に6度進むので、22分では22×6＝132度です。②短針は7時の位置で7×30＝210度です。③短針も22分間に22×0.5＝11度進むので、12時から210＋11＝221度の位置です。④二つの針の角度の差は221−132＝89度です。89度は180度より小さいため、これが小さい方の角です。
本番の書き方
長針：22×6＝132°
短針：7×30＋22×0.5＝221°
221−132＝89°
答え：89度
検算：長針は132度、短針は221度なので差は89度です。もう一方は271度となり、89度が小さい方です。公式解答とも一致します。
よくあるミス：短針を7時の210度の位置に固定し、22分間の11度を足し忘れないことです。
次に見抜く印：時刻が「○時△分」の時計算では、短針の移動△×0.5度を必ず加えます。
2023年度｜問24｜公式PDF p.7 未着手
メロンの個数
割合・比 → 割合から元の量・残りの量を求める → 二つの種類に同じ割合をかけると、全体にその割合をかけた数になります。実際との差だけを、片方に生じた割合の差として考えると、個数を求められます。
この問題の見方：メロンとスイカの合計120個に、共通して1/3をかけると40個になります。実際の60個との差20個がメロン側の増加分です。
使う工夫：4/7と1/3の差を先に約分して5/21にし、20個がメロンの何分の何に当たるかで逆算します。
段階ヒント
ヒント1：120個の1/3と、実際の60個との差を求めます。
ヒント2：メロンについて、4/7−1/3＝5/21なので、20個が5/21に当たります。
完全解説
①メロンとスイカの両方を1/3ずつ取ると、合計は120×1/3＝40個です。②実際の合計は60個なので、共通の40個より20個多くなっています。③スイカの割合はそのまま1/3ですが、メロンは4/7なので、メロンだけが4/7−1/3＝5/21多くなっています。④この5/21が20個だから、メロンの個数は20÷5×21＝84個です。
本番の書き方
120×1/3＝40
60−40＝20
4/7−1/3＝5/21
20÷5×21＝84個
答え：84個
検算：スイカは120−84＝36個です。84×4/7＝48、36×1/3＝12で、48＋12＝60個となります。
よくあるミス：4/7と1/3を個数そのものの比と考えたり、4/7−1/3を計算せずに進めたりしないことです。
次に見抜く印：二種類の割合の合計で、片方だけ割合が違うときは、共通の割合を引いて差だけを残します。
2023年度｜問25｜公式PDF p.8 未着手
3種類の重りの比
割合・比 → 等しい比・逆比で量をそろえる → 天びんがつり合うとき、左右の重さは等しいです。一つの記号の重さを1と置き、二つのつり合いを同じ基準で表します。
この問題の見方：二つ目のつり合いから、△1個と□3個が等しいので、△＝□3個分と分かります。
使う工夫：□を1と置いて△を3にそろえ、最初のつり合いから○の重さを求めます。
段階ヒント
ヒント1：□1個の重さを1とすると、△1個は3になります。
ヒント2：最初のつり合いでは、△＋□＝3＋1＝4が○2個分です。
完全解説
①□1個の重さを1とします。②二つ目のつり合いは△1個＝□3個なので、△は3です。③最初のつり合いでは、左側の△1個と□1個の合計は3＋1＝4です。④これは右側の○2個分だから、○1個は4÷2＝2です。⑤したがって、○：△：□＝2：3：1となります。
本番の書き方
□＝1、△＝3
△＋□＝3＋1＝4
○＝4÷2＝2
○：△：□＝2：3：1
答え：2：3：1
検算：○：△：□＝2：3：1を入れると、△＋□＝3＋1＝4、○2個＝2×2＝4となり、最初のつり合いを満たします。
よくあるミス：答える順番が○、△、□なのに、□、△、○の順で書かないようにします。
次に見抜く印：複数のつり合いで同じ記号が登場するときは、最も扱いやすい記号を1として他をそろえます。
2023年度｜問26｜公式PDF p.8 未着手
30年間の貯金額
規則性 → 一定の差からn番目・数列の和を求める → 毎年1万円ずつ増える貯金額は、等差数列になっています。最初と最後の平均に年数をかけると、全期間の合計を求められます。
この問題の見方：15歳から44歳までは、年齢の差29ではなく、両端を含む30年間です。金額は2万円から31万円まで1万円ずつ増えます。
使う工夫：2万円と31万円、3万円と30万円のように両端を組み、どの組も33万円にします。
段階ヒント
ヒント1：15歳から44歳までの年数を、両端を含めて数えます。
ヒント2：30年分を15組にすると、1組は2＋31＝33万円です。
完全解説
①15歳から44歳までは、44−15＋1＝30年です。②貯金額は2万円、3万円、4万円、…、31万円となっています。③最初と最後を組むと2＋31＝33万円、次も3＋30＝33万円で、どの組も33万円です。④30個の金額は15組になるので、合計は33×15＝495万円です。
本番の書き方
44−15＋1＝30年
（2＋31）×30÷2
＝33×15＝495万円
答え：495万円
検算：1年あたりの平均は（2＋31）÷2＝16.5万円です。16.5×30＝495万円となり、組分けの答えと一致します。
よくあるミス：44−15＝29として、年数を29年にしないことです。15歳と44歳の両方を数えます。
次に見抜く印：一定の金額ずつ増える合計は、最初と最後の平均×個数で処理できます。
2023年度｜問27｜公式PDF p.8 未着手
連続値引きと原価
割合・比 → 原価・定価・利益・購入個数の関係 → 5割の利益を見込んだ定価は、原価の1.5倍です。値引きはそれぞれ直前の価格に対して行うので、残る割合を順番にかけます。
この問題の見方：2割引のあとにさらに3割引なので、定価から合計5割引ではなく、0.8倍と0.7倍を続けます。
使う工夫：原価を1と見て、定価・1回目の値引き・2回目の値引きを倍率でつなぎ、最後に1008円から逆算します。
段階ヒント
ヒント1：定価は原価の1.5倍、2割引後はその0.8倍です。
ヒント2：売価は原価の1.5×0.8×0.7倍なので、1008円をこの倍率で割ります。
完全解説
①原価を基準にすると、5割の利益を加えた定価は原価の1＋0.5＝1.5倍です。②2割引では定価の80％、つまり0.8倍になります。③さらに3割引では、その価格の70％、つまり0.7倍になります。④したがって売価は原価の1.5×0.8×0.7＝0.84倍です。⑤売価が1008円なので、原価は1008÷0.84＝1200円です。
本番の書き方
定価：原価×1.5
売価：原価×1.5×0.8×0.7
1008÷0.84＝1200円
答え：1200円
検算：1200×1.5＝1800円、1800×0.8＝1440円、1440×0.7＝1008円です。順に値引きした結果が売価に戻ります。
よくあるミス：2割引と3割引を足して、定価の5割引として計算しないことです。
次に見抜く印：値引きや割増しが続く問題では、増える割合・残る割合を順番に掛けます。
2023年度｜問28｜公式PDF p.8 未着手
川を下る時間
速さ → 静水時の速さと流速を分ける → 船の静水時の速さは、上りの速さに流速を足したものです。上りでは流れに逆らうため、静水時の速さから流速を引きます。
この問題の見方：30kmを2時間30分で上った実際の速さを求め、それを静水時15kmと比べます。
使う工夫：上りの速さから流速を引き算で求め、下りではその流速を15km毎時に足します。
段階ヒント
ヒント1：2時間30分を2.5時間に直し、上りの速さを求めます。
ヒント2：上りは30÷2.5＝12km毎時なので、流速は15−12、下りは15＋その流速です。
完全解説
①2時間30分は2.5時間です。②上りの実際の速さは30÷2.5＝12km毎時です。③静水時は15km毎時なので、流速は15−12＝3km毎時です。④下りでは流れが進む向きになるため、速さは15＋3＝18km毎時です。⑤27kmを下る時間は27÷18＝1.5時間で、1時間30分です。
本番の書き方
2時間30分＝2.5時間
30÷2.5＝12、15−12＝3
27÷（15＋3）＝1.5時間
＝1時間30分
答え：1時間30分
検算：下りの速さ18km毎時で1時間30分進むと、18×1.5＝27kmです。距離と単位が条件に戻ります。
よくあるミス：上りの速さ12km毎時を静水時の速さとして、そのまま下りの計算に使わないことです。
次に見抜く印：川の上り下りでは、上り＝船−流れ、下り＝船＋流れの関係を使います。
2023年度｜問29｜公式PDF p.9 未着手
同じ数が入る分数
割合・比 → 等しい比・逆比で量をそろえる → 分数が20になるとき、分子と分母の比は20：1です。同じ整数が分子と分母に入っていると、差を取るとその整数が消えます。
この問題の見方：分子と分母の差は、同じ空欄が消えて27＋30＝57になることに注目します。
使う工夫：20：1の比の差19に実際の差57を対応させ、分母を先に求めてから空欄を戻します。
段階ヒント
ヒント1：分子：分母＝20：1なので、比の差は19です。
ヒント2：実際の差57が比の差19に当たるから、比の1に当たる分母は57÷19＝3です。
完全解説
①分子と分母は、それぞれ□＋27、□−30です。②二つの差を取ると、□が消えて27＋30＝57になります。③分数が20なので、分子：分母＝20：1で、比の差は20−1＝19です。④比の1に当たる分母は57÷19＝3です。⑤分母は□−30だから、□−30＝3より、空欄は33です。
本番の書き方
（□＋27）−（□−30）＝57
57÷（20−1）＝3
□＝3＋30＝33
答え：33
検算：空欄に33を代入すると、分子は60、分母は3です。60÷3＝20となり、条件に一致します。
よくあるミス：分子と分母の空欄に別々の数を入れたり、差を27−30として負の数にしたりしないことです。
次に見抜く印：同じ空欄が分子と分母にあり、分数の値が整数で決まっているときは、まず差を取ります。
2023年度｜問30｜公式PDF p.9 未着手
余りと不足から生徒数
数の性質 → 倍数判定・余りの条件を整理する → 同じ人数に公平に分けるなら、余りを除いた数や不足を足した数は、その人数で割り切れます。最後に共通の約数を求め、余りより大きい人数だけを残します。
この問題の見方：ガムは19個余るので343−19、チョコは17個不足するので379＋17に直すと、人数で割り切れる数になります。
使う工夫：252、324、396の最大公約数を求め、余り19より大きいという条件で人数を決定します。
段階ヒント
ヒント1：割り切れる数は、アメ252、ガム343−19、チョコ379＋17です。
ヒント2：252、324、396の最大公約数を求めると36です。36は余り19より大きい人数です。
完全解説
①アメは余りがないので、人数で252を割り切れます。②ガムは19個余ったので、343−19＝324個がちょうど分けられる数です。③チョコは17個不足したので、379＋17＝396個あればちょうど分けられます。④したがって人数は252、324、396の共通の約数です。⑤3数の最大公約数は36で、19より大きいので、生徒数は36人です。
本番の書き方
343−19＝324
379＋17＝396
最大公約数（252,324,396）＝36人
答え：36人
検算：252÷36＝7、343＝36×9＋19、379＝36×11−17です。余り19と不足17が条件どおりになり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：不足17個を引いたり、ガムの余り19個を足したりして、割り切れる数の作り方を逆にしないことです。
次に見抜く印：余り・不足が同じ人数への分配から出ているときは、割り切れる数に直して最大公約数を調べます。
2023年度｜問31｜公式PDF p.9 未着手
約数が3個の整数
数の性質 → 素因数分解で約数の個数を数える → 約数がちょうど3個になる整数は、素数の平方に限られます。素数pの平方p²の約数は1、p、p²の3個です。
この問題の見方：「約数がちょうど3つ」と「1から100」という条件から、素数の平方を小さい順に調べます。
使う工夫：素数の平方を列挙し、100を超える直前で止めます。
段階ヒント
ヒント1：該当する形は「素数×同じ素数」です。
ヒント2：2²、3²、5²、7²を100以下で確認します。
完全解説
約数が3個の整数は、素数pを使ったp²の形です。p²の約数は1、p、p²だけなので、ちょうど3個になります。1から100まででは、2²＝4、3²＝9、5²＝25、7²＝49が該当します。次の11²＝121は100を超えるため、該当する整数はこの4個です。
本番の書き方
2²、3²、5²、7²
＝4、9、25、49
よって4個
答え：4個
検算：公式解答の4個と一致します。4、9、25、49の約数をそれぞれ書くと、いずれも3個で、121以降は範囲外です。
よくあるミス：1を含めたり、合成数の平方まで含めたりしないようにします。平方のもとの数が素数であることが必要です。
次に見抜く印：「約数が3個」と見たら、まず素数の平方だけを探します。
2023年度｜問32｜公式PDF p.9 未着手
2個のサイコロと5地点
場合の数・論理 → カード・さいころの並べ方を条件で分ける → 5地点を順に進むので、出目の和を5で割った余りで到着地点が決まります。大小2つのサイコロは別のものなので、出目の順序を区別します。
この問題の見方：AからBは1地点分なので、和を5で割った余りが1になる出目を探します。
使う工夫：和2〜12のうち、余り1になる6と11だけに絞り、順序付きで数えます。
段階ヒント
ヒント1：Bに着くのは、出目の和が5で割って余り1になる場合です。
ヒント2：該当する和は6と11です。それぞれの出目の組を順序付きで書き出します。
完全解説
地点はA、B、C、D、Eの5個なので、5歩進むと元の地点に戻ります。AからBへ着くには、出目の和が5で割った余り1、つまり和が6または11になればよいです。和が6は(1,5)から(5,1)まで5通り、和が11は(5,6)、(6,5)の2通りです。大小2個のサイコロを区別して、合計7通りです。
本番の書き方
和6：5通り
和11：2通り
5＋2＝7通り
答え：7通り
検算：公式解答の7通りと一致します。7組すべてで、和を5で割ると余り1になります。
よくあるミス：(1,5)と(5,1)のように、大小のサイコロの出目を同じものとして数えないようにします。
次に見抜く印：円周上を一定数の地点で進む問題は、進む数を地点数で割った余りで分類します。
2023年度｜問33｜公式PDF p.10 未着手
姉妹がいる生徒の集合
場合の数・論理 → 重なりを整理して全体を数える → 「姉だけ」「妹だけ」「姉も妹もいる」「どちらもいない」の4つに分けると、重なりを二重に数えずに全体を求められます。
この問題の見方：妹がいる7人から、姉も妹もいる3人を引いて、妹だけの人数を出します。
使う工夫：重なりを引いて妹だけを求め、条件の5倍を使って「どちらもいない」人数を足します。
段階ヒント
ヒント1：妹だけの生徒は7−3人です。
ヒント2：どちらもいない生徒は、妹だけの人数の5倍です。
完全解説
姉も妹もいる生徒が3人なので、妹だけいる生徒は7−3＝4人です。したがって、姉も妹もいない生徒は4×5＝20人です。姉だけは9−3＝6人、妹だけは4人、両方いるのは3人なので、姉または妹がいる生徒は6＋4＋3＝13人です。全体は13＋20＝33人です。
本番の書き方
妹だけ：7−3＝4人
いない：4×5＝20人
6＋4＋3＋20＝33人
答え：33人
検算：公式解答の33人と一致します。姉だけ6人、妹だけ4人、両方3人、どちらもなし20人で、合計33人です。
よくあるミス：両方いる3人を、姉の9人と妹の7人に重ねて数えたままにしないことです。
次に見抜く印：「両方」「片方だけ」「どちらもいない」が出たら、4つの区域に分けます。
2023年度｜問34｜公式PDF p.10 未着手
増減後の所持金比
割合・比 → 増減・移動で変わらない差や合計を使う → 2人から同じ金額を引いたり、2人に同じ金額を足したりしても、2人の所持金の差は変わりません。2つの比でその差を表します。
この問題の見方：100円引いた後の比7：4と、150円足した後の比4：3で、同じ姉妹の差を比べます。
使う工夫：それぞれの比の差を同じ金額にそろえ、比の1あたりの金額を求めます。
段階ヒント
ヒント1：7：4の差は3部分、4：3の差は1部分です。どちらも元の所持金の差を表します。
ヒント2：姉の金額は、引いた後から足した後まで250円増えています。
完全解説
100円引いた後を7：4とすると、姉妹の差は3部分です。150円足した後を4：3とすると、同じ差は1部分なので、前の1部分の3倍が後の1部分になります。姉の金額は、最初の状態から次の状態まで250円増えたため、7部分から12部分への5部分が250円、1部分は50円です。元の金額は姉450円、妹300円なので、比は450：300＝3：2です。
本番の書き方
5部分＝100＋150＝250円
1部分＝50円
元：450円：300円＝3：2
答え：3：2
検算：公式解答の3：2と一致します。100円引くと350：200＝7：4、150円足すと600：450＝4：3です。
よくあるミス：2つの状態で、比の1部分が同じ金額だと決めつけないことです。差が同じになるように比をそろえます。
次に見抜く印：2人に同額を足し引きした後の比が示されたら、まず2人の差が保存されることに注目します。
2023年度｜問35｜公式PDF p.10 未着手
初めて10桁になる位置
規則性 → まとまりの項数・位の重みを読む → 数列を群に分けると、第1群は1個、第2群は2個、第3群は3個というように、群の項数が1ずつ増えます。
この問題の見方：1、2と11、3と21と111のように、項を群に区切ると、群の長さが増えていることに気づきます。
使う工夫：初めて10桁になるのは第10群の最後なので、第1群から第10群までの項数を合計します。
段階ヒント
ヒント1：第10群の最後には、1が10個並ぶ数が現れます。
ヒント2：その位置は、1＋2＋…＋9に第10群の10番目を足して求めます。
完全解説
数列は、(1)、(2,11)、(3,21,111)、(4,31,211,1111)のように群に分かれています。第n群にはn個の数があり、最後の数は1がn個並ぶn桁の数です。したがって、初めて10桁になるのは第10群の最後です。第9群までに1＋2＋…＋9＝45個あり、そこから10番目なので、位置は45＋10＝55番目です。
本番の書き方
第9群まで：1＋…＋9＝45
第10群の最後：45＋10＝55番目
答え：55番目
検算：公式解答の55番目と一致します。第9群までの45個に、第10群の10個を加えると55個目です。
よくあるミス：第10群の最初の10を、10桁の数だと取り違えないようにします。10桁になるのは群の最後です。
次に見抜く印：区切られた群ごとに項数が1個ずつ増える数列は、群の長さを順に足します。
2023年度｜問36｜公式PDF p.10 未着手
等間隔の三角形の面積
平面図形 → 底辺比・高さ比から面積や辺の比を求める → 三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、同じ単位で底辺と高さを数えれば、面積比は底辺と高さの積の比で求められます。
この問題の見方：図の等間隔の点を使い、それぞれの三角形の底辺と高さが何区切り分かを数えます。
使う工夫：小・中・ABCの「底辺×高さ」を1×1、2×3、2×5として面積比を作ります。
段階ヒント
ヒント1：3つの三角形の面積比は、底辺と高さの積から求められます。
ヒント2：小・中・大の面積比は1：6：10で、ABCの10部分が20cm²です。
完全解説
図の等間隔を1単位とすると、小さい三角形は底辺1、高さ1、中の三角形は底辺2、高さ3、ABCは底辺2、高さ5です。面積の公式の÷2は共通なので、面積比は1×1：2×3：2×5＝1：6：10になります。ABCの10部分が20cm²だから、1部分は2cm²です。塗られた部分の合計は(1＋6＋10)×2＝34cm²です。
本番の書き方
面積比：1×1：2×3：2×5＝1：6：10
20÷10×17＝34cm²
答え：34cm²
検算：公式解答の34cm²と一致します。各三角形は2cm²、12cm²、20cm²で、合計は34cm²です。
よくあるミス：図の見た目だけで面積を比べず、底辺と高さの両方の区切り数を数えます。
次に見抜く印：2本の直線上に等間隔の点がある三角形は、底辺の区切り数×高さの区切り数で面積比を作ります。
2023年度｜問37｜公式PDF p.11 未着手
BがAを追い越す周回数
速さ → 円周上の出会い・追いつきを考える → 同じ地点から同じ向きに進む周回では、速い人が遅い人に対して1周分多く進んだとき、初めて追い越したことになります。
この問題の見方：10分でBは8周、Aは6周なので、Bが増やす差は10分で2周です。
使う工夫：相対的な差が1周になる時間を求め、その時間にBが進む周数を計算します。
段階ヒント
ヒント1：10分でつく差は8−6周です。
ヒント2：1周差になる時間を出してから、Bの速さでその時間の周数を求めます。
完全解説
2人は同じ地点から同じ向きに出発するため、BがAを初めて追い越すのは、Bの進んだ距離がAより1周分多くなったときです。10分間にBは8周、Aは6周なので、差は2周です。1周の差がつく時間は10÷2＝5分です。その5分間にBは8×5÷10＝4周進みます。
本番の書き方
相対速度：8−6＝2周／10分
1周差：10÷2＝5分
B：8×5÷10＝4周
答え：4周
検算：公式解答の4周と一致します。5分後、Aは3周、Bは4周進み、ちょうど1周差になります。
よくあるミス：10分間の差2周をそのまま答えにせず、1周差になる時間を求めます。
次に見抜く印：同じ地点から同方向に出発する追いつき問題は、速さの差を使う相対速度の問題です。
2023年度｜問38｜公式PDF p.11 未着手
アメの過不足
特殊算 → 配り方による余り・不足の差を使う → 同じ人数に配る問題では、2通りの配り方で生じる余りと不足の合計を、1人あたりの配る個数の差で割ると人数が求められます。
この問題の見方：11個ずつ配る場合の不足を、5個しかもらえない1人と、0個の5人に分けて数えます。
使う工夫：11個配る場合の不足と9個配る場合の余りを合わせ、その差2個で人数を出します。
段階ヒント
ヒント1：11個ずつなら、不足は「5個足りない1人分」と「11個足りない5人分」です。
ヒント2：2つの配り方で、1人あたりの差は11−9＝2個です。
完全解説
11個ずつ配ると、1人は5個しかもらえないので11−5＝6個不足し、5人は0個なので11×5＝55個不足します。不足の合計は61個です。一方、9個ずつなら7個余ります。したがって、9個配る場合から11個配る場合までの全体の差は61＋7＝68個です。1人あたり2個の差なので人数は68÷2＝34人、アメは9×34＋7＝313個です。
本番の書き方
不足：6＋11×5＝61個
人数：(61＋7)÷(11−9)＝34人
9×34＋7＝313個
答え：313個
検算：公式解答の313個と一致します。313個は、9個ずつ34人に配ると7個余り、11個ずつなら28人に11個、1人に5個、5人に0個となります。
よくあるミス：「1人は5個しかもらえない」を5人全員が5個と読まないことです。5個なのは1人だけです。
次に見抜く印：2通りの配り方で余りと不足が示されたら、過不足の合計を1人あたりの差で割ります。
2023年度｜問39｜公式PDF p.11 未着手
空き瓶の交換
特殊算 → 交換で実際に減る空き容器を数える → 空き瓶6本を新しいジュース1本に交換し、飲んだ後に空き瓶が1本戻るので、交換1回につき空き瓶は実質5本減ります。
この問題の見方：最初の101本を飲んだ後の空き瓶101本から、交換できなくなるまで何回交換できるかを考えます。
使う工夫：最後に空き瓶を1本残すと考え、101本から1本を引いた数を、1回の実質減少数5本で割ります。
段階ヒント
ヒント1：6本を渡して1本飲むと、空き瓶は6本から1本を引いた分だけ減ります。
ヒント2：追加で飲める本数は、(101−1)÷(6−1)で求められます。
完全解説
最初の101本を飲むと、空き瓶は101本になります。空き瓶6本を返すと新しいジュース1本をもらえ、そのジュースを飲むと空き瓶1本が増えるので、空き瓶は差し引き5本減ります。最後に空き瓶1本を残すまで交換できる回数は(101−1)÷5＝20回です。したがって、飲める本数は101＋20＝121本です。
本番の書き方
追加：(101−1)÷(6−1)＝20本
合計：101＋20＝121本
答え：121本
検算：公式解答の121本と一致します。20回交換した後は空き瓶が1本残り、もう交換できません。
よくあるミス：101÷6だけで計算し、交換後に新しい空き瓶が1本戻ることを忘れないようにします。
次に見抜く印：空き瓶や空き容器の交換では、交換で減る本数から、飲んだ後に戻る容器を引きます。
2023年度｜問40｜公式PDF p.11 未着手
2つの直角二等辺三角形
平面図形 → 直角二等辺三角形・正方形の分割 → 直角二等辺三角形の2本の直角をはさむ辺は等しく、斜辺は45度の直線になります。直角に曲がる移動では、横と縦の長さが入れ替わります。
この問題の見方：AD＝3cm、AE＝7cmを使い、直角二等辺三角形DEFの辺DFがどの向きにどれだけ進むかを見ます。
使う工夫：DEを90度回したDFの横3cm・縦7cmを使い、FからCまでの差3cmを加えて大きい三角形の1辺を求めます。
段階ヒント
ヒント1：DからEへの移動は、横7cm・縦3cmです。DEを90度回したDFでは横と縦が入れ替わります。
ヒント2：Fの高さは3＋7cm、FからCまでの縦の差は横の差と同じ3cmです。
完全解説
Aを基準に見ると、DはAより3cm上、EはAより7cm左にあります。したがってDEは横7cm・縦3cmの移動です。DEFはDが直角の直角二等辺三角形なので、DEを90度回したDFは横3cm・縦7cmになります。Fの高さは3＋7＝10cmです。ABCの斜辺BCは45度なので、FからCまでの縦の差も3cmとなり、AC＝10＋3＝13cmです。ABも13cmなので、面積は13×13÷2＝84.5cm²です。
本番の書き方
AC＝3＋7＋3＝13cm
AB＝AC＝13cm
13×13÷2＝84.5cm²
答え：84.5cm²
検算：公式解答の84.5cm²と一致します。直角二等辺三角形ABCの2辺が13cmなので、13×13÷2＝84.5cm²です。
よくあるミス：AD＝3cmとAE＝7cmだけをそのまま大きい三角形の辺として掛けないことです。まずFの位置を決めます。
次に見抜く印：2つの直角二等辺三角形が重なり、辺が直角に交わる図では、横と縦の長さの入れ替わりに注目します。
2023年度｜問41｜公式PDF p.12 未着手
AがBを追い越す周回数
速さ → 円周上の出会い・追いつきを考える → 同じ向きに進む2人が追いつく問題では、速い人の速さから遅い人の速さを引いて、1分ごとに縮まる差を求めます。
この問題の見方：Aさんは3分で1周、Bさんは4分で1周なので、1分あたりに進む周の数へ直します。
使う工夫：1分ごとの周回数の差を使い、1周の差ができるまでの時間を求めます。
段階ヒント
ヒント1：AさんとBさんが1分で進む周の数の差を考えます。
ヒント2：差は1/3−1/4周なので、1周の差ができる時間を求め、その時間にAさんが進む周数を計算します。
完全解説
同じ地点から同じ向きに出発するので、Aさんが初めてBさんを追い越すのは、AさんがBさんよりちょうど1周多く進んだときです。Aさんは1分に1/3周、Bさんは1分に1/4周進むため、1分ごとに縮まる差は1/3−1/4＝1/12周です。1周の差ができるには12分かかります。12分間にAさんが進む周数は12÷3＝4周です。
本番の書き方
1分の差＝1/3−1/4＝1/12周
1周の差まで＝1÷1/12＝12分
Aの周数＝12÷3＝4周
答え：4周
検算：12分後、Aさんは4周、Bさんは3周進み、ちょうど1周差になります。公式解答の4周とも一致します。
よくあるミス：3分と4分の差である1分を、追いつくまでの時間だと考えないようにします。
次に見抜く印：同じ向きに周回し、何周差で追いつくかを問われたら、まず相対速度を考えます。
2023年度｜問42｜公式PDF p.12 未着手
草が増える牧場
特殊算 → 増える量と減る量の差を使う → 食べている間にも草が増える問題では、頭数×日数を使って、最初の草と毎日の増加分を分けて考えます。
この問題の見方：13頭で4日、10頭で6日という2つの条件を、どちらも「頭数×日数」の食べた量に直します。
使う工夫：2つの総量の差から毎日の草の増加量を求め、その後に6頭で食べ終わる日数を考えます。
段階ヒント
ヒント1：13×4と10×6を計算すると、食べた量の差が分かります。
ヒント2：期間の差は2日なので、総量の差を2で割ると1日分の草の増加量になります。
完全解説
草が最初にあった量を、山羊1頭が1日で食べる量を1とした「頭日」で表します。13頭で4日食べた量は13×4＝52、10頭で6日食べた量は10×6＝60です。後の条件の方が2日長いので、その差8は2日間に増えた草の量です。毎日の増加は8÷2＝4頭日分、最初の草は52−4×4＝36頭日分です。6頭では毎日6−4＝2頭日分ずつ減るので、36÷2＝18日です。
本番の書き方
草の増加＝(10×6−13×4)÷2＝4
最初の草＝13×4−4×4＝36
36÷(6−4)＝18日
答え：18日間
検算：18日では、最初の草36＋増えた草4×18＝108頭日分です。6頭が18日で食べる量6×18＝108と一致します。公式解答とも一致します。
よくあるミス：山羊の頭数と日数を単純な反比例にせず、食べている間にも草が増えることを忘れません。
次に見抜く印：動物が食べる一方で、草や水などが毎日増える問題は、ニュートン算として2条件の差を利用します。
2023年度｜問43｜公式PDF p.12 未着手
2つの余りを満たす整数
数の性質 → 倍数判定・余りの条件を整理する → 5で4余り、6で5余る数は、1を足すと5と6の両方で割り切れる数になります。
この問題の見方：どちらの余りも割る数より1小さいので、求める数に1を足してみます。
使う工夫：5と6の最小公倍数30を使い、求める数を「30の倍数−1」として範囲内を調べます。
段階ヒント
ヒント1：求める数＋1は、5でも6でも割り切れます。
ヒント2：求める数は30の倍数から1を引いた数で、100以上300以下になるものを並べます。
完全解説
求める数を□とします。□は5で4余るので、□＋1は5の倍数です。同じように、6で5余るので□＋1は6の倍数でもあります。したがって□＋1は5と6の最小公倍数30の倍数です。100以上300以下では、30×4−1＝119から30×10−1＝299まで、119、149、179、209、239、269、299の7個があります。
本番の書き方
求める数＋1＝30の倍数
30×4−1から30×10−1まで
個数＝10−4＋1＝7個
答え：7個
検算：列挙した7個はすべて5で4余り、6で5余ります。次の30の倍数−1は329で範囲外、前は89で範囲外です。公式解答とも一致します。
よくあるミス：余りが4や5だからといって、5や6の倍数そのものを並べないようにします。
次に見抜く印：余りが「割る数−1」なら、まず1を足して最小公倍数の倍数に変えます。
2023年度｜問44｜公式PDF p.12 未着手
正六角形と延長線の面積
平面図形 → 底辺比・高さ比から面積や辺の比を求める → 正六角形は、中心から頂点へ線を引くと、同じ大きさの正三角形6個に分けられます。図の延長でできる三角形の辺の長さを比べ、正三角形何個分かを考えます。
この問題の見方：正六角形の一辺を1個分とすると、延長線の交点Gまでの位置関係から、三角形ABGが基本の正三角形何個分かを見ます。
使う工夫：正六角形を6等分し、三角形ABGがその正三角形2個分になることから面積比を使います。
段階ヒント
ヒント1：正六角形の面積54cm²を、同じ面積の正三角形6個分と考えます。
ヒント2：図の角度は60度なので、三角形ABGは基本の正三角形2個分です。
完全解説
正六角形の一辺を1とすると、中心から6頂点へ分けた6個の三角形はすべて正三角形です。AFとDEを延長すると、FとEを通る2本の線がGで交わり、60度の角をもつ同じ形の正三角形ができます。この位置関係から、三角形ABGの面積は基本の正三角形2個分です。したがって正六角形との面積比は2：6＝1：3です。求める面積は54÷3＝18cm²です。
本番の書き方
正六角形＝正三角形6個分
三角形ABG＝正三角形2個分
54×2÷6＝18cm²
答え：18cm²
検算：正六角形54cm²を6等分すると1個9cm²で、三角形ABGは2個分なので9×2＝18cm²です。公式解答とも一致します。
よくあるミス：Gを正六角形の頂点と同じ位置関係だと、図だけで決めつけないようにします。延長線による60度の角と辺の関係を使います。
次に見抜く印：正六角形の辺を延長した図では、正三角形に分けられるか、同じ辺の長さの三角形ができるかを探します。
2023年度｜問45｜公式PDF p.13 未着手
自転車の追いつき
速さ → 先行距離を速さの差で縮める → 速さは「一定時間のペダル回転数×ペダル1回転で進む距離」で比べられます。2つの比を掛けて自転車の速さの比を作ります。
この問題の見方：三太さんと友子さんのペダル回転数の比5：4と、同じ距離を進む6回転・7回転の条件を別々に読み取ります。
使う工夫：ペダル回転数の比と1回転で進む距離の比を掛け、速さの差の比から132mを割り当てます。
段階ヒント
ヒント1：同じ時間なら、ペダル回転数の比は三太：友子＝5：4です。
ヒント2：同じ距離を三太6回転、友子7回転で進むので、1回転の距離は三太：友子＝7：6です。
完全解説
同じ時間にペダルを回す回数の比は、三太：友子＝5：4です。また、同じ距離を三太は6回転、友子は7回転で進むので、1回転で進む距離の比は三太：友子＝7：6です。したがって自転車の速さの比は5×7：4×6＝35：24です。速さの差は11に当たり、友子さんの先行132mがその差に対応します。1当たりは132÷11＝12mなので、三太さんの距離は35×12＝420mです。
本番の書き方
速さの比＝5×7：4×6＝35：24
差11が132m → 1＝12m
三太＝35×12＝420m
答え：420m
検算：三太さんが420m進む間に友子さんは24×12＝288m進みます。288＋先行132＝420mとなり、同じ位置です。公式解答とも一致します。
よくあるミス：ペダル回転数の比5：4だけを自転車の速さの比にしないことです。1回転で進む距離も必要です。
次に見抜く印：自転車・歯車・車輪の問題で、回転数と1回転の進む距離が両方出たら、2つの比を掛けます。
2023年度｜問46｜公式PDF p.13 未着手
3でも5でも割れない整数
規則性 → 繰り返しの長さと余りで位置を決める → 3でも5でも割り切れない数は、3と5の最小公倍数15ごとに同じ並びを繰り返します。1周期に何個あるかを数えて、項の位置を決めます。
この問題の見方：1から15までを1周期として、条件を満たす数が何個あるかを確認します。
使う工夫：1周期の8個を利用し、2023を8で割った余りから、最後の周期内の位置を決めます。
段階ヒント
ヒント1：1〜15では、1、2、4、7、8、11、13、14の8個が条件を満たします。
ヒント2：2023＝8×252＋7なので、252周期分の後の7番目の数を探します。
完全解説
15の倍数ごとに、3の倍数と5の倍数の位置が繰り返されます。1〜15で3でも5でも割り切れない数は、1、2、4、7、8、11、13、14の8個です。2023＝8×252＋7なので、252周期分の2016個の次にある7番目が求める数です。252周期は15×252＝3780までなので、その次の周期の7番目は3780＋13＝3793です。
本番の書き方
1周期15個中、条件を満たす数は8個
2023＝8×252＋7
15×252＋13＝3793
答え：3793
検算：3793は3で割ると余り1、5で割ると余り3なので条件を満たします。また、同じ周期の7番目が13であることも確認できます。公式解答とも一致します。
よくあるミス：周期の長さ15で2023を割るのではなく、1周期に含まれる個数8で項番号を割ります。
次に見抜く印：いくつかの倍数を除く数列では、最小公倍数を周期にし、その周期内の残りの数を並べます。
2023年度｜問47｜公式PDF p.13 未着手
穴の土を積んだ高さ
立体図形 → 柱体の体積・くり抜き・体積保存 → 掘り出した土を別の場所に積むとき、土の体積は変わりません。掘った円柱の体積を、積む場所の底面積で割ると高さが求められます。
この問題の見方：半径5mの円柱の穴を深さ10mまで掘り、半径10mの円全体から穴の部分を除いた円環に土を積むことに注目します。
使う工夫：円周率を共通にして約分し、掘った土の体積÷積む円環の面積で高さを求めます。
段階ヒント
ヒント1：掘った土の体積は、半径5m・高さ10mの円柱の体積です。
ヒント2：積む場所の面積は、半径10mの円の面積から半径5mの円の面積を引いたものです。
完全解説
掘り出した土の体積と、円柱の周囲に積み上げた土の体積は同じです。掘った穴の体積は、5×5×3.14×10です。土を積む場所は、半径10mの円から半径5mの穴を除いた部分なので、底面積は(10×10−5×5)×3.14です。したがって高さは、5×5×10÷(10×10−5×5)＝250÷75＝10/3mです。帯分数では3と1/3mです。
本番の書き方
積む高さ＝5×5×10÷(10×10−5×5)
＝250÷75＝10/3
＝3と1/3m
答え：3 1/3m
検算：積む場所の面積は75×3.14です。高さ10/3mを掛けると250×3.14となり、掘った土の体積と一致します。公式解答とも一致します。
よくあるミス：土を穴の上にも積むと考え、底面積を半径10mの円全体にしないようにします。
次に見抜く印：掘った土・溶かした金属などを均等に移す問題は、まず体積保存を考えます。
2023年度｜問48｜公式PDF p.14 未着手
4連続整数と160の倍数
数の性質 → 因数・等式の条件から整数を絞る → 160＝2×2×2×2×2×5なので、積が160の倍数になるには、2を5個分、5を1個分含む必要があります。
この問題の見方：4個の連続整数の積に、5の因数と2の因数が必要な個数含まれるかを調べます。
使う工夫：160の素因数を分けて考え、最初に条件を満たす4連続整数の組を見つけます。
段階ヒント
ヒント1：13、14、15、16では、15から5を1個、14と16から2を合計5個取れます。
ヒント2：13×14×15×16が160で割り切れることを確認し、それより前の組では2が5個そろわないことを確かめます。
完全解説
160を素因数分解すると、160＝2×2×2×2×2×5です。13、14、15、16の積には、15から5が1個、14から2が1個、16から2が4個含まれるので、160の倍数になります。それより前の4連続整数の組で5を含むのは10〜13、11〜14、12〜15などですが、2の個数は5個に届きません。したがって最小の組の最小の整数は13です。
本番の書き方
160＝2⁵×5
13〜16では、14・16から2⁵、15から5
よって最小の整数＝13
答え：13
検算：13×14×15×16＝43680＝160×273です。また、12〜15では2の因数が足りず、それ以前も条件を満たしません。公式解答とも一致します。
よくあるミス：積が160より大きいだけで160の倍数だと判断せず、必要な2と5がそろっているか確認します。
次に見抜く印：積がある数の倍数になる問題では、まずその数を素因数分解し、連続整数から必要な因数を集めます。
2023年度｜問49｜公式PDF p.14 未着手
第25回から第1回の日付
規則性 → 7日周期とうるう年を数える → 第25回と第1回の間には24回分の1週間があります。回数の差に7日を掛けて、日付を逆算します。
この問題の見方：第25回から第1回までは25週間ではなく、25−1＝24週間であることを確認します。
使う工夫：24週間を日数に直し、2月8日から168日前へ戻します。
段階ヒント
ヒント1：24週間は何日かを計算します。
ヒント2：2月8日から168日前へ、1月・12月・11月などを順にさかのぼります。
完全解説
第1回から第25回までには、放送と放送の間が24回あります。毎週水曜日なので、間隔は24週間です。24週間は24×7＝168日です。2月8日から168日前へ戻ると、1月31日前で12月31日、さらに11月30日、10月31日、9月30日、8月31日を経て、8月24日になります。したがって第1回は8月24日です。
本番の書き方
25−1＝24週間
24×7＝168日
2月8日の168日前＝8月24日
答え：8月24日
検算：8月24日から毎週水曜日を24回進めると2月8日になります。回数の間隔を24週間としており、公式解答とも一致します。
よくあるミス：第25回だから25週間前とせず、最初と最後の間の区切りが24個であることに注意します。
次に見抜く印：第何回という回数と日付の問題では、まず回数の差を求め、その差だけ曜日の周期を戻します。
2023年度｜問50｜公式PDF p.14 未着手
点灯する階ボタン
場合の数・論理 → 選ぶ・並べる・同じ物を区別する → 点灯するボタンの組合せを数えるときは、人の順番ではなく、点灯する階の集合だけを考えます。3人なので点灯する階は1個、2個、3個の場合に分けられます。
この問題の見方：2階から7階までの6個のボタンがあり、同じ階に住む人がいても同じボタンは1個しか光らないことに注目します。
使う工夫：点灯する階の数ごとに場合分けし、1個・2個・3個を6階から選ぶ組合せを足します。
段階ヒント
ヒント1：1つの階だけが光る場合は6通り、2つの階が光る場合は6個から2個を選びます。
ヒント2：3つの階が光る場合は6個から3個を選び、6＋15＋20を計算します。
完全解説
住んでいる階は2階以上7階以下なので、ボタンは6個あります。3人が同じ階なら1個のボタンが光り、6通りです。2つの階に住んでいる場合は、6個から2個を選ぶので6×5÷2＝15通りです。3人が別々の3階に住む場合は、6個から3個を選ぶので6×5×4÷(3×2×1)＝20通りです。点灯するボタンの光り方は、6＋15＋20＝41通りです。
本番の書き方
1個：6通り
2個：6×5÷2＝15通り
3個：6×5×4÷6＝20通り
合計＝41通り
答え：41通り
検算：点灯するボタンが1個・2個・3個の場合は重ならず、3人なので4個以上はありません。6＋15＋20＝41で、公式解答とも一致します。
よくあるミス：3人の順番まで区別して、同じ階の組合せを何度も数えないようにします。
次に見抜く印：人の配置ではなく、点灯するボタンの光り方を問われたら、選ばれた階の組合せを数えます。