2025年度｜問1｜公式PDF p.3 未着手
小数のかけ算
計算・単位 → 10・100・1000になる組を作る → 125と8の組を作る分解・結合法則、小数点の位置
この問題の見方：1.25を見たら「125×8＝1000」の組を思い出します。相手の48には8が入っているので、48＝8×6と分けられます。
使う工夫：8を取り出して先にかける。1.25×8＝10を作れば、125×48の筆算が要りません。小数のまま使うなら0.048＝8×0.006です。
段階ヒント
ヒント1：125と組ませると1000になる数は何でしょう。
ヒント2：125×8＝1000です。48を8×6に分けましょう。 小数のままなら、1.25×0.048＝（1.25×8）×0.006です。
完全解説
1. 「48をどう分けると、125と相性がよい？」→8×6です。125×8＝1000を使えるからです。 2. 整数で考えると125×48＝125×8×6＝1000×6＝6000。大きい積を筆算せずに出せます。 3. 元の小数は小数部分が合計5けたなので、6000÷100000＝0.06です。 4. 本番では小数点を外さず、0.048＝8×0.006と分けてもよいです。1.25×8＝10を先に作り、10×0.006＝0.06と進めます。
本番の書き方
1.25×0.048＝（1.25×8）×0.006＝10×0.006＝0.06。
答え：0.06
検算：1.25＝5/4なので、0.048÷4×5＝0.06でも一致。公式解答と一致。
よくあるミス：0.048を8×0.06とすること。分解した数をかけ直して0.048になるか確認します。
次に見抜く印：25には4、125には8。相手から4や8を取り出せないか、筆算の前に見る。
2025年度｜問2｜公式PDF p.3 未着手
計算しやすい組み合わせ
計算・単位 → 10・100・1000になる組を作る → 符号を保った組み替え、1000になる補数
この問題の見方：876と124は1000、537と413は950、398と−148は250になります。先にこの組を見つけます。
使う工夫：補数と差をまとめる。符号を保って組み替えれば、左から5回順に足し引きする途中の大きな数を減らせます。
段階ヒント
ヒント1：足して1000になる2つの数を探します。
ヒント2：876＋124を組にし、398−148も先に計算します。 残りは537＋413＝950。1000＋250＋950です。
完全解説
1. 876＋124＝1000、537＋413＝950。足す数をまとめます。 2. 398−148＝250。引き算の部分です。 3. 1000＋950＋250＝2200。3つの結果を足します。
本番の書き方
（876＋124）＋（537＋413）＋（398−148）＝1000＋950＋250＝2200。
答え：2200
検算：元の順番でも935→1811→1663→1787→2200。公式解答と一致。
よくあるミス：−148を＋148に変えてしまうこと。
次に見抜く印：加減だけなら、まず100・1000を作る組と、きりのよい差を探す。
2025年度｜問3｜公式PDF p.3 未着手
帯分数と小数が混ざる計算
計算・単位 → 小数・帯分数を直して先に約分する → 同じ数の倍数をまとめる、仮分数、積の前の約分
この問題の見方：かっこの7は1.75の4個分です。4個分から3個分を引くので、かっこの中は1.75の1個分になります。
使う工夫：同じ数の個数で引き、分数はかける前に約分する。7−5.25の小数計算と、大きな分子の積を省けます。
段階ヒント
ヒント1：7は1.75の何倍でしょう。
ヒント2：7＝1.75×4なので、7−3×1.75＝1.75です。 1.75＝7/4へ直したら、63と7、14と7を先に約分します。
完全解説
1. 7＝1.75×4です。したがって、7−3×1.75＝（4−3）×1.75＝1.75。かっこの中を1回の引き算で整理します。 2. 帯分数を仮分数にし、前半は63/11÷7/4＝63/11×4/7。63÷7＝9を先に計算し、36/11です。 3. 後半は15/7×14/11。14÷7＝2を先に計算し、30/11です。 4. 分母がそろったので（36＋30）÷11＝66÷11＝6。大きな積を作らずに終えます。
本番の書き方
かっこ内＝1.75＝7/4。63/11×4/7＋15/7×14/11＝36/11＋30/11＝6。
答え：6
検算：前半は36/11、後半は30/11と分数計算で再計算。公式解答と一致。
よくあるミス：7−3を先に計算すること。帯分数を「整数×分数」と読むこと。
次に見抜く印：同じ数の倍数の差は「何個分か」でまとめ、分数の積は先に約分する。
2025年度｜問4｜公式PDF p.3 未着手
□を逆算する
計算・単位 → □をひとまとまりにして逆の順に戻す → 分配法則、□にかかる数の整理、逆向きの操作
この問題の見方：外の0.7は7/10です。かっこの中の4/7と組ませると、7を消せます。
使う工夫：外のかけ算を分配し、□の係数を先に整理する。0.7×4/7＝0.4、0.4÷5.2＝1/13を使います。分配が見えなければ、通常の逆算に戻せます。
段階ヒント
ヒント1：（何か−1）×0.7は「何か×0.7−0.7」です。
ヒント2：5と1/5＝5.2。□にかかる部分は、4/7×0.7÷5.2です。 4/7×0.7＝0.4。0.4÷5.2＝1/13なので、□÷13−0.7＝0.3になります。
完全解説
1. 5と1/5を5.2に直します。外の0.7を分配すると、□×4/7÷5.2×0.7−0.7＝0.3です。 2. □にかかる部分で先に4/7×0.7＝0.4を計算します。0.4÷5.2＝4÷52＝1/13なので、□÷13−0.7＝0.3です。 3. 0.3＋0.7＝1。□を13で割ると1なので、□＝13です。 4. この整理が見えないときは、0.3÷0.7→＋1→×26/5→÷4/7の順に戻せます。無理に分配を使う必要はありません。
本番の書き方
左辺＝□×0.4÷5.2−0.7＝□÷13−0.7。□＝（0.3＋0.7）×13＝13。
答え：13
検算：13×4/7÷26/5＝10/7、そこから1を引いて0.7をかけると0.3。公式解答と一致。
よくあるミス：外の0.7を□のある項だけにかけ、−1にはかけ忘れること。
次に見抜く印：かっこの外にかける数がある逆算では、中の分母と消し合えるかを見る。分配はすべての項に行う。
2025年度｜問5｜公式PDF p.4 未着手
時間の引き算
計算・単位 → 時間の60進法と単位あたりの量 → 1日＝24時間、1時間＝60分の繰り下がり
この問題の見方：日を時間に直すだけで十分です。すべてを分に直すと、かえって大きな数になります。
使う工夫：必要な1時間だけ60分に崩す。26時間7分を25時間67分にすれば、分単位の大きな引き算と時間への戻し算を省けます。
段階ヒント
ヒント1：1日2時間を、時間だけで表します。
ヒント2：7分から16分を引けないので、1時間だけ分へ移します。 25時間67分−14時間16分と書きます。
完全解説
1. 24＋2＝26時間。最初の時間を時間単位にそろえます。 2. 26時間7分を25時間67分に直します。 3. 25−14＝11時間、67−16＝51分。時間と分をそれぞれ引きます。
本番の書き方
26時間7分＝25時間67分。25時間67分−14時間16分＝11時間51分。
答え：11時間51分
検算：11時間51分＋14時間16分＝26時間7分。公式解答と一致。
よくあるミス：1時間を100分として繰り下げること。
次に見抜く印：時間の加減は、全部を分にせず必要な分だけ60進法で繰り下げる。
2025年度｜問6｜公式PDF p.4 未着手
単位をそろえて元の長さを求める
割合・比 → 割合から元の量・残りの量を求める → 単位をcmに統一、0.2＝1/5から元の5倍へ戻す
この問題の見方：0.2倍は1/5倍です。「5分の1で160cmなら、元は5倍」と考えます。
使う工夫：÷0.2を×5に置き換える。単位をcmにそろえれば、小数の割り算をしなくて済みます。
段階ヒント
ヒント1：まず1.6mをcmに直します。
ヒント2：0.2＝1/5です。元の長さの5分の1が160cmです。 160×5で元へ戻します。
完全解説
1. 1.6m＝160cm。□と同じcmにそろえます。 2. 0.2倍は5分の1にすることです。5分の1になった長さが160cmなので、元の長さは160×5＝800cmです。
本番の書き方
1.6m＝160cm。□＝160×5＝800。
答え：800
検算：800cm×0.2＝160cm＝1.6m。公式解答と一致。□の外にcmがあるので、記入するのは整数です。
よくあるミス：1.6÷0.2＝8をそのまま□に入れること。
次に見抜く印：÷0.5は×2、÷0.25は×4、÷0.2は×5。単位をそろえてから置き換える。
2025年度｜問7｜公式PDF p.4 未着手
3人のお金をまとまりで考える
特殊算 → 合計と差から各量を求める → 同じ基準量と余分な差に分け、合計から差を除く
この問題の見方：Aさんのお金を1箱として、Bさん・Cさんのお金もその箱で表します。
使う工夫：同じ箱をまとめ、余分なお金を一度に除く。Aは1箱、Bは1箱＋300円、Cは2箱＋600円です。
段階ヒント
ヒント1：Bさんは「Aの1箱＋300円」です。
ヒント2：Cさんは「AとBの合計＋300円」なので、2箱＋600円です。 全体は4箱＋900円。4100円から900円を引きます。
完全解説
1. Aを1箱とすると、Bは1箱＋300円です。 2. CはAとBの合計より300円多いので、2箱＋600円です。ここで300円を2回数えることが大切です。 3. 3人分を集めると、1＋1＋2＝4箱、余分なお金は300＋600＝900円です。 4. （4100−900）÷4＝800円。1箱、つまりAさんのお金です。
本番の書き方
全体＝Aの4個分＋900円。A＝（4100−900）÷4＝800円。
答え：800円
検算：Bさん1100円、Cさん2200円。合計4100円で、2つの「300円多い」も成立。公式解答と一致。
よくあるミス：CさんがAさんだけより300円多いと読むこと。
次に見抜く印：同じ人の金額が何度も現れる和差算は、1つの箱にそろえて余分な分をまとめる。
2025年度｜問8｜公式PDF p.4 未着手
平行線と折れ線の角
平面図形 → 平行線・対頂角・角度の比 → 平行な補助線、1回転360度、角の加減
この問題の見方：折れ曲がりに平行な横線を入れます。角の関係を作ってから、78度と73度の差を利用します。
使う工夫：補助線で角を分け、最後は差をまとめる。ア＝78＋（360−255−73）なので、105＋（78−73）と計算できます。
段階ヒント
ヒント1：255度と反対側の小さい角を求めます。
ヒント2：下の小さい角から73度を引いた分を、上の78度へ足します。 360−255＝105、78−73＝5を組ませます。
完全解説
1. 360−255＝105度。下の折れ曲がりの左側の角です。 2. そこを通る横線の左向きの半直線と、下へ向かう線との角は73度です。平行線の角が等しいからです。 3. 105−73＝32度。真ん中の斜めの線と横線との角です。 4. 上の折れ曲がりでは、横線の右向きの半直線より上が78度、下が32度になります。 5. 78＋32＝110度。アはこの2つを合わせた角です。
本番の書き方
ア＝78＋（360−255−73）＝105＋5＝110度。
答え：110度
検算：78＋（360−255−73）＝110と再計算。補助線で分けた角は105度に戻ることを確認。公式解答と一致。
よくあるミス：255度を小さい側の角として使うこと。
次に見抜く印：図形の関係を式にできたら、加減の組み替えで小さい差を先に取る。
2025年度｜問9｜公式PDF p.5 未着手
分数の比を整数の比に直す
割合・比 → 分数・小数の比を整数比に直す → 比の交差する積、共通因数を先に約分
この問題の見方：91と117は13の倍数、168と180は12の倍数です。大きな通分をする前に、この2組を約分します。
使う工夫：分数の比を交差する積に直し、かける前に約分する。（91×168）：（117×180）の両方を13、さらに12で割れます。
段階ヒント
ヒント1：分数の比a/b：c/dは、ad：bcに直せます。
ヒント2：91と117を13で、168と180を12で割ります。 残る比は（7×14）：（9×15）です。
完全解説
1. 両方に180×168をかけると、（91×168）：（117×180）です。この大きな積を実際に出す必要はありません。 2. 91＝13×7、117＝13×9なので、左右共通の13を消します。 3. 168＝12×14、180＝12×15なので、左右共通の12も消します。 4. 7×14＝98、9×15＝135。98と135に共通の約数は1しかないので、98：135です。
本番の書き方
（91×168）：（117×180）＝（7×14）：（9×15）＝98：135。
答え：98：135
検算：（91/180）÷（117/168）＝98/135と別の計算でも確認。公式解答と一致。
よくあるミス：91×168などを先に計算して大きな数にすること。比の片側だけを割ること。
次に見抜く印：分数の比は、交差する積を作る前に、左右に共通する因数を消す。
2025年度｜問10｜公式PDF p.5 未着手
三角形と平行四辺形の高さの比
平面図形 → 底辺比・高さ比から面積や辺の比を求める → 三角形の÷2を反映し、面積比を底辺比で割る
この問題の見方：三角形には÷2があるので、まず面積の比の三角形側を2倍します。その後に底辺の比で割ります。
使う工夫：実際の長さを置かず比だけで処理する。高さの比＝（面積の比÷底辺の比）を、三角形の×2込みで使います。
段階ヒント
ヒント1：三角形の高さは面積×2÷底辺です。
ヒント2：比の計算は（8×2÷4）：（5÷5）です。 右側が1になるので、そのまま倍率が読めます。
完全解説
1. 面積を同じ単位で8と5、底辺を同じ単位で4と5として、高さの比を計算します。実際のcmを決める必要はありません。 2. 三角形の高さに対応する数は8×2÷4＝4です。 3. 平行四辺形の高さに対応する数は5÷5＝1です。 4. 4：1なので、三角形の高さは4倍です。
本番の書き方
高さの比＝（8×2÷4）：（5÷5）＝4：1。よって4倍。
答え：4倍
検算：底辺4・高さ4の三角形の面積は8、底辺5・高さ1の平行四辺形の面積は5となり、両方の比を満たす。公式解答と一致。
よくあるミス：三角形の「÷2」を忘れて2倍とすること。
次に見抜く印：高さの比だけなら、実際のcmを置かず、面積比と底辺比を公式に当てはめる。
2025年度｜問11｜公式PDF p.5 未着手
平均から必要な点数を求める
特殊算 → 平均×個数で合計と差を求める → 目標平均との差を人数・科目数分だけ補う
この問題の見方：目標78点に対し、終わった3科は平均で2点ずつ不足しています。社会がその不足を補います。
使う工夫：平均を基準にした不足分で考える。228点や312点を作らず、78＋2×3だけで求められます。
段階ヒント
ヒント1：終わった3科は、目標の平均78点より何点ずつ低いでしょう。
ヒント2：不足は1科あたり2点、3科で6点です。 社会は78点に、その不足6点を上乗せします。
完全解説
1. 78−76＝2点。終わった3科は、目標平均と比べて1科あたり2点不足しています。 2. 2×3＝6点。3科合計の不足です。 3. 社会が78点だけではその不足は埋まりません。78＋6＝84点を取れば、4科の平均が78点になります。
本番の書き方
社会＝78＋（78−76）×3＝78＋6＝84点。
答え：84点
検算：（228＋84）÷4＝78点。公式解答と一致。
よくあるミス：不足2点だけを足すこと。すでに受けた3科分の不足を補います。
次に見抜く印：追加の点数で平均を上げるときは「目標平均＋すでにある不足分」で考える。
2025年度｜問12｜公式PDF p.5 未着手
交差する線と角度の比
平面図形 → 平行線・対頂角・角度の比 → 対頂角を消去、三角形と四角形の内角の和の差
この問題の見方：交点Pの角は、上の三角形と右下の四角形で等しくなります。同じ角を差し引くと消えます。
使う工夫：共通の角を消して、内角の和の差を使う。Pの角そのものを先に求める必要がありません。
段階ヒント
ヒント1：上の三角形と、右下の四角形に分けます。
ヒント2：両方のPの角は対頂角で等しいので、内角の和を引き算すると消えます。 （3＋4＋5）−（1＋2）の9つ分が、360−180度です。
完全解説
1. 「三角形のPの角は？」→180−（ア＋イ）です。 2. 四角形側のPの角も同じです。向かい合う角だからです。 3. 四角形の角の和は360度なので、ウ＋エ＋オ＝360−Pの角です。 4. したがって、（ウ＋エ＋オ）−（ア＋イ）＝360−180＝180度です。 5. 比の数で書くと、（3＋4＋5）−（1＋2）＝9。比の9つ分が180度です。 6. 180÷9＝20度。アは比の1つ分なので20度です。
本番の書き方
比の1つ分＝（360−180）÷｛（3＋4＋5）−（1＋2）｝＝180÷9＝20度。
答え：20度
検算：ア20・イ40・ウ60・エ80・オ100度。Pの角120度で、三角形は180度、四角形は360度になる。公式解答と一致。
よくあるミス：線が交差しているのに、普通の五角形として5つの角を540度にすること。
次に見抜く印：2つの図形に同じ角があれば、角度を個別に出す前に内角の和の差を取る。
2025年度｜問13｜公式PDF p.6 未着手
どちらにかけても整数になる分数
数の性質 → 整数になる分数・約分前の分数を求める → 既約分数、分母の最小公倍数と分子の最大公約数
この問題の見方：2つの分数はすでに約分されています。かける数の分子で21と35を消し、分母は20と24の共通部分で小さくできます。
使う工夫：既約分数どうしなら「分母の最小公倍数÷分子の最大公約数」を候補にする。21・35の最小公倍数105と、20・24の最大公約数4を使います。最小になる理由も積の比で確かめます。
段階ヒント
ヒント1：21と35の両方を消せる最小の数は何でしょう。
ヒント2：105です。さらに20と24は、どちらも4で割れます。 105/4をかけると、2つの積は25と18になります。
完全解説
1. 21＝3×7、35＝5×7なので、両方の分母を消す最小の数は3×5×7＝105です。 2. 105をかけると積は100と72です。この2つは最大で4まで共通に割れるので、かける数も105÷4＝105/4まで小さくできます。 3. そのときの積は25と18です。この比が最も簡単な整数比なので、両方を正の整数にしたまま、さらに小さい組にはできません。 4. 105/4＝26と1/4。帯分数へ直します。
本番の書き方
最小公倍数（21,35）＝105、最大公約数（20,24）＝4。105/4＝26と1/4。
答え：26と1/4
検算：105/4×20/21＝25、105/4×24/35＝18。積の比から最小性も確認。公式解答と一致。
よくあるミス：約分していない分数に、そのまま最小公倍数・最大公約数の手順を当てること。候補を出したら両方にかけて確かめます。
次に見抜く印：どちらにかけても整数になる最小の正の分数は、元の分数を約分してから、分母の最小公倍数と分子の最大公約数を見る。
2025年度｜問14｜公式PDF p.6 未着手
パンの代金をそろえる
特殊算 → 同じ量をそろえて差をとる → 共通費用を除き、個数の差から1組の代金を作る
この問題の見方：袋代を除くと、2つの買い物の差は「あんパン1個＋クリームパン1個」です。
使う工夫：1個ずつのセットを作って個数をそろえる。連立した文字の式や、両方の代金の大きな倍数を作らずに済みます。
段階ヒント
ヒント1：まず最初の買い物から袋代8円を引きます。
ヒント2：1820−1420で、パン1個ずつのセット400円が出ます。 そのセット4組から、あんパン3個＋クリームパン4個を引きます。
完全解説
1. 1428−8＝1420円。あんパン3個とクリームパン4個の代金です。 2. 1820−1420＝400円。あんパン1個とクリームパン1個の代金です。 3. 400×4＝1600円。あんパン4個とクリームパン4個の代金です。 4. 1600−1420＝180円。違いはあんパン1個分です。
本番の書き方
パン1個ずつ＝1820−（1428−8）＝400円。あんパン＝400×4−1420＝180円。
答え：180円
検算：クリームパン220円。180×3＋220×4＋8＝1428、180×4＋220×5＝1820。公式解答と一致。
よくあるミス：袋代を含めたまま、2つの買い物の差を取ること。
次に見抜く印：両方の品物が1個ずつ増えている代金比較は、差を1セットの値段として使う。
2025年度｜問15｜公式PDF p.6 未着手
食塩水を混ぜる
割合・比 → 食塩量を保存して混合する → 食塩量の保存、低い濃度を基準とする加重平均
この問題の見方：まず全部が7％だと考えます。300gの方だけ、そこから3ポイント濃くなっています。
使う工夫：低い濃度を基準にして、増える分だけを重み付けする。300gは全体500gの3/5なので、7＋3×3/5と小さな数で計算できます。
段階ヒント
ヒント1：全部が7％なら、混ぜた後も7％です。
ヒント2：10％側は7％より3ポイント高く、その量は全体の3/5です。 全体の濃度の増加は3×3/5ポイントです。
完全解説
1. 全体は300＋200＝500gです。まず500g全部が7％だったと考えます。 2. 実際は300gの部分だけ10％なので、その部分の食塩は基準より300×0.03＝9g多くなります。 3. 9gが全体500gに増えるので、濃度は9÷500×100＝1.8ポイント上がります。 4. したがって7＋1.8＝8.8％です。本番では300/500＝3/5を先に約分し、7＋3×3/5とまとめられます。
本番の書き方
7＋（10−7）×300/500＝7＋3×3/5＝8.8％。
答え：8.8％
検算：500×0.088＝44g。7％と10％の間で、量が多い10％側に近いことも確認。公式解答と一致。
よくあるミス：（10＋7）÷2＝8.5％とすること。食塩水の量が違います。
次に見抜く印：濃度の混合は「低い方＋濃度の差×高い方の量の割合」としても計算できる。
2025年度｜問16｜公式PDF p.6 未着手
円と正方形を組み合わせた面積
平面図形 → 半径・中心角から面積を求める → 同じ弓形の組み替え、半径×半径を面積から求める
この問題の見方：4cmは正方形の1辺になります。白い弓形は4つのうち2つなので、色の部分は「円の半分＋正方形の半分」です。
使う工夫：同じ形を半分ずつにまとめる。白い部分を1つずつ求めず、半径そのものも求めません。「半径×半径」だけ分かれば足ります。
段階ヒント
ヒント1：円周を4等分する点をすべて結び、正方形を作ります。
ヒント2：色の面積＝円÷2＋正方形÷2です。 正方形の面積16cm²から、半径×半径＝8と分かります。
完全解説
1. 円周上の4点を結ぶと1辺4cmの正方形です。面積は4×4＝16cm²です。 2. 円と正方形の間には同じ弓形が4つあり、白い部分はその2つ分です。だから色の面積は、円から「円−正方形」の半分を引いたもの、つまり円の半分＋正方形の半分です。 3. 中心と4点を結ぶと、正方形は同じ直角三角形4つに分かれます。1つの面積は16÷4＝4。半径×半径÷2＝4なので、半径×半径＝8です。 4. 円の半分は8×3.14÷2＝4×3.14＝12.56cm²。正方形の半分8cm²を足し、20.56cm²です。
本番の書き方
正方形＝16、半径×半径＝8。色の面積＝8×3.14÷2＋16÷2＝12.56＋8＝20.56cm²。
答え：20.56cm²
検算：別のまとめ方でも25.12÷2＋16÷2＝20.56。原図を拡大し4cmの寸法の両端を確認。公式解答と一致。
よくあるミス：4cmを半径として円の面積を計算すること。
次に見抜く印：同じ弓形が並ぶ図は、個々の弓形を計算せず、円と正方形の何分の何かで整理する。
2025年度｜問17｜公式PDF p.7 未着手
新しく決められた記号
数の性質 → 定義された演算を読み替える → 独自の演算の定義、平方・立方と掛ける個数
この問題の見方：625＝5×5×5×5、343＝7×7×7という、同じ数の積に注目します。
使う工夫：約束を「何個かけるか」に言い換える。指数の公式を覚えず、既知の平方・立方の組から回数を数えます。
段階ヒント
ヒント1：5×5＝25、25×25＝625です。5は何個ありますか。
ヒント2：左側は4なので、引く側の回数は3です。 3個かけて343になる数を探します。
完全解説
1. 5を4個かけると625なので、5＊625＝4です。 2. 4−□＊343＝1ですから、□＊343＝3です。 3. 「□を3個かけて343になる数」は7です。7×7×7＝343となります。
本番の書き方
5＊625＝4。□＊343＝3、7×7×7＝343だから□＝7。
答え：7
検算：（5＊625）−（7＊343）＝4−3＝1。公式解答と一致。
よくあるミス：＊を×として計算すること。
次に見抜く印：約束記号は普通の言葉へ直し、よく出る平方・立方の形と結び付ける。
2025年度｜問18｜公式PDF p.7 未着手
遅れて出発した人が追いつく
速さ → 先行距離を速さの差で縮める → 出発時刻の差で生じる先行距離、速さの差
この問題の見方：Bの出発時点での700mの差を、毎分50mずつ縮めます。最後にAの先行10分を戻します。
使う工夫：追いつきは差だけを使う。出発後の2人の道のりを毎回求めたり、表を長く作ったりする必要はありません。
段階ヒント
ヒント1：Bが出るまでにAが進む距離を求めます。
ヒント2：速さの差は120−70＝50m/分です。 700÷50は70÷5＝14。最後に10分を足します。
完全解説
1. 70×10＝700m。Bさんが出発したときの差です。 2. 120−70＝分速50m。1分間に縮まる距離です。 3. 700÷50＝14分。Bさんが出発してから追いつくまでの時間です。 4. 10＋14＝24分。問題が聞いている、Aさんの出発からの時間です。
本番の書き方
70×10÷（120−70）＋10＝700÷50＋10＝24分後。
答え：24分後
検算：Aさん70×24＝1680m、Bさん120×14＝1680m。公式解答と一致。
よくあるミス：14分後で答えを終えること。
次に見抜く印：同じ向きの追いつきは、先行距離÷速さの差。答える時間の起点は最後に確認する。
2025年度｜問19｜公式PDF p.7 未着手
サイコロで5の倍数を作る
場合の数・論理 → カード・さいころの並べ方を条件で分ける → 5の倍数の末尾を固定、独立した出目の積
この問題の見方：「5の倍数」を見たら、一の位だけ先に決めます。サイコロでは0が出ないので5に固定できます。
使う工夫：条件の厳しい桁を固定する。216通りを書き出さず、自由な2桁だけ6×6で数えます。
段階ヒント
ヒント1：5の倍数の一の位を思い出します。
ヒント2：一の位のサイコロは5の1通りです。 残る百の位・十の位は、それぞれ6通りです。
完全解説
1. 一の位は5だけなので、小さいサイコロは1通りです。 2. 百の位と十の位は、それぞれ1〜6の6通りです。同じ数字でもかまいません。 3. 6×6×1＝36通り。位が決まっているので、並べ替えをさらにかける必要はありません。
本番の書き方
一の位＝5。6×6×1＝36通り。
答え：36通り
検算：3個の出目216通りを列挙し、5の倍数を数えて36通り。公式解答と一致。
よくあるミス：一度使った数字を使えないと考えること。
次に見抜く印：倍数になる並べ方は、末尾など条件が決まる場所を先に固定する。
2025年度｜問20｜公式PDF p.7 未着手
100回目に現れる数字
規則性 → 繰り返しの長さと余りで位置を決める → 特定の数の位置を取り出す、奇数列の100番目
この問題の見方：全体の4個周期よりも、2が「1つおき」に出ることに注目します。
使う工夫：欲しい数の位置だけの数列にする。2の位置は1、3、5……なので、周期ごとの個数を細かく追う必要がありません。
段階ヒント
ヒント1：2だけに印を付けると、1つおきに並んでいます。
ヒント2：1回目の位置は1で、その後は2ずつ増えます。 100回目の位置は、1＋2×99です。
完全解説
1. 2の現れる位置は1、3、5、7……です。0と5の違いは、今回の問いでは追わなくてかまいません。 2. 1回目から100回目へ進む間隔は99個です。1＋2×99＝199番目です。 3. これは「n番目の奇数＝2×n−1」と同じです。本番では2×100−1と書けます。
本番の書き方
2が出る位置は奇数。100回目＝2×100−1＝199番目。
答え：199番目
検算：4個1組の49組に2が98回。次の組の1番目が99回目、3番目が100回目で、196＋3＝199。公式解答と一致。
よくあるミス：「2が100回目」と「並びの100番目」を取り違えること。
次に見抜く印：周期の一部だけを聞かれたら、その対象の出る位置がもっと短い規則にならないか見る。
2025年度｜問21｜公式PDF p.8 未着手
続けて値引きする
割合・比 → 割増し・値引きの割合を続けてかける → 連続する値引きの基準の変化、残る割合の積
この問題の見方：10％引きなら9/10、さらに20％引きなら8/10を払います。5600の00と分母の100を先に消します。
使う工夫：値引き後の割合をかけ、先に約分する。5600×9/10×8/10を56×9×8にして、小数点を扱わずに計算します。
段階ヒント
ヒント1：値引きする割合ではなく、支払う割合へ直します。
ヒント2：支払う割合は9/10と8/10です。 5600÷100＝56を先に計算します。
完全解説
1. 10％引きでは定価の90％＝9/10を支払います。さらに20％引きでは、その金額の80％＝8/10を支払います。 2. 5600×9/10×8/10の分母は100です。5600÷100＝56を先に計算します。 3. 56×9＝504、504×8＝4032円です。割引後の小数を何度も書かずに求められます。
本番の書き方
5600×9/10×8/10＝56×9×8＝504×8＝4032円。
答え：4032円
検算：5600円から560円を引き、さらに5040円の20％の1008円を引くと4032円。公式解答と一致。
よくあるミス：10％＋20％＝30％引きとして計算すること。
次に見抜く印：連続する値引きは、残る割合をかけてから、元の金額と分母を先に約分する。
2025年度｜問22｜公式PDF p.8 未着手
川を上る船と下る船
速さ → 静水時の速さと流速を分ける → 上り・静水時・下りの速さ、端数時間の換算
この問題の見方：静水時14、上り12の差は2です。下りは静水時の反対側なので16になります。
使う工夫：静水時を真ん中にして上り・下りを対にする。最後の36÷16は9/4へ約分し、端数1/4時間を15分と読めます。
段階ヒント
ヒント1：上りの速さは36÷3＝12です。
ヒント2：下りは14＋（14−12）、または14×2−12です。 36÷16＝9/4＝2と1/4時間です。
完全解説
1. 36÷3＝時速12km。上りは静水時14kmより2km遅いので、流れは時速2kmです。 2. 下りは14＋2＝時速16kmです。14を真ん中に、上り12と下り16が並びます。 3. 36÷16＝36/16＝9/4＝2と1/4時間。1/4時間＝15分なので、2時間15分です。
本番の書き方
上り12→流れ2→下り16km/時。36÷16＝9/4時間＝2時間15分。
答え：2時間15分
検算：16×2.25＝36km、上りも（14−2）×3＝36km。公式解答と一致。
よくあるミス：2.25時間を2時間25分とすること。
次に見抜く印：流水算は「上り・静水・下り」が等間隔。時間の端数は分数で60分へ直す。
2025年度｜問23｜公式PDF p.8 未着手
2つの買い物の差
特殊算 → 同じ量をそろえて差をとる → 共通費用の相殺、入れ替えた個数から単価差を求める
この問題の見方：メロンパン2個をカレーパン2個に替えると80円高くなっています。求めるのも1個分の「差」です。
使う工夫：差だけを直接求める。パンそれぞれの値段も袋代も、求める必要がありません。
段階ヒント
ヒント1：両方とも袋が1枚なので、差では袋代が消えます。
ヒント2：高い方は、メロンパンが2個減ってカレーパンが2個増えています。 代金の差80円を、取り替えた2組で割ります。
完全解説
1. 2305−2225＝80円。2つの買い物の代金の差です。 2. 高い方では、メロンパンが2個減り、カレーパンが2個増えています。 3. 80÷2＝40円。1個ずつ取り替えたときに増える金額です。
本番の書き方
1個の差＝（2305−2225）÷2＝80÷2＝40円。
答え：40円高い
検算：1個の差40円を2個分にすると80円で、代金の差と一致。袋代の相殺も確認。公式解答と一致。
よくあるミス：増減するパンが合計4個だからと、80÷4にすること。
次に見抜く印：問いが差なら、個々の値を全部求めず、条件の差で直接出せないか考える。
2025年度｜問24｜公式PDF p.8 未着手
3方向の図から体積を求める
立体図形 → 平面の図から立体の対応を読む → 正面・上面・側面の対応、断面積×奥行き
この問題の見方：奥行きはどこも8cmです。正面の断面だけで足し引きしてから、最後に1回だけ8をかけます。
使う工夫：共通の奥行きを後回しにする。3つの直方体の体積を別々に計算せず、断面積16を先に作ります。
段階ヒント
ヒント1：正面の形を、下の長方形と左上の長方形に分けます。
ヒント2：へこみの面積2×1を引きます。 （6×2＋2×3−2×1）に、まとめて奥行き8をかけます。
完全解説
1. 5−3＝2cm。下の横長部分の高さです。面積は6×2＝12cm²です。 2. 6−4＝2cm。左側の高い部分の幅です。上に出た部分の面積は2×3＝6cm²です。 3. 2×1＝2cm²。下のへこみの面積です。 4. 12＋6−2＝16cm²。正面の形の面積です。 5. 16×8＝128cm³。奥行き8cmをかけた体積です。
本番の書き方
断面積＝6×2＋2×3−2×1＝16cm²。体積＝16×8＝128cm³。
答え：128cm³
検算：外側の直方体から引いても6×5×8−4×3×8−2×1×8＝128。公式解答と一致。
よくあるミス：下のへこみを引き忘れること。3cmを低い部分の高さと読むこと。
次に見抜く印：同じ奥行きの立体は、断面で足し引きを済ませてから奥行きを1回かける。
2025年度｜問25｜公式PDF p.9 未着手
公園の周りに木を植える
特殊算 → 間隔数と個数・両端の有無を区別する → 一周では本数＝間隔数、間隔と本数の逆比
この問題の見方：一周の長さが同じなので、間隔9：10に対して本数は10：9です。比の差が1になるのが手がかりです。
使う工夫：間隔の逆比を使う。小数4.5で未知の一周を割る式を立てず、差9本を比の1つ分として読みます。
段階ヒント
ヒント1：4.5：5を、整数の比9：10にします。
ヒント2：同じ長さでは本数が逆の10：9です。 5mおきの本数は、比の9つ分です。
完全解説
1. 4.5：5＝9：10。植える間隔の比です。 2. 同じ一周の長さを割るので、本数の比は逆の10：9になります。 3. 10−9＝1つ分が9本だから、5mおきでは9×9＝81本です。 4. 5×81＝405m。公園一周の長さです。
本番の書き方
本数10：9、差1つ分＝9本。5mおきは81本、一周＝5×81＝405m。
答え：405m
検算：405÷4.5＝90本、405÷5＝81本で差9本。公式解答と一致。
よくあるミス：一本道の両端にも木を植える場合の「＋1」を使うこと。
次に見抜く印：同じ長さを区切る問題は、間隔と個数の逆比を使う。輪なら本数の＋1は要らない。
2025年度｜問26｜公式PDF p.9 未着手
往復の平均の速さ
速さ → 全道のり÷全時間で平均する → 全距離÷全時間、分にそろえて合計する
この問題の見方：時速15kmは10kmに40分、時速20kmは10kmに30分かかります。時間を分にすると整数でそろいます。
使う工夫：合計時間を整数の分で出し、最後に約分する。2/3＋1/2の通分をせずに、40＋30＝70分を使います。
段階ヒント
ヒント1：行きの時間は10/15×60分です。
ヒント2：帰りの時間も分にすると30分です。 全20kmを70分で進むので、20÷70×60を約分します。
完全解説
1. 行きは10/15×60＝40分。15と60を先に約分すると、10×4だけで求められます。 2. 帰りは10/20×60＝30分。往復は40＋30＝70分です。 3. 往復の道のりは20km。1分あたり20/70kmなので、1時間あたりは20/70×60＝120/7kmです。 4. 120/7＝17と1/7。公式訂正後の値になります。
本番の書き方
往復時間40＋30＝70分。平均時速＝20÷70×60＝120/7＝17と1/7km。
答え：時速17と1/7km
検算：行き40分、帰り30分の合計70分。20÷70×60＝120/7km/時でも一致。訂正後の公式解答と一致。
よくあるミス：（15＋20）÷2＝17.5とすること。訂正前の17と1/17を使うこと。
次に見抜く印：時間が分なら整数になるときは、先に分で合計する。平均速度は必ず全距離÷全時間。
2025年度｜問27｜公式PDF p.9 未着手
年齢の差は変わらない
特殊算 → 変わらない年齢差と年齢の比を使う → 変わらない年齢差、過去の倍数関係から現在へ戻す
この問題の見方：変わらない年齢差27才と、3年前の比4：1の差3に注目します。
使う工夫：差を比の1つ分へ直す。母と子の現在の年齢を同時に求める式を作らず、子の3年前の年齢を直接出します。
段階ヒント
ヒント1：3年前も年齢差は27才です。
ヒント2：母4つ分、子1つ分なら、差は3つ分です。 27÷3で3年前の子を求めてから、3才を足します。
完全解説
1. 27÷（4−1）＝9才。3年前の子の年齢です。 2. 9＋3＝12才。現在の子の年齢です。
本番の書き方
子の現在＝27÷（4−1）＋3＝9＋3＝12才。
答え：12才
検算：現在の母は39才。3年前は母36才・子9才で4倍、差は27才。公式解答と一致。
よくあるミス：3年前の9才をそのまま答えること。
次に見抜く印：年齢算の倍数条件は、その時点へ戻り、変わらない差を比の差で割る。
2025年度｜問28｜公式PDF p.9 未着手
おうぎ形を底面に持つ柱体
立体図形 → 面の組と展開図から表面積を求める → 底面2枚と側面、おうぎ形の弧、3.14の係数をまとめる
この問題の見方：45度は円の1/8です。上下のおうぎ形と曲面はどちらも3.14をかけるので、係数をまとめられます。
使う工夫：先に÷8を約分し、共通の3.14をまとめる。6.28や15.7を別々に出さず、（4＋5）×3.14を1回計算します。
段階ヒント
ヒント1：上下のおうぎ形2枚は、（4×4÷8×2）×3.14です。
ヒント2：曲面は、（4×2÷8×5）×3.14です。 3.14の係数は4と5。切った長方形2枚の40cm²も足します。
完全解説
1. 上下2枚のおうぎ形は4×4×3.14÷8×2です。4×4÷8×2＝4なので、合わせて4×3.14cm²です。 2. 曲面は弧の長さ×高さです。4×2×3.14÷8×5で、係数を先に計算すると5×3.14cm²です。 3. 上下2枚と曲面を合わせて（4＋5）×3.14＝9×3.14＝28.26cm²です。 4. 切り口の長方形2枚は4×5×2＝40cm²。合計28.26＋40＝68.26cm²です。
本番の書き方
表面積＝（4＋5）×3.14＋4×5×2＝28.26＋40＝68.26cm²。
答え：68.26cm²
検算：「底面積×2＋底面の周りの長さ×高さ」でも12.56＋（4＋4＋3.14）×5＝68.26。公式解答と一致。
よくあるミス：切り口の長方形2枚を忘れること。円柱の表面積をそのまま1/8にすること。
次に見抜く印：円を含む面積の合計は、半径・角度を先に約分し、3.14を共通にしてまとめる。
2025年度｜問29｜公式PDF p.10 未着手
2通りの計算結果が同じ
特殊算 → 最後の残りから操作を逆向きに戻す → 共通の結果から元へ戻し、同じ基準量の差を比べる
この問題の見方：同じ結果を1箱として逆算すると、元の数が3箱＋440と2箱＋880で表せます。
使う工夫：同じ元の数どうしの差を取る。共通の2箱と440を消せば1箱＝440になり、元の数を直接4倍で出せます。
段階ヒント
ヒント1：同じになった答えを1箱として、両方から元へ戻します。
ヒント2：元の数は「3箱＋440」と「2箱＋880」です。 差を比べると1箱＝440。元の数は440が4個分です。
完全解説
1. 1つ目の計算を戻すと、元の数は「3箱＋440」です。 2. 2つ目を戻すと、「1箱＋440」を2倍するので「2箱＋880」です。 3. 同じ元の数から共通の「2箱＋440」を取り除くと、1箱＝440になります。 4. 440×3＋440＝1760。元の数です。
本番の書き方
3箱＋440＝2箱＋880→1箱＝440。元の数＝440×4＝1760。
答え：1760
検算：（1760−440）÷3＝440、1760÷2−440＝440。公式解答と一致。
よくあるミス：後半を戻すとき、440まで2倍するのを忘れること。
次に見抜く印：2通りの結果が同じなら、共通の結果を箱にし、逆算した元の数の差を比べる。
2025年度｜問30｜公式PDF p.10 未着手
金額の比から枚数の比へ
割合・比 → 等しい比・逆比で量をそろえる → 同額に必要な枚数の違い、単価と個数の逆関係
この問題の見方：同じ金額なら10円玉は50円玉の5倍の枚数が必要です。金額比の10円玉側を5倍します。
使う工夫：単価の5倍の差を先に反映する。分数の比4/10：7/50を書かずに、枚数比を4×5：7＝20：7とできます。
段階ヒント
ヒント1：50円玉1枚と同じ金額を、10円玉で作ると何枚でしょう。
ヒント2：5枚です。金額比4：7のうち10円玉側を5倍します。 枚数比20：7を、合計54枚に合わせます。
完全解説
1. 50円を作るには、10円玉なら5枚、50円玉なら1枚です。 2. 金額が4：7なら、枚数は4×5：7×1＝20：7になります。これは金額を比較用に200円と350円と置いたとき、20枚と7枚になることでも確かめられます。 3. 比の合計27に対し、実際は54枚なので1つ分は2枚。50円玉は2×7＝14枚です。
本番の書き方
枚数比＝4×5：7＝20：7。50円玉＝54÷27×7＝14枚。
答え：14枚
検算：10円玉40枚で400円、50円玉14枚で700円。計54枚で、金額の比4：7も成立。公式解答と一致。
よくあるミス：金額の比4：7を、そのまま枚数の比にすること。
次に見抜く印：金額比から枚数比へは、安い硬貨ほど同額に多い枚数が必要なことを反映する。
2025年度｜問31｜公式PDF p.10 未着手
車から見た車の速さ
速さ → 同方向は差・逆方向は和を使う → 同じ向きでの速さの差、秒速mから時速kmへ×3.6
この問題の見方：秒速10mは2台の速さの差です。秒速mから時速kmへの換算は×3.6でできます。
使う工夫：単位換算を1つにまとめる。×3600÷1000を×3.6へまとめ、差36を引きます。
段階ヒント
ヒント1：同じ方向の車なので、後ろへ下がって見える速さは差です。
ヒント2：秒速m→時速kmは×3600÷1000、つまり×3.6です。 120−10×3.6を計算します。
完全解説
1. Aから見た秒速10mは、AとBの速さの差です。 2. 1時間は3600秒、1kmは1000mなので、秒速mを時速kmに直すには3600÷1000＝3.6をかけます。 3. 速さの差は10×3.6＝時速36km。Bは120−36＝時速84kmです。
本番の書き方
Bの時速＝120−10×3.6＝120−36＝84km。
答え：時速84km
検算：差は時速36km。36×1000÷3600＝秒速10mで条件に戻る。公式解答と一致。
よくあるミス：120−10と、単位が違うまま引くこと。
次に見抜く印：秒速mを時速kmに直すときは×3.6。反対向きの換算は÷3.6。
2025年度｜問32｜公式PDF p.10 未着手
トラック形の周りの長さ
平面図形 → 図形を組み合わせた周長を求める → 半円2つを1円にする、前後の整数候補を比較
この問題の見方：答えは整数です。外周が1辺の5.14倍と分かったら、小数の割り算を最後までせず、近い整数を試します。
使う工夫：前後の整数を代入して比べる。60÷5が12なので、12付近を探せばよく、60÷5.14の筆算を省けます。
段階ヒント
ヒント1：外周は正方形の辺2本＋直径がその辺の円1つ分です。
ヒント2：1辺12cmなら、外周は12×5.14＝61.68cmです。 1cm小さい11cmなら、61.68−5.14＝56.54cmになります。
完全解説
1. 半円2つは円1つです。外周は1辺×2＋1辺×3.14＝1辺×5.14です。 2. 5.14は5に近く、60÷5＝12なので、まず12cmを試します。12×5.14＝61.68cmです。 3. 1辺を1cm減らすと外周は5.14cm減るので、11cmの外周は61.68−5.14＝56.54cmです。 4. 60cmはこの2つの間。差は1.68cmと3.46cmなので12cmが近いです。外周は辺とともに増えるため、10cm以下や13cm以上はさらに離れます。
本番の書き方
外周＝1辺×5.14。12cm→61.68、11cm→56.54。60との差は1.68＜3.46なので12cm。
答え：12cm
検算：11cmと12cmでの外周を直接比較。外周は1辺に比例するため、これより離れた整数はさらに遠くなる。公式解答と一致。
よくあるミス：12cmを試しただけで決めること。11cmも確認し、どちらが60に近いか比べます。
次に見抜く印：整数で最も近い答えは、目安から前後の候補を代入し、差を比べて決める。
2025年度｜問33｜公式PDF p.11 未着手
中央値になるための範囲
データの整理 → 小さい順の中央の値・範囲を調べる → 小さい順の中央の順位、未知の値の範囲と0の扱い
この問題の見方：中央値は7人中4番目です。A以外に7以下が3人いるので、Aが7以下なら条件を満たします。
使う工夫：一つずつ並べず、境目を決める。A＝0から10まで11回並べ直さず、0〜7の範囲を一度に数えます。
段階ヒント
ヒント1：A以外を3、5、7、9、9、10と一度だけ並べます。
ヒント2：Aが7以下のとき、4番目は7です。8以上だと変わります。 0〜7は7−0＋1通りです。
完全解説
1. Aさん以外で7以下なのは3、5、7の3人です。 2. Aさんも7以下なら、4番目の数が7になります。Aさんが7でも、3、5、7、7……となるのでよいです。 3. Aさんが8以上なら、4番目は8以上になってしまいます。 4. 正解数は0から数えます。0、1、2、3、4、5、6、7の8通りです。
本番の書き方
4番目が7になる範囲はA＝0〜7。7−0＋1＝8通り。
答え：8通り
検算：正解数0〜10をすべて並べて確認し、0〜7の8通りが該当。公式解答と一致。
よくあるミス：0問正解の場合を数え忘れること。
次に見抜く印：中央値の未知数は、順位が変わる境目を先に探し、範囲の端を含めて数える。
2025年度｜問34｜公式PDF p.11 未着手
1人だけうそをついている
場合の数・論理 → 真偽・最悪の場合・敗退数で考える → うそが1人という条件、発言どうしの矛盾
この問題の見方：Aさんの発言がうそなら、Cさんの発言もうそになります。「うそは1人だけ」に合うかで絞ります。
使う工夫：発言のつながりで矛盾を消す。6通りの順位をすべて書かず、Aが本当と分かった後、Bの発言を調べれば決まります。
段階ヒント
ヒント1：AがうそならBはAより低いので、Aが最下位というCの発言も成り立ちません。
ヒント2：Aは本当です。続けてBも本当だと、順位はC・B・Aになります。 その順位ではCも本当になってしまいます。したがってBだけがうそです。
完全解説
1. Aさんがうそだと、BはAより低いことになります。するとAが一番低いというCさんの発言もうそです。うそが2人になるので、Aさんは本当です。 2. Aさんは本当なのでBはAより高いです。ここでBさんも本当だとすると、Cが1位で、順位はC→B→Aになります。 3. するとAが最下位というCさんの発言も本当となり、うそが0人です。したがってBさんはうそです。 4. 残るCさんは本当なのでAが最下位。Cが1位というBさんの発言はうそですから、Bが1位です。
本番の書き方
Aがうそ→Cもうそで不可。A・Bが本当→全員本当で不可。Bだけうそ、順位B→C→A。
答え：1番目
検算：全6通りの順位を調べ、B→C→Aだけが「うそ1人」を満たす。公式解答と一致。
よくあるミス：「だれかがうそ」だけを満たし、「1人だけ」を確認しないこと。
次に見抜く印：うそつき問題は、順位を総当たりする前に、1つの発言が別の発言を決めないか見る。
2025年度｜問35｜公式PDF p.11 未着手
欠席者が出たときの配り方
特殊算 → 配り方による余り・不足の差を使う → 欠席者の分を追加配布と余りに分ける
この問題の見方：欠席した人の15個が、出席者への1個ずつの追加と、余り8個に分かれています。
使う工夫：余った分の行き先を見る。予定人数を文字で置かず、15−8＝7個から出席者7人を直接求めます。
段階ヒント
ヒント1：欠席5人に配るはずだった分は5×3個です。
ヒント2：そのうち8個が残ったので、追加配布は7個です。 1人1個追加したから出席者7人。欠席者を戻します。
完全解説
1. 5×3＝15個。欠席した人に配る予定だった分です。 2. 15−8＝7個。余った15個のうち、出席者へ追加で配った分です。 3. 1人1個ずつ追加したので、出席者は7人です。予定人数は7＋5＝12人です。 4. 12×3＝36個。用意してあったチョコレートです。
本番の書き方
出席者＝5×3−8＝7人。チョコ＝（7＋5）×3＝36個。
答え：36個
検算：出席7人に4個ずつ配ると28個で、36−28＝8個余る。公式解答と一致。
よくあるミス：欠席者5人分を、変更後の4個ずつで計算すること。
次に見抜く印：配る量が増える過不足算は、欠席者の分がどこへ回ったかを追う。
2025年度｜問36｜公式PDF p.11 未着手
時計の針が30度になる2つの時刻
速さ → 針の角度差と1分あたりの角度差 → 長針と短針の角速度の差、重なり前後の角度
この問題の見方：最初の30度は長針が短針の手前、次の30度は追い越した後です。間で変わる角度は30＋30＝60度です。
使う工夫：2つの時刻を求めず、その間の相対的な動きだけを出す。4時から何分後かをそれぞれ計算して引く手間を省けます。
段階ヒント
ヒント1：2本の針の速さの差は、1分に6−0.5度です。
ヒント2：30度手前から30度先まで、相対的に60度進みます。 60÷5.5は、120÷11へ直せます。
完全解説
1. 長針の速さは360÷60＝1分に6度です。 2. 短針の速さは30÷60＝1分に0.5度です。時計の数字1つ分30度を1時間で進むからです。 3. 6−0.5＝1分に5.5度。2本の針の速さの差です。 4. 30＋30＝60度。最初の30度から次の30度までに、長針が短針に対して進む角度です。 5. 60÷5.5＝120/11＝10と10/11分。2つの時刻の間隔です。
本番の書き方
間隔＝（30＋30）÷（6−0.5）＝120/11＝10と10/11分。
答え：10と10/11分
検算：4時の角120度から、最初は（120−30）÷5.5＝180/11分後、次は（120＋30）÷5.5＝300/11分後。差120/11分。公式解答と一致。
よくあるミス：30÷5.5とすること。短針を動かないものとして扱うこと。
次に見抜く印：時計の重なりの前後で同じ角になる間隔は、その角の2倍を針の速さの差で割る。
2025年度｜問37｜公式PDF p.12 未着手
同数の果物をまとめる
特殊算 → 全部を一方と仮定して差を調整する → 同数の2種類を平均単価にまとめ、基準額との差を使う
この問題の見方：なしとみかんが同数なので、セットの平均単価65円にまとめられます。
使う工夫：同数の2種類を平均単価で1種類にまとめ、つるかめ算にする。3種類の個数を同時に求める必要がなくなります。
段階ヒント
ヒント1：なしとみかんの1個あたりの平均は（80＋50）÷2です。
ヒント2：40個全部65円だった場合と、実際の代金の差を取ります。 りんご1個に替えるごとに、110−65＝45円増えます。
完全解説
1. （80＋50）÷2＝65円。なしとみかんを合わせた1個あたりの平均単価です。同数なので使えます。 2. 65×40＝2600円。全部をこの単価として数えた代金です。 3. 3410−2600＝810円。実際の方が高い分です。 4. 110−65＝45円。りんご1個につき高くなる金額です。 5. 810÷45＝18個。りんごの個数です。
本番の書き方
平均単価65円。りんご＝（3410−65×40）÷（110−65）＝810÷45＝18個。
答え：18個
検算：なし・みかんは各11個。18×110＋11×80＋11×50＝3410円、合計40個。公式解答と一致。
よくあるミス：3種類の値段を単純に平均すること。個数が等しいのはなしとみかんだけです。
次に見抜く印：同数という条件があれば、2種類を平均単価にまとめてつるかめ算へ持ち込む。
2025年度｜問38｜公式PDF p.12 未着手
3人の仕事の速さ
特殊算 → 全体の仕事量と1日あたりの仕事をそろえる → 所要時間から仕事の速さへ逆比、1人と全員の比較
この問題の見方：仕事の速さを9：15：10にそろえたら、Cと3人合計の比10：34だけを使います。
使う工夫：合計の仕事量を置かず、速さの比から時間を直接縮める。同じ仕事なら時間は逆比なので、30×10/34です。
段階ヒント
ヒント1：時間A：B＝5：3を、速さ3：5に直します。
ヒント2：B：Cの速さ3：2とBをそろえ、A：B：C＝9：15：10にします。 Cの速さ10から3人の速さ34になるので、時間は10/34倍です。
完全解説
1. 同じ仕事でAが5時間、Bが3時間なので、速さA：B＝3：5です。Bが2時間、Cが3時間なので、速さB：C＝3：2です。 2. Bを15にそろえると、速さA：B：C＝9：15：10。3人の速さは9＋15＋10＝34です。 3. Cの速さ10に対して全員は34。同じ仕事にかかる時間は、Cの時間の10/34倍になります。 4. 30×10/34＝30×5/17＝150/17＝8と14/17時間。先に10/34を約分してからかけます。
本番の書き方
速さA：B：C＝9：15：10。時間＝30×10/34＝150/17＝8と14/17時間。
答え：8と14/17時間
検算：この仕事を1人でする時間はA＝100/3時間、B＝20時間、C＝30時間。1時間分を足すと3/100＋1/20＋1/30＝17/150で、所要時間150/17。公式解答と一致。
よくあるミス：かかった時間の比を、そのまま仕事の速さの比にすること。
次に見抜く印：仕事全体が同じなら、1人と全員の速さの比から、かかる時間を直接逆比で出せる。
2025年度｜問39｜公式PDF p.12 未着手
2回の四捨五入
計算・単位 → 四捨五入される元の数の範囲 → 2段階の丸めを逆向きに戻す、範囲の両端
この問題の見方：四捨五入は最後から戻し、最小・最大の端だけを調べます。間の整数を全部書く必要はありません。
使う工夫：丸めた後の範囲を逆向きにたどる。1回目の結果の下端150、上端240から、元の145と244を直接求めます。
段階ヒント
ヒント1：最後に200になる直前の10の倍数は、150から240です。
ヒント2：150へ切り上がる最小は145です。 240へ切り下がる最大は244です。
完全解説
1. 2回目で200になる、1回目の結果は150〜240の10の倍数です。140は100、250は300になります。 2. 一の位を四捨五入して150になる最小の整数は145です。 3. 一の位を四捨五入して240になる最大の整数は244です。 4. 145＋244＝389。求める最小と最大の和です。
本番の書き方
1回目の結果150〜240→元の整数145〜244。最小＋最大＝145＋244＝389。
答え：389
検算：145→150→200、244→240→200。外側の144→140→100、245→250→300も確認。公式解答と一致。
よくあるミス：最初から百の位まで1回で四捨五入し、150〜249とすること。
次に見抜く印：段階的な四捨五入は、最後から範囲を戻す。端の数と1つ外の数だけ試して確かめる。
2025年度｜問40｜公式PDF p.12 未着手
共通部分を足して面積の差を見る
平面図形 → 共通部分・重なり・折り返しを整理する → 共通部分を足して差を保つ、長方形全体に対する割合
この問題の見方：三角形AGEとBFGへ、同じ三角形ABGを足します。すると底辺が分かる大きい三角形の差に変わります。
使う工夫：共通部分を足して差を保つ。交点Gの位置、相似比、小さい三角形それぞれの面積を求める手間を省けます。
段階ヒント
ヒント1：両方へ三角形ABGを足すと、差は変わるでしょうか。
ヒント2：できる三角形ABEとABFは、長方形の1/6と1/4です。 差1/4−1/6＝1/12が15cm²です。
完全解説
1. 「同じ面積を両方に足すと、差は変わる？」→変わりません。差15cm²は、三角形ABEと三角形ABFの差でもあります。 2. AEはADの1/3です。三角形ABEの高さは長方形の高さと同じなので、面積は長方形の1/3×1/2＝1/6です。 3. BFはBCの1/2です。三角形ABFの面積は長方形の1/2×1/2＝1/4です。 4. 1/4−1/6＝1/12。この差が15cm²です。 5. 15×12＝180cm²。長方形ABCDの面積です。
本番の書き方
差の割合＝1/4−1/6＝1/12。長方形＝15÷1/12＝15×12＝180cm²。
答え：180cm²
検算：三角形ABFは45cm²、三角形ABEは30cm²で差15cm²。共通部分を除いても差は同じ。公式解答と一致。
よくあるミス：Gの位置や小さい三角形の高さを先に求めようとして、計算を複雑にすること。
次に見抜く印：面積の差では、共通部分を足すか引くかして、底辺・高さが分かる形へ直す。
2025年度｜問41｜公式PDF p.13 未着手
立方体の辺を通る最短経路
場合の数・論理 → 最短経路・一筆書きの道順を数える → 必要な移動回数を固定、異なる移動を置く位置
この問題の見方：必要なのは上3回・右1回・奥1回です。同じ上3回は区別せず、右と奥をどこへ置くかだけ数えます。
使う工夫：少ない種類の移動の位置を選ぶ。道を20本描いたり、上3回の重複を後から消したりする必要がありません。
段階ヒント
ヒント1：最短の移動は全部で5回です。
ヒント2：右へ進む回は、5か所から選べます。 奥へ進む回は、右を選んだ回以外の4か所です。
完全解説
1. 3＋1＋1＝5回。最短経路に必要な移動回数です。 2. 右へ進む回は、1回目〜5回目の5通りあります。 3. 奥へ進む回は、右へ進む回を除いた4通りあります。 4. 残り3回はすべて上です。よって5×4＝20通りです。 5. 途中の水平な辺も立方体の境目にあるので、この並べ方はどれも実際の辺を通れます。
本番の書き方
右の位置5通り×奥の位置4通り＝20通り。残り3回は上。
答え：20通り
検算：「上・上・上・右・奥」の重複を除いた並びを列挙し20通り。各段の辺の存在も図で確認。公式解答と一致。
よくあるミス：同じ「上」3回を別物として数え、重複させること。
次に見抜く印：同じ動作が多い最短経路は、少ない方の動作を置く位置だけ数える。
2025年度｜問42｜公式PDF p.13 未着手
最大公約数と最小公倍数
数の性質 → 最大公約数と最小公倍数の関係 → 共通因数を外す、1001＝7×11×13、2けたの条件
この問題の見方：1001＝7×11×13の組に注目します。共通の7を取った後、11と13を別々へ配れます。
使う工夫：最大公約数をくくり出して因数を配る。2けたの整数を順に試さず、143の組を2つ調べるだけで済みます。
段階ヒント
ヒント1：1001÷7＝143です。
ヒント2：143＝11×13。残る組は1と143、11と13です。 それぞれ7倍して、両方2けたになる組を選びます。
完全解説
1. 最大公約数が7なので、2つの数は「7×ある数」「7×別の数」と書けます。 2. 残った2数には共通の約数がないため、最小公倍数は7×その2数の積です。 3. 1001÷7＝143＝11×13。残る2数の積です。 4. 1と143なら元は7と1001で、2けたという条件に合いません。 5. 11と13なら元は77と91で、両方とも2けたです。
本番の書き方
1001＝7×11×13。共通7を持つ2数は7×11＝77、7×13＝91。
答え：77と91
検算：77＝7×11、91＝7×13。最大公約数7、最小公倍数7×11×13＝1001。2けたの組の列挙でも唯一。公式解答と一致。
よくあるミス：共通の7を両方から取り出した後、最小公倍数で7を2回かけること。
次に見抜く印：1001が現れたら7×11×13を思い出す。最大公約数を外し、残った因数の配り方を調べる。
2025年度｜問43｜公式PDF p.13 未着手
あふれた水と水面の低下
立体図形 → 水位変化と押しのけた体積 → 物体を入れた後に残る水、失った体積÷底面積
この問題の見方：Bを取り出した後に最初より水面が下がるのは、あふれて水が減ったからです。減った水だけに注目します。
使う工夫：失った体積÷元の底面積で下がる高さを直接出す。最初と最後の水深を別々に求めなくて済みます。
段階ヒント
ヒント1：Bが入った状態で、水が残れる底面積を求めます。
ヒント2：240×30＝7200cm³が残るので、失った水は800cm³です。 下がる高さは800÷400です。
完全解説
1. 8L＝8000cm³。最初の水の体積です。水そうの底面積は40×10＝400cm²です。 2. Bの底面積は20×8＝160cm²。水が入れる部分は400−160＝240cm²です。 3. 240×30＝7200cm³。Bを入れて、水そうのふちまで水があるときに残る水です。 4. 8000−7200＝800cm³。あふれて失われた水です。 5. Bを取り出した後は、元の底面積400cm²に戻ります。800÷400＝2cmだけ、最初より水面が下がります。
本番の書き方
残る水＝（40×10−20×8）×30＝7200cm³。低下＝（8000−7200）÷400＝2cm。
答え：2cm
検算：最初の水深8000÷400＝20cm、最後の水深7200÷400＝18cmで差2cm。公式解答と一致。
よくあるミス：Bの高さ50cm全部を、水そうの中の体積として引くこと。あふれた直後の30cmと比較すること。
次に見抜く印：水位の差だけなら、水の増減した体積を底面積で割る。
2025年度｜問44｜公式PDF p.14 未着手
2組を合わせた男女の比
割合・比 → 共通の量をそろえて比をつなぐ → 共通の男子数へそろえる、女子の余りと不足を逆比にする
この問題の見方：A組・B組・全体の比を、どれも「男子70人あたり」にそろえると、女子は105・56・80人になります。これは比較用の人数です。
使う工夫：求めたい男子の数を同じ基準にして、女子の余り・不足をつり合わせる。全体基準80に対し、Aは25多く、Bは24少ないので、組数は逆の24：25です。
段階ヒント
ヒント1：男子の比の数2・5・7の最小公倍数70にそろえます。
ヒント2：女子はA105、B56、全体80。基準80との差を求めます。 Aの余り25とBの不足24を打ち消すには、A24組とB25組です。
完全解説
1. 比の男子側2・5・7を70にそろえます。Aは2：3＝70：105、Bは5：4＝70：56、全体は7：8＝70：80です。実際に男子が70人いるという意味ではありません。 2. 「男子70人分」を1組と考えると、全体の基準の女子数は80人分です。Aの1組は105−80＝25人分多く、Bの1組は80−56＝24人分少なくなります。 3. 全体が基準どおりになるには、Aで多い分とBで少ない分が等しくなります。25×24＝24×25なので、Aの組数：Bの組数＝24：25です。 4. どちらの1組も男子70人分ですから、その組数の比がそのまま男子の人数の比24：25になります。
本番の書き方
男子70にそろえる→女子A105・B56・全体80。A男子：B男子＝（80−56）：（105−80）＝24：25。
答え：24：25
検算：A組を男子24・女子36、B組を男子25・女子20とすると、各組は2：3と5：4、全体は49：56＝7：8になる。人数は比を確認するための例。公式解答と一致。
よくあるミス：余り25と不足24を、そのまま25：24とすること。少ない方の不足を埋めるには、Bの組数が多く必要です。
次に見抜く印：2集団の混合比は、求める側を共通の量にそろえ、もう一方の全体平均との差を逆比にする。
2025年度｜問45｜公式PDF p.14 未着手
確実に選ばれる票数
場合の数・論理 → 真偽・最悪の場合・敗退数で考える → 上位3人に入るための最悪の場合、同票の境界
この問題の見方：3人当選なら、「自分を含む4人が同じ票以上」を取れるかどうかが境目です。
使う工夫：落選側へ追い出す最悪の場合を使う。43票を5人へ分けるすべての場合を数えず、4人分の必要票数だけ比較します。
段階ヒント
ヒント1：10票では、他の3人が11票ずつ取れます。
ヒント2：11票以上が4人なら、少なくとも44票必要です。 43票しかないので、自分が11票なら必ず上位3人です。
完全解説
1. 10票だと、たとえば11・11・11・10・0票という分かれ方があります。10票の人は4位なので、確実ではありません。 2. 自分が11票取ったとします。自分以外に11票以上の人が3人いるには、少なくとも11×4＝44票必要です。 3. 投票は43票なので、それは不可能です。自分以外に11票以上の人は多くても2人で、自分は必ず上位3人に入ります。
本番の書き方
11×4＝44＞43なので11票で確実。10票は11・11・11・10・0の例で不可。
答え：11票
検算：10票では落選する具体例があり、11票では同票も含め4人が並ぶことが不可能。公式解答と一致。
よくあるミス：43÷3だけで考えること。全員に均等に票が入ると仮定すること。
次に見抜く印：確実に上位k人へ入るには、自分を含むk＋1人が同票以上になる場合を調べる。
2025年度｜問46｜公式PDF p.14 未着手
残りから元の問題数に戻す
特殊算 → 最後の残りから操作を逆向きに戻す → 追加分を足し戻し、残る割合で後ろから逆算
この問題の見方：最後から戻し、残る割合の「分子で先に割る」と、各段が整数の計算になります。
使う工夫：逆算と先の約分を組み合わせる。÷2/5は÷2×5、÷4/7は÷4×7とし、150/2などの大きい分子を作りません。
段階ヒント
ヒント1：3週目を戻すには、追加で解いた3問を先に足します。
ヒント2：（27＋3）÷2×5で75問です。 同じように、＋1→÷4×7、＋7→÷7×9と戻します。
完全解説
1. 3週目は2/5が残り、さらに3問減って27問です。戻すと（27＋3）÷2×5＝15×5＝75問です。 2. 2週目は4/7が残り、さらに1問減って75問です。（75＋1）÷4×7＝19×7＝133問です。 3. 1週目は7/9が残り、さらに7問減って133問です。（133＋7）÷7×9＝20×9＝180問です。 4. どの段も、追加で解いた分を足し戻した後、割り切れる計算を先にしています。
本番の書き方
（27＋3）÷2×5＝75 →（75＋1）÷4×7＝133 →（133＋7）÷7×9＝180問。
答え：180問
検算：1週目は40＋7＝47問解いて133問残る。2週目は57＋1＝58問解いて75問残る。3週目は45＋3＝48問解いて27問残る。公式解答と一致。
よくあるミス：解いた割合3/5で割ること。戻すときに＋3と÷2/5の順を入れ替えること。
次に見抜く印：割合の逆算で割り切れるときは、分子で先に割ってから分母をかけ、数字を小さく保つ。
2025年度｜問47｜公式PDF p.14 未着手
等間隔に並ぶ数の和
規則性 → 一定の差からn番目・数列の和を求める → 対応する項の差を足す、余った項の処理
この問題の見方：①と②の項を同じ順で並べます。4−3、8−6、12−9……の差は、1、2、3……になります。
使う工夫：2つの和を別々に出さず、対応する項の差だけを足す。360と544を作る計算を省き、余った64だけ忘れずに足します。
段階ヒント
ヒント1：①は15項、②は16項です。まず15項ずつ対応させます。
ヒント2：対応する差は1、2、3、……、15です。 ②に余る最後の64を、その差の合計へ足します。
完全解説
1. ①は3×1から3×15まで、②は4×1から4×16までです。②の方が1項多いことを確かめます。 2. 最初の15項を対応させると、差は4−3＝1、8−6＝2、……、60−45＝15です。 3. 1から15の和は（1＋15）×15÷2＝16×15÷2＝8×15＝120です。先に16÷2を計算します。 4. ②の最後の64は、対応する①の項がないのでそのまま残ります。120＋64＝184です。
本番の書き方
②−①＝（1＋2＋…＋15）＋64＝15×16÷2＋64＝120＋64＝184。
答え：184
検算：数列の各項を直接足し、①360、②544を再確認。公式解答と一致。
よくあるミス：15項分の差120だけで終え、②に1項多い64を足し忘れること。
次に見抜く印：2つの規則的な和の差は、各項を引くともっと単純な並びにならないか先に見る。
2025年度｜問48｜公式PDF p.15 未着手
正二十角形の対角線の長さ
平面図形 → 対称性で対角線・三角形を分類する → 回転・左右の対称性、対角線の本数と長さの種類
この問題の見方：1つの頂点からだけ調べ、左右対称の対角線を同じ種類にまとめます。
使う工夫：回転対称と左右対称を使う。全対角線の本数を求めず、2つ先から真向かいの10個先までの9種類だけ数えます。
段階ヒント
ヒント1：1つ先は辺なので、対角線ではありません。
ヒント2：時計回り2つ先と、反時計回り2つ先は同じ長さです。 2個先から10個先までを、端を含めて数えます。
完全解説
1. 1つ先は辺なので除きます。2つ先から対角線になります。 2. 11個先への線は9個逆向きへ進んだ頂点への線と同じ長さです。このように10個先を過ぎると、すでに数えた長さと重なります。 3. 2、3、4、5、6、7、8、9、10個先の9種類です。真向かいまでの間では、頂点が離れるほど線も長くなります。
本番の書き方
長さは2個先〜10個先の9種類。10−2＋1＝9種類。
答え：9種類
検算：1頂点からの対角線17本は、同じ長さの組8組と真向かい1本に分かれる。8＋1＝9種類。公式解答と一致。
よくあるミス：対角線の本数と、長さの種類数を混同すること。
次に見抜く印：正多角形の長さの種類は、1頂点へ絞り、対称な線をまとめる。
2025年度｜問49｜公式PDF p.15 未着手
立方体の切り口の面積比
立体図形 → 切り口と切断後の体積・面積比 → 平行な切り口、相似な対角線、共通の高さ
この問題の見方：切り口を台形として取り出します。必要なのは辺の実際の長さではなく、上辺・下辺・黒い三角形の底辺の比です。
使う工夫：共通の高さを消して面積を比べる。正方形の対角線の実際の長さや、斜めの切り口の高さは計算しません。
段階ヒント
ヒント1：切り口と右側の底辺の交点をD、ABと黒白の境目の交点をEとします。
ヒント2：AB：CD＝2：1で、EはABの真ん中。AE＝CDです。 台形全体は（2＋1）×高さ÷2、黒い三角形は1×高さ÷2です。
完全解説
1. 上面と底面は平行なので、切り口のABとCDも平行です。Cは手前の底辺の中点。底面でABと平行に引くと、Dも右側の底辺の中点になります。 2. ABは1辺6cmの正方形の対角線、CDは1辺3cmの正方形の対角線です。同じ形で辺が半分なので、AB：CD＝2：1です。対角線のcmは求めません。 3. 黒白の境目は幅の真ん中なので、EはABの中点。AE＝ABの半分＝CDです。黒い切り口は三角形AEC、全体は台形ABDCです。 4. ABを2、CDとAEを1と置きます。台形全体と黒い三角形は高さが共通なので、面積比は（2＋1）：1＝3：1です。 5. 全体3のうち黒1、残りの白2です。黒：白＝1：2となります。
本番の書き方
AB：CD：AE＝2：1：1。全体：黒＝（2＋1）：1＝3：1。黒：白＝1：（3−1）＝1：2。
答え：1：2
検算：切り口を平面上に表して、平行な上辺と下辺の比2：1、黒部分の底辺AE＝下辺CDを確認。全体と黒部分の面積比3：1から黒：白＝1：2。公式解答と一致。
よくあるミス：黒と白の立体の体積が同じなので、切り口も1：1だと思うこと。立方体の高さ6cmを切り口の台形の高さとして使うこと。
次に見抜く印：面積比では、長さを求める前に共通の高さを探し、底辺の比だけで処理できるか見る。
2025年度｜問50｜公式PDF p.15 未着手
3つの種目のアンケート
場合の数・論理 → 重なりを整理して全体を数える → 補集合、「のみ」と3つ共通の区別、全体から引く
この問題の見方：ドッジボールを選んでいない12人から、大縄を選んだ5人を引けば、リレーだけの人が残ります。
使う工夫：補集合を使い、必要な部分だけ出す。3つの円の7領域をすべて埋める必要はなく、リレー総数27やリレー・ドッジのみ16も主計算では使いません。
段階ヒント
ヒント1：ドッジボールを選ばない人数は45−33です。
ヒント2：そのうち大縄を選ぶ人数は17−9−3です。 何も選ばない人がいないので、残りはリレーのみです。
完全解説
1. 45−33＝12人。ドッジボールを選んでいない人です。 2. 17−9−3＝5人。大縄を選び、ドッジボールを選んでいない人です。この5人には「大縄だけ」と「リレーと大縄のみ」が含まれます。 3. ドッジボールを選ばない12人から、その5人を除くと、リレーだけを選んだ人が残ります。何も選ばない人は0人だからです。 4. 12−5＝7人。求める人数です。
本番の書き方
リレーのみ＝（45−33）−（17−9−3）＝12−5＝7人。
答え：7人
検算：内訳はリレーのみ7、大縄のみ4、ドッジのみ5、リレー・大縄のみ1、リレー・ドッジのみ16、大縄・ドッジのみ9、3つとも3。合計45人、各種目27・17・33人をすべて満たす。公式解答と一致。
よくあるミス：「大縄とドッジボールの2つのみ9人」に、3種目の3人が含まれていると読むこと。
次に見抜く印：集合の「のみ」は、全体から選ばない側を取り出して引くと、全領域を求めずに済むことがある。 ## 最後に｜工夫を本番で使うための復習