2022年度｜問1｜公式PDF p.2 未着手
四則計算と帯分数
計算・単位 → 小数・帯分数を直して先に約分する → かけ算・わり算は、たし算・ひき算より先に、同じ優先順位なら左から計算します。各項を分数に直した後、共通の分母にそろえて加減します。
この問題の見方：「1÷2×3」「4÷6×7」「8÷9」の3つの項に分けます。特に4÷6は、7をかける前に4/6＝2/3と約分できることを見ます。
使う工夫：乗除を各項の中で先に処理し、4/6を2/3にして数字を小さくします。最後に分母18へ通分すれば、途中の計算がまとまります。
段階ヒント
ヒント1：＋と−で区切り、3つの項を別々に計算しましょう。乗除は左から進めます。
ヒント2：3つの項は3/2、14/3、8/9になります。分母を18にそろえる準備をしましょう。
完全解説
1. 1÷2×3は、1/2×3＝3/2です。÷2と×3は同じ優先順位なので左から計算します。 2. 4÷6×7は、4/6を2/3に約分してから7をかけ、14/3です。 3. したがって式は3/2＋14/3−8/9となります。 4. 分母を18にそろえると27/18＋84/18−16/18＝95/18です。 5. 95÷18＝5あまり5なので、答えは5と5/18です。
本番の書き方
1÷2×3＝3/2、4÷6×7＝14/3
3/2＋14/3−8/9
＝（27＋84−16）/18＝95/18
＝5と5/18
答え：5と5/18
検算：5と5/18＝95/18です。元の3項を分母18で再計算すると27＋84−16＝95となり一致します。公式解答とも一致します。
よくあるミス：4÷6×7を4÷（6×7）とすること。かけ算とわり算は、記号の種類ではなく左から順に計算します。
次に見抜く印：＋や−で区切れる四則混合計算では、まず各項の乗除を終え、約分してから最後に通分します。
2022年度｜問2｜公式PDF p.2 未着手
小数と帯分数の分数計算
計算・単位 → 小数・帯分数を直して先に約分する → 小数と帯分数が混ざるときは、すべて分数にそろえると計算できます。分数で割るときは、割る数の逆数をかけ、かける前に約分します。
この問題の見方：0.875は7/8に直せます。かっこの中では「4と1/8÷2と3/4」を先に計算するので、帯分数をすべて仮分数にします。
使う工夫：0.875を7/8、3と1/4を13/4などに直します。かっこ内の割り算では、33と11、4と8を先に約分して小さな数にします。
段階ヒント
ヒント1：小数と3つの帯分数をすべて分数にそろえ、かっこの中の割り算から始めましょう。
ヒント2：かっこの中は13/4−（33/8×4/11）です。先に約分してから、この差を求めましょう。
完全解説
1. 0.875＝7/8、3と1/4＝13/4、4と1/8＝33/8、2と3/4＝11/4です。 2. かっこ内の割り算は33/8÷11/4＝33/8×4/11です。33÷11＝3、4÷8＝1/2より3/2になります。 3. かっこ内は13/4−3/2＝13/4−6/4＝7/4です。 4. 全体は7/8÷7/4＝7/8×4/7。7を消すと4/8＝1/2です。
本番の書き方
0.875＝7/8
かっこ内＝13/4−33/8×4/11＝13/4−3/2＝7/4
7/8÷7/4＝7/8×4/7＝1/2
答え：1/2
検算：答え1/2に、割る数7/4をかけると7/8になり、最初の0.875と一致します。公式解答とも一致します。
よくあるミス：帯分数をそのまま分子と分母のように扱うこと。また、33/8÷11/4で11/4を逆数にし忘れること。
次に見抜く印：小数・帯分数・分数のわり算が混ざったら、分数に統一し、かっこの内側から先の約分を使います。
2022年度｜問3｜公式PDF p.2 未着手
逆算による分数計算
計算・単位 → □をひとまとまりにして逆の順に戻す → かっこ全体に同じ数をかける式は、分配法則で各項にかけると消し合う部分が見つかります。□を含む割り算は、最後に逆算します。
この問題の見方：3と2/3＝11/3で、かっこ内の1と5/6を2倍しても11/3です。この2つが消え、□を含む部分だけ残ることに注目します。
使う工夫：かっこに×2を分配し、11/3−11/3を消します。すると複雑な式が6÷□＝1.5に変わるので、最後はわり算の逆算だけです。
段階ヒント
ヒント1：かっこ全体の×2を、中の2つの項へ分けてかけると、同じ大きさの数が現れます。
ヒント2：3と2/3−（1と5/6×2−6/□）と直します。最初の2つが消えた後の式を考えましょう。
完全解説
1. 3と2/3＝11/3、1と5/6＝11/6、1.5＝3/2です。 2. かっこ内の各項に2をかけると、（11/6−3/□）×2＝11/3−6/□です。 3. 左辺は11/3−11/3＋6/□となり、同じ11/3どうしが消えて6/□だけ残ります。 4. したがって6÷□＝1.5です。6を1.5ずつ分けた個数を考えると、□＝6÷1.5＝4です。
本番の書き方
左辺＝11/3−（11/3−6/□）
＝6/□
6÷□＝1.5
□＝6÷1.5＝4
答え：4
検算：□＝4を代入すると、かっこ内は11/6−3/4＝13/12です。11/3−13/12×2＝22/6−13/6＝9/6＝1.5となり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：×2を1と5/6だけにかけ、3×1/□にはかけないこと。分配すると両方の項に2をかけます。
次に見抜く印：式の外側にかっこの倍があり、同じ数が前にもあるときは、分配法則で消し合う部分がないかを探します。
2022年度｜問4｜公式PDF p.2 未着手
1から19までの和
規則性 → 一定の差からn番目・数列の和を求める → 同じ間隔で並ぶ数は、最初と最後、次と最後から2番目を組にすると、同じ和を作れます。項数が奇数なら中央の数が1つ残ります。
この問題の見方：1から19までなので、端の1と19、2と18を組にすると、どの組も20です。中央には10が残ります。
使う工夫：1から順に足さず、両端から20になる組を作ります。9組と中央の10だけを計算すればよく、たし間違いを減らせます。
段階ヒント
ヒント1：最初の数と最後の数を組にし、次も同じように両端から組ませましょう。
ヒント2：20になる組が何組でき、組に入らず中央に残る数が何かを数えましょう。
完全解説
1. 1＋19＝20、2＋18＝20、3＋17＝20というように、両端から組を作ります。 2. 1から19までは19個あるので、20の組は（1,19）から（9,11）までの9組です。 3. 真ん中の10は組に入らず1つ残ります。 4. したがって合計は20×9＋10＝180＋10＝190です。これは平均10の数が19個あると考えた10×19とも同じです。
本番の書き方
（1＋19）、（2＋18）、…、（9＋11）は各20
20×9＋10
＝180＋10＝190
答え：190
検算：1から19までの平均は（1＋19）÷2＝10で、数は19個です。10×19＝190となり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：1から19までを18個と数えること。また、20の組を9組作った後、中央の10を足し忘れること。
次に見抜く印：連続する数や同じ間隔の数の和では、両端を組ませて同じ和を作れるかを最初に見ます。
2022年度｜問5｜公式PDF p.3 未着手
積の桁数
計算・単位 → 10・100・1000になる組を作る → 積の順序は入れ替えられるので、10・100・1000を作る組を先に探します。10の累乗になれば、0の個数から桁数を判断できます。
この問題の見方：4と25で100、8と125で1000、5と200でも1000が作れます。全部を左から筆算する必要はありません。
使う工夫：因数を並べ替えて100・1000・1000の3組を作ります。1の後ろの0の個数を合計し、桁数は「0の個数＋1」と考えます。
段階ヒント
ヒント1：4と25、8と125のように、かけると10の累乗になる組を探しましょう。
ヒント2：（4×25）×（8×125）×（5×200）と組み替え、それぞれを100または1000にしましょう。
完全解説
1. かけ算は順序を変えられるので、4×25＝100を最初の組にします。 2. 同じように8×125＝1000、5×200＝1000です。 3. 全体は100×1000×1000＝10²×10³×10³＝10⁸になります。 4. 10⁸は100000000で、1の後ろに0が8個あります。0の個数は8個ですが、先頭の1も1桁なので、答えは9桁です。
本番の書き方
（4×25）×（8×125）×（5×200）
＝100×1000×1000
＝10⁸＝100000000
よって9桁
答え：9桁
検算：素因数で見ると2は8個、5も8個あり、すべて組ませて10が8個できます。したがって10⁸で9桁となり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：0が8個あることから8桁と答えること。1000は0が3個でも4桁なので、先頭の1を含めます。
次に見抜く印：2・4・8と5・25・125・200が並ぶ積では、10・100・1000を作る組み替えを疑います。
2022年度｜問6｜公式PDF p.3 未着手
面積の単位換算
計算・単位 → 長さ・重さ・体積の単位をそろえる → 全体の面積を1坪あたりの面積で割ると、坪数が求まります。小数第2位を四捨五入するとは、第2位を見て小数第1位までに丸めることです。
この問題の見方：1坪が3.3m²で、全体が84m²です。「84の中に3.3がいくつあるか」なので、84÷3.3と判断します。
使う工夫：割る数の小数をなくすため、84÷3.3を840÷33にします。商は25.4545…となるため、小数第2位を見て丸めます。
段階ヒント
ヒント1：求めるのは坪数なので、全体84m²を1坪分の3.3m²で割ります。
ヒント2：84÷3.3＝840÷33です。小数第1位まで商を出し、次の位の数字を確認しましょう。
完全解説
1. 1坪は3.3m²なので、84m²に何坪入るかは84÷3.3で求めます。 2. 割る数を整数にするため、割られる数と割る数をともに10倍し、840÷33とします。 3. 840÷33＝25.4545…です。これは25坪より少し多く、26坪より少ない値です。 4. 小数第2位は5なので、小数第1位の4を1つ上げます。答えは25.5坪です。
本番の書き方
84÷3.3＝840÷33
＝25.4545…
小数第2位は5
よって25.5坪
答え：25.5坪
検算：25.4×3.3＝83.82m²、25.5×3.3＝84.15m²で、84m²に対応する坪数はその間にあります。25.4545…を丸めた25.5坪は公式解答とも一致します。
よくあるミス：3.3だけを33にして、84を840にしないこと。また、「小数第2位を四捨五入」を小数第2位まで残すこと。
次に見抜く印：「1単位が○○で、全体は△△」から単位数を求める問題は、全体÷1単位で考えます。
2022年度｜問7｜公式PDF p.3 未着手
体積と容量の換算
計算・単位 → 長さ・重さ・体積の単位をそろえる → 1m³＝1000L、1L＝1000cm³です。異なる単位の量は、同じ単位にそろえてから加減します。
この問題の見方：m³とLをそのまま引けないことを確認します。0.12m³をいったんLにすると、9Lとの差を小さな数で計算できます。
使う工夫：0.12m³を120Lに直してから9Lを引き、最後にcm³へ直します。最初からcm³へ直すより、0の多い引き算を避けられます。
段階ヒント
ヒント1：m³とLのうち、まずどちらか一方へ単位をそろえましょう。Lを経由すると計算が簡単です。
ヒント2：0.12m³＝120Lです。120Lから9Lを引いた量に1000をかければ、cm³へ直せます。
完全解説
1. 1m³＝1000Lなので、0.12m³＝0.12×1000＝120Lです。 2. これで両方がLになり、120−9＝111Lと引けます。 3. 求める単位はcm³です。1L＝1000cm³なので、111L＝111×1000＝111000cm³です。 4. したがって、cm³の前の□に入る整数は111000です。
本番の書き方
0.12m³＝120L
120−9＝111L
111×1000＝111000cm³
□＝111000
答え：111000
検算：111000cm³＝111Lです。これに引いた9Lを戻すと120L＝0.12m³になるため、元の量に戻ります。公式解答とも一致します。
よくあるミス：1m³＝1000cm³とすること。1m＝100cmなので、体積では100×100×100＝1000000cm³になります。
次に見抜く印：m³・L・cm³が混在したら、1m³＝1000L、1L＝1000cm³を使い、途中の数字が小さくなる単位へそろえます。
2022年度｜問8｜公式PDF p.3 未着手
角の二等分線と三角形
平面図形 → 三角形・多角形の内角と外角 → 角の二等分線は、元の角を同じ大きさの2つに分けます。三角形BPCで半分の角の合計を求め、2倍すれば三角形ABCのBとCの合計になります。
この問題の見方：Pは角Bと角Cの二等分線の交点です。まず三角形BPCに注目し、124度以外の2角の合計を求めます。
使う工夫：三角形BPCで180−124を計算し、その56度が角Bと角Cの半分ずつの合計だと考えます。2倍してから三角形ABCの内角の和を使います。
段階ヒント
ヒント1：三角形BPCの3つの角に注目し、124度以外の2角をまとめて求めましょう。
ヒント2：∠PBC＋∠BCP＝180−124です。この2角は、元の角Bと角Cをそれぞれ半分にした角です。
完全解説
1. 三角形BPCの内角の和は180度なので、B側とC側の2角の合計は180−124＝56度です。 2. BPは角Bの二等分線、CPは角Cの二等分線です。したがって56度は、角Bと角Cの半分ずつを足した大きさです。 3. 元の角B＋角Cは56×2＝112度です。 4. 三角形ABCでも内角の和は180度なので、x＝180−112＝68度です。
本番の書き方
∠PBC＋∠BCP＝180−124＝56度
∠B＋∠C＝56×2＝112度
x＝180−112
＝68度
答え：68度
検算：x＝68度なら、角B＋角C＝112度です。その半分の合計は56度なので、∠BPC＝180−56＝124度に戻ります。公式解答とも一致します。
よくあるミス：56度をそのまま角B＋角Cとすること。56度は、二等分された後の角B/2と角C/2の合計です。
次に見抜く印：三角形の中で2本の角の二等分線が交わっていたら、内側の三角形で半分の角の合計を求めます。
2022年度｜問9｜公式PDF p.4 未着手
代金と個数の特殊算
特殊算 → 全部を一方と仮定して差を調整する → 2種類の個数と合計代金が分かる問題は、全部を一方の種類だと仮定します。実際の代金との差を、1個を入れ替えたときの差で割ります。
この問題の見方：60円と90円の差は30円です。50個を全部90円のガムだとすると、実際の3630円より高くなることを見ます。
使う工夫：全部ガムとして4500円を作り、実際との差870円を求めます。ガム1個をあめ1個に替えるたび30円安くなるので、差を30円ずつ消します。
段階ヒント
ヒント1：まず50個すべてが90円のガムだった場合の代金を考えましょう。
ヒント2：全部ガムの代金と3630円との差を求めます。ガムをあめへ1個替えると、代金は90−60円だけ下がります。
完全解説
1. 50個をすべて90円のガムと仮定すると、代金は90×50＝4500円です。 2. 実際は3630円なので、仮定より4500−3630＝870円安くなっています。 3. ガム1個を60円のあめ1個に替えると、90−60＝30円ずつ安くなります。 4. 870円の差を30円ずつ作るので、あめの個数は870÷30＝29個です。残りの21個がガムです。
本番の書き方
全部ガム：90×50＝4500円
差：4500−3630＝870円
1個の差：90−60＝30円
あめ：870÷30＝29個
答え：29個
検算：あめ29個とガム21個で合計は50個です。代金は60×29＋90×21＝1740＋1890＝3630円となり、個数・代金とも条件を満たし、公式解答とも一致します。
よくあるミス：870÷30＝29をガムの個数とすること。全部ガムから安いあめへ替えた回数なので、29はあめの個数です。
次に見抜く印：2種類の単価、合計個数、合計代金が示されたら、全部を高い方または安い方にそろえるつるかめ算です。
2022年度｜問10｜公式PDF p.4 未着手
百分率の逆算
割合・比 → 割合から元の量・残りの量を求める → 「Aのp％」はA×p/100です。同じ量が「Bのq％」でもあるとき、B＝A×p÷qとして百分率の比から求められます。
この問題の見方：420gの70％と、□gの60％が同じ量です。同じ量で割合が60％の方が小さいため、□は420より大きくなると見当をつけます。
使う工夫：420×70/100＝□×60/100と考え、両辺の÷100を消します。□＝420×70÷60として、420÷60＝7を先に計算します。
段階ヒント
ヒント1：まず「420gの70％」と「□gの60％」が等しいことを、割合の式で表しましょう。
ヒント2：両方にある÷100を消すと、420×70＝□×60です。420と60を先に約分しましょう。
完全解説
1. 420gの70％は420×70/100、□gの60％は□×60/100です。この2つが同じ量です。 2. 両方にある÷100を消すと、420×70＝□×60となります。 3. □は420×70÷60です。420÷60＝7を先に計算すると、大きなかけ算をしなくて済みます。 4. 7×70＝490なので、□に入る整数は490です。実際、共通する量は294gです。
本番の書き方
420×70/100＝□×60/100
□＝420×70÷60
＝7×70
＝490
答え：490
検算：420×70％＝294g、490×60％＝294gで、両方の量が一致します。また490は見当どおり420より大きく、公式解答とも一致します。
よくあるミス：420×60÷70として、割合の順序を逆にすること。同じ量を表す式を最初に書いてから逆算します。
次に見抜く印：「Aのp％は、□のq％」を見たら、□＝A×p÷qです。計算前に共通因数を約分します。
2022年度｜問11｜公式PDF p.4 未着手
規則に従う整数列の50番目
規則性 → 一定の差からn番目・数列の和を求める → 同じ数ずつ増減する数列では、1番目からn番目までに変化する回数はn−1回です。n番目は「初めの数±差×（n−1）」で求めます。
この問題の見方：2022→2015→2008→2001の差を見ます。どこも7ずつ減っているので、50番目までに7を何回引くかを考えます。
使う工夫：50番目までの間隔は49個です。7×49は、7×50−7＝350−7とすると速く計算できます。
段階ヒント
ヒント1：1番目から2番目までは1回、1番目から50番目までは何回変化するでしょう。
ヒント2：2022−7×（50−1）と表し、7×49は7×50−7で計算します。
完全解説
1. 隣り合う数の差は、2022−2015＝7です。したがって、この数列は毎回7ずつ小さくなります。 2. 1番目から50番目までの間隔は50−1＝49個なので、7を49回引きます。 3. 7×49＝7×50−7＝350−7＝343です。 4. 2022−343＝1679。よって50番目の整数は1679です。
本番の書き方
差は7、間隔は50−1＝49個。
7×49＝350−7＝343
2022−343＝1679
答え：1679
検算：1679＋7×49＝1679＋343＝2022となり、50番目から49回戻ると1番目に一致します。公式解答の1679とも一致します。
よくあるミス：50番目だから7を50回引くこと。最初の2022を1番目として数えるため、引く回数は49回です。
次に見抜く印：「同じ数ずつ増える・減る並び」と「何番目」が出たら、差と間隔の数n−1に注目します。
2022年度｜問12｜公式PDF p.4 未着手
半円を回転させた斜線部分の面積
平面図形 → 回転・転がり・移動でできる面積や角度 → 図形を回転しても、その図形自体の面積は変わりません。回転前後の同じ半円を相殺すると、斜線部分を扇形の面積に置き換えられます。
この問題の見方：回転の中心は半円の左端です。半径6cmから直径は12cmで、その直径が45度回転していることと、回転前後の半円が同じ面積であることを見ます。
使う工夫：共通部分を細かく求めません。「斜線部分＋元の半円＝回転後の半円＋半径12cm・中心角45度の扇形」と見て、等しい半円を両側から消します。
段階ヒント
ヒント1：元の半円と、45度回転した後の半円の面積は同じです。
ヒント2：等しい半円を相殺すると、半径12cm、中心角45度の扇形だけが残ります。円全体の何分の1かを考えましょう。
完全解説
1. 半円の半径は6cmなので、直径は6×2＝12cmです。 2. 斜線部分に元の白い半円を加えると、「回転後の半円」と、長さ12cmの直径が45度回ってできる扇形に分けられます。 3. 回転前後の半円は同じ面積なので、両方から消せます。したがって斜線部分は、半径12cm・中心角45度の扇形と同じ面積です。 4. 12×12×3.14×45÷360＝144×3.14÷8＝56.52cm²です。
本番の書き方
直径＝6×2＝12cm
斜線＝半径12cm、45度の扇形
12×12×3.14×45÷360＝56.52cm²
答え：56.52cm²
検算：45÷360＝1/8なので、12×12÷8＝18、18×3.14＝56.52cm²です。別の順序で計算しても同じになり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：扇形の半径を6cmにすること。回転している線分は半円の半径ではなく、回転中心から反対側の端までの直径12cmです。
次に見抜く印：半円を端の点のまわりに回した斜線図では、「回転前後の等しい半円を消せないか」と、直径が作る扇形を見ます。
2022年度｜問13｜公式PDF p.5 未着手
9の倍数になる数字
数の性質 → 倍数判定・余りの条件を整理する → 各位の数字の和が9の倍数なら、元の整数も9の倍数です。空欄に入る数字は0から9までなので、和の範囲も合わせて調べます。
この問題の見方：456A32のA以外を先に足します。4＋5＋6＋3＋2＝20なので、各位の和は20＋Aです。
使う工夫：Aを順に試さず、20＋Aが取り得る20から29の中にある9の倍数を探します。この範囲では27だけです。
段階ヒント
ヒント1：9の倍数かどうかは、各位の数字の和で判定できます。
ヒント2：A以外の和は20です。20＋Aは20から29までなので、この範囲の9の倍数を探します。
完全解説
1. 456A32のA以外の数字を足すと、4＋5＋6＋3＋2＝20です。 2. したがって、各位の数字の和は20＋Aになります。 3. Aは0から9までの1桁なので、20＋Aは20から29までです。この間にある9の倍数は27だけです。 4. 20＋A＝27となるので、A＝7です。
本番の書き方
4＋5＋6＋3＋2＝20
20＋A＝27
A＝7
答え：7
検算：A＝7を代入すると、4＋5＋6＋7＋3＋2＝27です。27は9の倍数なので456732も9の倍数となり、公式解答と一致します。
よくあるミス：456A32そのものを9で割ろうとすること。また、Aを2桁の数として扱わず、0から9までに限ります。
次に見抜く印：「□に数字を入れて9の倍数にする」とあれば、すぐに各位の数字の和を作ります。
2022年度｜問14｜公式PDF p.5 未着手
速さから30kmを走る時間
速さ → 道のり・時間・速さの関係を使う → 速さが一定なら、距離が何倍になると時間も同じ倍率になります。秒を分秒に直すときは60秒＝1分を使います。
この問題の見方：30kmを30000mに直し、100mの何倍かを見ます。30000÷100＝300なので、時間も9.5秒の300倍です。
使う工夫：速さを求め直さず、距離の倍率を使います。9.5×300は（10−0.5）×300＝3000−150と分配法則で計算します。
段階ヒント
ヒント1：30kmをmに直し、100mが何個分あるかを求めましょう。
ヒント2：かかる時間は9.5×300秒です。9.5を10−0.5と考えると整数計算にできます。
完全解説
1. 30km＝30000mです。 2. 30000÷100＝300なので、30kmは100mの300倍です。同じ速さなら時間も300倍になります。 3. 9.5×300＝（10−0.5）×300＝3000−150＝2850秒です。 4. 2850÷60＝47余り30なので、2850秒は47分30秒です。
本番の書き方
30km＝30000m、30000÷100＝300
9.5×300＝2850秒
2850秒＝47分30秒
答え：47分30秒
検算：47分30秒＝47×60＋30＝2850秒です。2850÷9.5＝300より100mを300回分、つまり30000m走ったことになり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：30kmを3000mとすることや、2850秒を28分50秒と読むこと。時間は10進法ではなく、60秒で1分です。
次に見抜く印：一定の速さで基準の距離と時間が与えられたら、距離どうしの倍率を先に調べます。
2022年度｜問15｜公式PDF p.5 未着手
鉛筆を配る人数
特殊算 → 配り方による余り・不足の差を使う → 1人あたりの配る数を変えたとき、余りから不足まで動いた本数を、1人あたりの増加分で割ると人数が求められます。
この問題の見方：11本ずつでは44本余り、14本ずつでは13本不足します。1人に3本ずつ増やすことで、全部で44＋13本多く必要になると見ます。
使う工夫：鉛筆の総数を文字で置かず、差を消去します。余り44本から不足13本までの差57本を、1人あたりの差14−11＝3本で割ります。
段階ヒント
ヒント1：11本から14本へ変えると、1人につき何本多く必要になりますか。
ヒント2：全員分で増えた必要本数は、余っていた44本と、さらに足りない13本の合計です。これを1人あたりの増加分で割ります。
完全解説
1. 1人に配る本数は、14−11＝3本増えます。 2. 11本ずつのときは44本残ります。その44本を全部使っても、14本ずつ配るにはさらに13本必要です。 3. したがって、全員分で増えた本数は44＋13＝57本です。 4. 1人につき3本増えたので、生徒数は57÷3＝19人です。
本番の書き方
1人分の差＝14−11＝3本
全体の差＝44＋13＝57本
57÷3＝19人
答え：19人
検算：11×19＋44＝253本です。また、14×19−13＝266−13＝253本となり、同じ鉛筆総数になります。公式解答とも一致します。
よくあるミス：44−13とすること。余り44本を使い切ったうえで、さらに13本不足するため、動いた本数は44＋13です。
次に見抜く印：「少なく配ると余り、多く配ると不足」が出たら、余り＋不足を1人あたりの配布数の差で割ります。
2022年度｜問16｜公式PDF p.5 未着手
立方体を沈めた水の深さ
立体図形 → 水位変化と押しのけた体積 → 物体が完全に水中へ沈むと、その物体の体積と同じだけ水が押しのけられます。水面の上昇量は「押しのけた体積÷水槽の底面積」です。
この問題の見方：立方体は水より重いので完全に沈みます。一辺10cmから体積を求め、底面積400cm²で割れば水面が何cm上がるか分かります。
使う工夫：水槽全体の水量は求めません。立方体の体積だけを底面積で割り、1000÷400は両方を100で割って10÷4とします。
段階ヒント
ヒント1：まず、一辺10cmの立方体が押しのける体積を求めます。
ヒント2：水面の上昇量は、10×10×10÷400cmです。求めた上昇量を元の30cmに足します。
完全解説
1. 立方体の体積は10×10×10＝1000cm³です。 2. 立方体は水より重く完全に沈むため、1000cm³分の場所を水から押しのけます。 3. 水面の上昇量は1000÷400＝10÷4＝2.5cmです。 4. 初めの水深30cmに加えると、30＋2.5＝32.5cmになります。
本番の書き方
立方体＝10×10×10＝1000cm³
上昇＝1000÷400＝2.5cm
30＋2.5＝32.5cm
答え：32.5cm
検算：底面積400cm²の水面が2.5cm上がると、増えた部分は400×2.5＝1000cm³です。立方体の体積と一致し、公式解答とも一致します。
よくあるミス：一辺の10cmをそのまま水位に足すこと。水位の上昇量は、立方体の体積を水槽の底面積に広げた高さです。
次に見抜く印：水槽に物体を完全に沈める問題では、「物体の体積÷底面積」で水位の変化を求めます。
2022年度｜問17｜公式PDF p.6 未着手
1/7の小数第100位
規則性 → 繰り返しの長さと余りで位置を決める → 同じ数字の並びを繰り返す循環小数では、求める位を周期の桁数で割った余りから、周期内の位置を決めます。余り0は周期の最後の数字です。
この問題の見方：1÷7を計算すると0.142857142857…となり、「142857」の6桁が繰り返されます。100を6で割った余りに注目します。
使う工夫：100桁を書きません。6桁を1組として100÷6を行い、余り4から繰り返しの4番目だけを読みます。
段階ヒント
ヒント1：1÷7の小数部分では、何桁の数字が繰り返されるでしょう。
ヒント2：繰り返しは142857の6桁です。100÷6の余りを求め、その余りと同じ番目の数字を見ます。
完全解説
1. 1÷7＝0.142857142857…で、小数部分は142857の6桁周期です。 2. 100÷6＝16余り4なので、6桁の組が16組終わった後の4番目が小数第100位です。 3. 142857を左から数えると、1番目は1、2番目は4、3番目は2、4番目は8です。 4. よって小数第100位の数字は8です。
本番の書き方
1÷7＝0.142857…（6桁周期）
100÷6＝16余り4
周期の4番目＝8
答え：8
検算：第97位から第102位までは周期1組の142857です。その4番目に当たる第100位は8となり、公式解答と一致します。
よくあるミス：商の16を周期内の位置として使うこと。位置を決めるのは余りです。また、余り0なら6番目を選びます。
次に見抜く印：「循環小数の第○位」が出たら、繰り返す数字と周期の長さを見つけ、位の数を周期で割ります。
2022年度｜問18｜公式PDF p.6 未着手
記号◎で表された計算
数の性質 → 定義された演算を読み替える → 新しい記号は、問題文の定義を普通の掛け算へ直してから計算します。この問題のA◎Bは、AをB個掛けた積に、さらにBを掛けたものです。
この問題の見方：例の4◎2＝4×4×2を定義と照合します。□◎5では、同じ分数を5個掛け、その後に5を掛ける形になります。
使う工夫：左右に共通する5を先に消します。残った積1/32を、同じ分数を5個掛けた形1/2×1/2×1/2×1/2×1/2として見抜きます。
段階ヒント
ヒント1：□◎5を、□を5個並べた掛け算と最後の×5に書き直しましょう。
ヒント2：両辺を5で割ると、□を5個掛けた積は1/32です。32を同じ数2の積で表してみましょう。
完全解説
1. 定義より、□◎5＝□×□×□×□×□×5です。 2. これが5/32なので、両方を5で割ると、□を5個掛けた積は1/32です。 3. 32＝2×2×2×2×2ですから、1/32＝1/2×1/2×1/2×1/2×1/2です。 4. したがって、□に入る分数は1/2です。
本番の書き方
□×□×□×□×□×5＝5/32
□を5個掛けた積＝1/32
1/32＝（1/2）を5個掛けた積 → □＝1/2
答え：1/2
検算：1/2を5個掛けると1/32で、さらに5を掛けると5/32になります。問題の右辺および公式解答と一致します。
よくあるミス：A◎BをA×BやA×B×Bと考えること。Aを掛ける個数がB個であり、その後にもう一度Bを掛けます。
次に見抜く印：見慣れない記号と具体例が出たら、例を普通の式に直し、「何を何個掛ける計算か」を確認します。
2022年度｜問19｜公式PDF p.6 未着手
割引販売と仕入れ値
割合・比 → 原価・定価・利益・購入個数の関係 → 値引き率は定価を基準にし、利益率は仕入れ値を基準にします。基準が違う割合を直接足し引きせず、まず実際の売値へ直します。
この問題の見方：15％引きの売値は定価1500円の85％です。一方、その売値は仕入れ値に25％の利益を加えた125％に当たります。
使う工夫：百分率を85％＝17/20、125％＝5/4に直し、先に約分します。売値を求めた後、その4/5が仕入れ値です。
段階ヒント
ヒント1：1500円の15％引きは、1500円の何％で売ることになるでしょう。
ヒント2：売値は1500×17/20円です。また、売値は仕入れ値の5/4なので、仕入れ値は売値に4/5を掛けます。
完全解説
1. 15％引きなので、売値は定価の100−15＝85％です。 2. 1500×85/100＝1500×17/20＝1275円が実際の売値です。 3. 利益は仕入れ値の25％だから、売値は仕入れ値の125％＝5/4倍です。 4. したがって仕入れ値は1275×4/5＝255×4＝1020円です。
本番の書き方
売値＝1500×85/100＝1275円
売値＝仕入れ値×5/4
仕入れ値＝1275×4/5＝1020円
答え：1020円
検算：1020円の25％は255円で、1020＋255＝1275円です。また、1500円の15％引きも1275円なので両側から一致し、公式解答とも一致します。
よくあるミス：1500円から25％を引いて仕入れ値を出すこと。25％の基準は定価1500円ではなく、求める仕入れ値です。
次に見抜く印：定価からの値引きと仕入れ値からの利益が同時に出たら、共通する実際の売値を橋渡しにします。
2022年度｜問20｜公式PDF p.6 未着手
図形を回転してできる立体の体積
立体図形 → 回転軸から半径と立体の形を決める → 回転軸に接する長方形を1回転すると円柱になります。回転軸から離れた長方形は、外側の円柱から内側の円柱を引いた中空円柱になります。
この問題の見方：1マス1cmとして図を数えます。縦の部分は軸から半径2cmで高さ12cm、上と中央の横の部分はそれぞれ高さ2cmで、半径2cmから6cmまで伸びています。
使う工夫：F字形を重ならない3部分に分けます。縦部分を半径2cmの円柱、右へ伸びる2本を外半径6cm・内半径2cmの中空円柱として、3.14を最後にまとめて掛けます。
段階ヒント
ヒント1：縦の長方形と、そこから右へ出た上・中央の2本に分けて、各部分の高さと軸からの距離を数えましょう。
ヒント2：体積は、3.14×｛2²×12＋（6²−2²）×2×2｝と表せます。最後の×2は同じ横部分が2本あることを表します。
完全解説
1. 縦部分は半径2cm、高さ12cmの円柱になり、体積は3.14×2²×12です。 2. 上の横部分は高さ2cmで、軸から2cm〜6cmの範囲を回るため、3.14×（6²−2²）×2です。 3. 中央にも同じ横部分がもう1本あります。 4. 3.14×｛4×12＋（36−4）×2×2｝＝3.14×（48＋128）＝3.14×176です。 5. よって体積は552.64cm³です。
本番の書き方
縦＝3.14×2²×12
横2本＝3.14×（6²−2²）×2×2
合計＝3.14×176＝552.64cm³
答え：552.64cm³
検算：3.14を除いた値は、縦48、上の横64、中央の横64で、48＋64＋64＝176です。176×3.14＝552.64cm³となり、公式解答と一致します。
よくあるミス：半径6cmの円柱を2本足して、縦部分を二重に数えること。横部分は外側の円柱から半径2cmの内側を引く必要があります。
次に見抜く印：回転軸の片側にF字形などの段がある図は、軸に接する円柱と、軸から離れた中空円柱に分けます。
2022年度｜問21｜公式PDF p.7 未着手
池の周りを歩く姉妹の速さ
速さ → 円周上の出会い・追いつきを考える → 反対方向に進んで出会うときは2人の速さの和、同じ方向に進んで追いつくときは速さの差を使います。周回では、出会うまで・1周差がつくまでに2人が進んだ道のりを1周分として考えます。
この問題の見方：池1周1800m、反対方向では12分、同じ方向では60分という2条件に注目します。前者から速さの和、後者から姉と妹の速さの差が出せます。
使う工夫：和と差を求めてから、妹の速さを「（和−差）÷2」で出します。姉・妹それぞれの速さを別々に仮定する必要はありません。
段階ヒント
ヒント1：反対方向では、12分間に2人が進んだ道のりの合計が池1周分になります。
ヒント2：1800÷12で速さの和、1800÷60で姉と妹の速さの差を求めます。妹は遅い方なので、和から差を引いて2等分します。
完全解説
1. 反対方向では、2人が合わせて1周の1800mを12分で進むので、速さの和は1800÷12＝150m/分です。 2. 同じ方向では、60分後に姉が妹より1800m多く進むので、速さの差は1800÷60＝30m/分です。 3. 「和150−差30」をすると妹2人分の速さになります。 4. 妹の速さは（150−30）÷2＝60m/分、つまり分速60mです。
本番の書き方
和：1800÷12＝150
差：1800÷60＝30
妹：（150−30）÷2＝60m/分
答え：分速60m
検算：姉は150−60＝90m/分です。反対方向では（90＋60）×12＝1800m、同じ方向では（90−60）×60＝1800mとなり、両方の条件を満たします。
よくあるミス：同じ方向のときにも速さを足すこと、または（和＋差）÷2として速い姉の速さを答えることです。
次に見抜く印：「反対方向に出会う」と「同じ方向に1周差で追いつく」が同時に出たら、1周の長さから速さの和と差を作る問題です。
2022年度｜問22｜公式PDF p.7 未着手
3でも5でも割り切れない整数の個数
数の性質 → 範囲内の倍数を数え重複を除く → 「どちらでも割り切れない」は、全体から「少なくとも一方で割り切れる数」を引くと数えやすくなります。3と5の両方で割り切れる15の倍数は、重なりを1回戻します。
この問題の見方：1から100までの100個全体から、3の倍数と5の倍数を除くと見ます。3と5の最小公倍数が15であることも確認します。
使う工夫：全体から引く方法を使い、「3の倍数＋5の倍数−15の倍数」で除く個数を求めます。条件に合う数を1個ずつ並べるより短く、数え落としも防げます。
段階ヒント
ヒント1：100以下の3の倍数、5の倍数、15の倍数がそれぞれ何個あるかを求めます。
ヒント2：3または5で割り切れる個数は「3の倍数の個数＋5の倍数の個数−両方の倍数の個数」です。これを100個から引きます。
完全解説
1. 3の倍数は3から99までで、100÷3の整数部分より33個です。 2. 5の倍数は5から100までで、100÷5＝20個です。 3. 15の倍数6個は前の2つで二重に数えたので、3または5で割り切れる数は33＋20−6＝47個です。 4. どちらでも割り切れない数は、全体から引いて100−47＝53個です。
本番の書き方
3の倍数33個、5の倍数20個、15の倍数6個
33＋20−6＝47
100−47＝53個
答え：53個
検算：別の数え方では、1〜15に条件を満たす数が8個あります。1〜90の6組で48個、91〜100では91・92・94・97・98の5個なので、48＋5＝53個です。
よくあるミス：33＋20＝53をそのまま除く個数にすることです。15の倍数を二重に数えているため、6個を引く必要があります。
次に見抜く印：「AでもBでも割り切れない」とあれば、全体からAまたはBの倍数を引き、最小公倍数の重なりを調整します。
2022年度｜問23｜公式PDF p.7 未着手
分数を逆数にする操作
数の性質 → 整数になる分数・約分前の分数を求める → この操作では分子と分母を入れ替え、仮分数になったら帯分数に直します。その後は整数部分を除いた分数部分に同じ操作を繰り返します。
この問題の見方：例の「3/8→8/3＝2と2/3」の次が2/3になっている点を見ます。単に逆数を往復するのではなく、帯分数の整数部分を外して続ける規則です。
使う工夫：毎回、「逆数にする→帯分数に直す→分数部分だけ残す」の3動作を書きます。途中を省かないことで、元の分数へ戻るという読み違いを防ぎます。
段階ヒント
ヒント1：まず7/20の分子と分母を入れ替えます。20/7は帯分数に直してください。
ヒント2：20/7＝2と6/7です。例と同じく、次に操作するのは整数部分2ではなく、分数部分6/7です。
完全解説
1. 7/20の分子と分母を入れ替えると20/7です。 2. 20/7＝2と6/7なので、次は分数部分6/7だけを使います。 3. 6/7を入れ替えると7/6＝1と1/6となり、次は1/6です。 4. 1/6を入れ替えると6/1＝6です。整数が出たので操作は終わり、最終的な整数は6です。
本番の書き方
7/20→20/7＝2と6/7
6/7→7/6＝1と1/6
1/6→6
答え：6
検算：例と同じ規則になっているかを逆に確認します。6の直前は1/6、その直前は7/6の分数部分、その直前は20/7の分数部分なので、最初の7/20まで正しく戻れます。
よくあるミス：20/7の次を再び7/20としてしまうことです。帯分数に直した後は、整数部分を除き、分数部分だけに操作を続けます。
次に見抜く印：例の途中に帯分数と二重矢印があり、次の段で整数部分が消えていたら、「逆数→分数部分」の繰り返しです。
2022年度｜問24｜公式PDF p.8 未着手
約分前の分数
数の性質 → 整数になる分数・約分前の分数を求める → 約分して7/26になる分数の分子と分母は、7と26に同じ整数をかけた数です。分子と分母の和も、7＋26＝33にその整数をかけたものになります。
この問題の見方：約分後が7/26、約分前の分子と分母の和が495です。まず7＋26＝33を作り、495が33の何倍かを調べます。
使う工夫：分子と分母を別々に考えず、比7：26の合計33を1組として倍率を求めます。文字を置かなくても「495÷33」で共通倍率が出せます。
段階ヒント
ヒント1：約分前の分子と分母の比は7：26です。比の合計はいくつでしょう。
ヒント2：比の合計33が実際の和495に当たります。495÷33で1あたりの倍率を求め、それを7と26の両方にかけます。
完全解説
1. 約分後の分子と分母の比は7：26なので、比の合計は7＋26＝33です。 2. 実際の分子と分母の和495は、この33の何倍かを調べます。 3. 495÷33＝15より、約分前は7と26をともに15倍した数です。 4. 分子は7×15＝105、分母は26×15＝390なので、求める分数は105/390です。
本番の書き方
7＋26＝33
495÷33＝15
7×15＝105、26×15＝390
105/390
答え：105/390
検算：105＋390＝495です。また、105と390をともに15で割ると7と26になり、105/390を約分すると7/26になります。
よくあるミス：495を7や26で直接割ること、または分子と分母に異なる倍率をかけることです。約分の前後では両方に同じ数がかかります。
次に見抜く印：「約分するとある分数」「分子と分母の和」が与えられたら、約分後の分子と分母の合計を1組として共通倍率を求めます。
2022年度｜問25｜公式PDF p.8 未着手
平均点から個人の得点を求める
特殊算 → 平均×個数で合計と差を求める → 平均点に人数をかけると全員の合計点になります。人数が1人増えた前後の合計点の差が、新しく加わった人の得点です。
この問題の見方：5人で平均76点、Aさんを加えた6人で平均78点です。「平均の差2点」ではなく、5人分と6人分の合計点を比べます。
使う工夫：基本は2つの合計の差です。計算では6×78−5×76を、分配法則で「76＋6×2」と見ると、2つの大きなかけ算をせずに求められます。
段階ヒント
ヒント1：最初の5人の合計は76×5、Aさんを含む6人の合計は78×6です。
ヒント2：Aさんの得点は「6人の合計−最初の5人の合計」です。78＝76＋2と見れば、差を短く計算できます。
完全解説
1. 最初の5人の合計点は76×5＝380点です。 2. Aさんを含む6人の合計点は78×6＝468点です。 3. この2つの集団の違いはAさん1人だけなので、合計の差がAさんの得点です。 4. 468−380＝88点です。短く計算するなら、78×6−76×5＝76＋2×6＝88とできます。
本番の書き方
5人合計：76×5＝380
6人合計：78×6＝468
Aさん：468−380＝88点
答え：88点
検算：最初の合計380点にAさんの88点を足すと468点です。468÷6＝78点となり、問題の6人の平均に戻ります。
よくあるミス：平均の上昇分78−76＝2点をAさんの得点とすることです。2点の上昇は6人全体の合計では12点分になります。
次に見抜く印：「あとから1人加わって平均が変わる」とあれば、追加前後の「平均×人数」を作り、その差を取ります。
2022年度｜問26｜公式PDF p.8 未着手
食塩水から水を蒸発させる
割合・比 → 蒸発で食塩量が変わらないことを使う → 水だけを蒸発させると、食塩の重さは変わりません。先に食塩の合計量を求め、「食塩量÷濃度」で蒸発後の食塩水全体の重さを逆算します。
この問題の見方：3％の400gと5％の200gから食塩の量を別々に出します。その後は「水だけが蒸発し、食塩は残る」という条件に注目します。
使う工夫：濃度を分数にし、400×3/100、200×5/100は先に100と約分します。食塩22gを基準に8％の全体量を求め、最初の600gとの差を取ります。
段階ヒント
ヒント1：400gの3％と200gの5％を求めて足すと、蒸発前後で変わらない食塩の重さになります。
ヒント2：蒸発後も残る食塩が全体の8％です。「食塩の重さ÷8/100」で蒸発後の食塩水の重さを求め、最初の合計と比べます。
完全解説
1. 3％の食塩水400gに含まれる食塩は400×3/100＝12gです。 2. 5％の食塩水200gには200×5/100＝10gあり、食塩は合計22gです。 3. 蒸発後も食塩22gは残り、これが全体の8％なので、食塩水は22÷8/100＝275gです。 4. 最初は400＋200＝600gですから、蒸発した水は600−275＝325gです。
本番の書き方
食塩：400×3/100＋200×5/100＝22g
蒸発後：22÷8/100＝275g
蒸発した水：600−275＝325g
答え：325g
検算：600−325＝275gが残ります。275×8/100＝22gで、最初に含まれていた食塩12＋10＝22gと一致するため、食塩は失われていません。
よくあるミス：3％と5％をそのまま足すこと、または食塩も水と一緒に蒸発すると考えることです。濃度が変わっても食塩量は22gのままです。
次に見抜く印：食塩水で「水を蒸発」「水を加える」とあれば、変化しない食塩の重さを先に固定します。
2022年度｜問27｜公式PDF p.8 未着手
三角形の面積比
平面図形 → 同じ高さの三角形の面積比は底辺比 → 高さが同じ三角形の面積比は底辺の比と同じです。この図では中間の三角形ABEを使うと、BE：BCとBD：BAを順に面積比へ直せます。
この問題の見方：Dは辺AB上、Eは辺BC上にあり、AD：DB＝1：3、BE：EC＝3：2です。三角形BDEと全体を直接比べず、間に三角形ABEを置きます。
使う工夫：三角形ABC→三角形ABEでは底辺BE/BC、三角形ABE→三角形BDEでは底辺BD/BAを使います。同じ高さの面積比を2回かける定石です。
段階ヒント
ヒント1：BE：EC＝3：2からBE：BCを、AD：DB＝1：3からBD：BAを求めます。
ヒント2：まず三角形ABEは三角形ABCのBE/BC、次に三角形BDEは三角形ABEのBD/BAです。この2つの割合を順にかけます。
完全解説
1. BE：EC＝3：2なので、BE：BC＝3：（3＋2）＝3：5です。同じ高さをもつ三角形ABEは、三角形ABCの3/5で、100×3/5＝60cm²です。 2. AD：DB＝1：3なので、BD：BA＝3：（1＋3）＝3：4です。 3. 三角形BDEと三角形BAEは、Eから直線ABへの高さが同じなので、面積比はBD：BA＝3：4です。 4. よって三角形BDEは60×3/4＝45cm²です。
本番の書き方
BE/BC＝3/5、BD/BA＝3/4
100×3/5＝60
60×3/4＝45cm²
答え：45cm²
検算：三角形ABEは60cm²で、そのうち三角形BDEが45cm²、三角形ADEが15cm²です。残る三角形AECは40cm²なので、45＋15＋40＝100cm²となります。
よくあるミス：AD：DB＝1：3をBD：BA＝1：3と読むことです。BAは1＋3＝4つ分なので、BD：BA＝3：4です。
次に見抜く印：大きな三角形の同じ頂点から伸びる2辺上に点があり、小三角形の面積を求めるときは、中間の三角形を作って同じ高さの比を2回使います。
2022年度｜問28｜公式PDF p.9 未着手
うるう年を含む曜日計算
規則性 → 7日周期とうるう年を数える → 平年365日は7で割ると余り1なので、翌年の同じ日付は曜日が1つ進みます。うるう年を含む1年間が366日なら、曜日は2つ進みます。
この問題の見方：2022年2月1日から2025年2月1日までを、1年ずつ3区間に分けます。2024年2月29日がどの区間に含まれるかを確認します。
使う工夫：365や366をそのまま合計せず、7で割った余りの1・1・2だけを足します。合計の曜日のずれを7未満で扱うのが最短です。
段階ヒント
ヒント1：2022年2月1日→2023年2月1日、2023年→2024年、2024年→2025年の3区間に分けます。
ヒント2：最初の2区間は365日ですが、最後の区間には2024年2月29日が入ります。それぞれを7で割った余りだけ足します。
完全解説
1. 2022年2月1日から2023年2月1日までは365日なので、曜日は1つ進みます。 2. 2023年から2024年も、この区間には2月29日がまだ入らないため1つ進みます。 3. 2024年2月1日から2025年2月1日までは2月29日を含む366日なので2つ進みます。 4. 合計は1＋1＋2＝4つです。火曜日から4つ進めると土曜日です。
本番の書き方
曜日のずれ：1＋1＋2＝4
火→水→木→金→土
答え：土曜日
答え：土曜日
検算：全日数は365＋365＋366＝1096日です。1096÷7＝156余り4なので、火曜日から4日後の土曜日となります。
よくあるミス：2024年がうるう年だから、2023年2月1日から2024年2月1日の区間を366日とすることです。2月29日は2024年2月1日より後にあります。
次に見抜く印：数年後の同じ月日の曜日を問われたら、平年は＋1、途中に2月29日を含む1年間は＋2として進めます。
2022年度｜問29｜公式PDF p.9 未着手
出発時刻の差
速さ → 道のり・時間・速さの関係を使う → 所要時間は「道のり÷速さ」です。同じ時刻に到着する場合、所要時間が長い人ほどその差だけ早く出発しています。
この問題の見方：友子さんは900mを分速60m、町子さんの道のりはその2.5倍で分速125mです。まず2人の所要時間を分でそろえます。
使う工夫：町子さんの計算では2.5＝5/2として、900×5÷2÷125を先に約分します。到着時刻12時を直接計算せず、所要時間の差だけを求めれば十分です。
段階ヒント
ヒント1：友子さんの所要時間は900÷60です。町子さんの道のりは900×2.5mです。
ヒント2：町子さんの所要時間は「900×2.5÷125」です。2人は同時到着なので、所要時間の差が出発時刻の差になります。
完全解説
1. 友子さんは900÷60＝15分かかります。 2. 町子さんの家からカフェまでは900×2.5＝2250mです。 3. 町子さんの所要時間は2250÷125＝18分です。ここは900×5÷2÷125とし、125と500を先にまとめても18分になります。 4. 同じ12時に着くため、18分かかる町子さんは15分かかる友子さんより18−15＝3分早く家を出ました。
本番の書き方
友子：900÷60＝15分
町子：900×2.5÷125＝18分
18−15＝3分早い
答え：3分
検算：友子さんは11時45分に出て15分後、町子さんは11時42分に出て18分後に着きます。どちらも12時到着で、出発時刻の差は3分です。
よくあるミス：町子さんの道のりを900÷2.5とすること、または速い町子さんは必ず遅く出ると思い込むことです。道のりも長いので所要時間を計算して比べます。
次に見抜く印：「同時に到着」「何分早く出たか」とあれば、各人の道のり÷速さを求め、その所要時間の差を取ります。
2022年度｜問30｜公式PDF p.9 未着手
果物と袋の値段
特殊算 → 同じ量をそろえて差をとる → 同じ品物を含む2つの合計を引くと、共通する品物の代金が消えます。この問題では条件を順に引き、りんご、みかん、袋の順で1つずつ求められます。
この問題の見方：最初の2条件は、みかん1個と袋が共通で、りんごだけが1個違います。次に「みかん1個＋袋」と「みかん2個＋袋」を比べられます。
使う工夫：文字を3つ置かず、共通部分を差で消去します。まず250−170でりんご1個、次に170円からりんご代を引き、最後に160円との差からみかん1個を出します。
段階ヒント
ヒント1：「りんご2個＋みかん1個＋袋」と「りんご1個＋みかん1個＋袋」の違いは、りんご1個だけです。
ヒント2：りんご1個分を170円から引くと「みかん1個＋袋」が残ります。これを「みかん2個＋袋」の160円と比べます。
完全解説
1. 最初の250円と次の170円では、みかん1個と袋が共通です。差250−170＝80円が、りんご1個の値段です。 2. 170−80＝90円なので、みかん1個と袋の合計は90円です。 3. みかん2個と袋は160円です。ここから「みかん1個と袋」の90円を引くと、みかん1個は160−90＝70円です。 4. 袋は90−70＝20円です。
本番の書き方
りんご：250−170＝80円
みかん＋袋：170−80＝90円
みかん：160−90＝70円
袋：90−70＝20円
答え：20円
検算：りんご80円、みかん70円、袋20円を代入すると、80×2＋70＋20＝250円、80＋70＋20＝170円、70×2＋20＝160円となり、3条件すべてに一致します。
よくあるミス：250−170を袋の値段と考えることです。2条件で個数が変わっているのはりんごだけなので、この差はりんご1個分です。
次に見抜く印：同じ品物を含む複数の買い物条件が並んだら、個数が1つだけ違う2条件を探し、共通部分を引き算で消します。
2022年度｜問31｜公式PDF p.9 未着手
長方形内の斜線部分の面積
平面図形 → 底辺比・高さ比から面積や辺の比を求める → 同じ直線上に底辺をもつ三角形は、高さが同じなら面積比が底辺の比になる。長方形の対角線上の交点の位置を、相似や比例で求める。
この問題の見方：斜線部分を、AEとAFが対角線BDで切り取る三角形APQと見る。BE:EC=2:1、FがCDの中点であることに注目する。
使う工夫：P=AEとBDの交点、Q=AFとBDの交点とする。BD上でBからの割合を考えると、Pは2/5、Qは2/3の位置にあるので、PQ:BDを直接求める。
段階ヒント
ヒント1：BD上の点は、Bからの距離の割合と、横・縦の割合が同じになる。
ヒント2：Pの割合をtとするとAE上では高さの割合が1−3t/2、QではAF上の高さの割合が1−t/2になる。
完全解説
P、QをそれぞれAE、AFとBDの交点とする。BD上でBからPまでの割合をtとすると、AE上の同じ横位置の高さは1−3t/2なので、t=1−3t/2よりt=2/5となる。同様に、QではAF上の高さが1−t/2だから、t=1−t/2よりBQ:BD=2:3、つまりBQ/BD=2/3である。したがってPQ/BD=2/3−2/5=4/15。三角形APQとABDはBD上の底辺をもち高さが同じなので面積比は4:15。三角形ABDは長方形の半分だから、斜線部分は長方形の4/15×1/2=2/15となる。
本番の書き方
P: BP/BD=2/5、Q: BQ/BD=2/3
PQ/BD=2/3−2/5=4/15
△APQ/△ABD=4/15、△ABD=長方形の1/2
斜線部分=4/15×1/2=2/15
答え：2/15倍
検算：PとQはBD上でPがB寄り、QがD寄りなので2/5<2/3となり、順序も正しい。斜線部分は長方形の半分より小さく、2/15という大きさも図と合う。
よくあるミス：EをBCの中点と読み違えたり、FをCDの端点としたりしない。また、三角形ABDが長方形の半分であることを忘れて4/15をそのまま答えない。
次に見抜く印：長方形内の複数の線分が対角線と交わり、斜線三角形の面積割合を求める問題は、交点の位置比を出してから同じ高さの三角形の面積比に変える。
2022年度｜問32｜公式PDF p.10 未着手
余りが決まる整数
数の性質 → 倍数判定・余りの条件を整理する → 12で割った余りが10の整数は、10から12ずつ増える。そこから15で割った余りも順に調べ、同じ状態が繰り返す間隔を見つける。
この問題の見方：まず10、22、34、46、58、…と12で割ると10余る数を並べ、15で割った余りが13になるものに印をつける。
使う工夫：候補を12ずつ増やすと、15で割った余りは3ずつ減る。5個進むと元の余りに戻るので、条件を満たす数は60ずつ増える。
段階ヒント
ヒント1：候補の最初の数は10で、次は12ずつ増える。
ヒント2：15で割った余りが13になる最初の候補は58で、その次の候補との差は60になる。
完全解説
12で割ると10余る数は、10、22、34、46、58、70、82、…である。それぞれを15で割った余りは、10、7、4、1、13、10、7、…と3ずつ変わる。したがって条件を初めて満たすのは58で、同じ並びが5個ごとに繰り返されるため、次は58+60=118、その次は178、さらに238となる。小さい方から4番目なので238である。
本番の書き方
12で割って10余る数：10,22,34,46,58,…
15の余り：10,7,4,1,13,…
条件を満たす数：58,118,178,238
4番目は238
答え：238
検算：238÷12は19余り10、238÷15は15余り13となる。前の3個は58、118、178なので、238が確かに4番目である。
よくあるミス：12と15の公倍数60だけを答えたり、余り13の数を最初から13としてしまったりしない。
次に見抜く印：2種類の割り算の余りが指定されたら、一方の条件の候補を一定間隔で並べ、もう一方の余りの周期を調べる。
2022年度｜問33｜公式PDF p.10 未着手
数字を選んで3桁の整数を作る
場合の数・論理 → カード・さいころの並べ方を条件で分ける → 同じ数字が複数あるときは、使う数字の種類と個数で場合分けする。同じ数字を入れ替えても別の数にならないことに注意する。
この問題の見方：1、1、1、2、2、3から3個選ぶので、同じ数字を3個、2個、または全部違う場合に分ける。
使う工夫：111型、同じ数字2個型、1・2・3を1個ずつ使う型に分類する。並べ方は、同じ数字をひとまとまりとして数える。
段階ヒント
ヒント1：3個とも同じにできるのは111だけで、222は作れない。
ヒント2：同じ数字2個型は112、113、221、223の4種類で、それぞれ3通りずつ並べられる。
完全解説
3個とも同じ数字にする場合は、1が3個あるので111の1通りである。同じ数字を2個使う場合は、112、113、221、223の4種類。それぞれ、同じ数字の位置を選ぶ3通りがあるので4×3=12通りとなる。1、2、3を1個ずつ使う場合は、百の位、十の位、一の位への並べ方が3×2×1=6通り。したがって、全部で1+12+6=19通りである。
本番の書き方
111型：1通り
同じ2個：4種類×3通り=12通り
123型：3×2×1=6通り
合計1+12+6=19通り
答え：19通り
検算：場合分けは「同じ3個・同じ2個・全部違う」で重なりも漏れもない。合計は1+12+6=19通りとなる。
よくあるミス：2が2個しかないのに222を数えたり、同じ1を別々の数字として区別して重複計上したりしない。
次に見抜く印：同じ数字を含むカードや数字から何個か選んで並べる問題は、まず数字の重なり方で分類する。
2022年度｜問34｜公式PDF p.10 未着手
ニワトリの数と卵の数
割合・比 → 1単位あたりの量から全体を求める → 一定の割合で卵を産むなら、「ニワトリの羽数×日数」を仕事量の単位として考えられる。必要な羽数日を求めてから日数で割る。
この問題の見方：3羽が3日で3個という条件から、卵1個に必要な羽数と日数の組合せを作る。
使う工夫：3羽×3日=9羽日で3個だから、1個あたり3羽日。8個に必要な24羽日を6日で分ける。
段階ヒント
ヒント1：3羽が3日働くと、3×3=9羽日になる。
ヒント2：卵8個には、1個あたり3羽日を8倍した羽数日が必要。
完全解説
3羽のニワトリが3日で3個産むので、使った仕事量は3×3=9羽日である。これで卵3個だから、卵1個には9÷3=3羽日が必要となる。卵8個には3×8=24羽日が必要である。6日で産むには、24羽日を6日で分ければよいので、24÷6=4羽となる。
本番の書き方
3羽×3日÷3個=1個あたり3羽日
3羽日×8個=24羽日
24羽日÷6日=4羽
答え：4羽
検算：4羽が6日働くと4×6=24羽日、24÷3=8個となり、条件の卵8個に戻る。
よくあるミス：3羽が3日で3個だから、1羽が1日で1個と早合点しない。実際は1個に3羽日必要である。
次に見抜く印：人数・羽数と日数が増減し、生産量が一定割合で変わる問題は、人数×時間をそろえる。
2022年度｜問35｜公式PDF p.10 未着手
円柱の高さの比
立体図形 → 底面積比×高さ比で体積を比べる → 円柱の体積は底面積×高さで、底面積は半径の2乗に比例する。体積が同じなら、底面積と高さは逆の比になる。
この問題の見方：半径4cmと2cmを比べ、底面積が何倍になるかを先に考える。
使う工夫：半径の比4:2=2:1から底面積の比を4:1とし、同じ体積なので高さの比を逆にする。
段階ヒント
ヒント1：円の面積では半径を2倍にすると面積は4倍になる。
ヒント2：円柱Aの底面積はBの4倍なので、同じ体積ならAの高さはBの1/4。
完全解説
円柱AとBの体積は、底面積×高さである。半径はAが4cm、Bが2cmなので、底面積の比は4²:2²=16:4=4:1となる。体積が等しいため、Aは底面が4倍なら高さは1/4でなければならない。したがって高さA:高さB=1:4である。
本番の書き方
底面積A:B=4²:2²=4:1
体積が同じなので高さは逆比
高さA:高さB=1:4
答え：1:4
検算：Aの底面積を4、Bを1とすると、Aの高さ1、Bの高さ4で、どちらも体積の積が4になる。
よくあるミス：半径の比2:1をそのまま高さの比にしたり、円の面積を半径に比例させたりしない。
次に見抜く印：円柱の体積が等しく、半径や直径が示されている問題は、まず半径の2乗で底面積を比べる。
2022年度｜問36｜公式PDF p.11 未着手
往復の平均の速さ
速さ → 全道のり÷全時間で平均する → 平均の速さは、全体の道のりを全体の時間で割る。往復のように同じ距離を異なる速さで進む場合、速さを単純平均しない。
この問題の見方：片道の距離を、4と6の最小公倍数に近い12kmと仮定すると、時間を整数で計算できる。
使う工夫：片道12kmなら行きは3時間、帰りは2時間。往復24kmを合計5時間で進んだとして平均を求める。
段階ヒント
ヒント1：片道の距離は何kmにしても平均の速さは変わらない。
ヒント2：12kmを時速4kmで進む時間と、時速6kmで進む時間を足す。
完全解説
片道を12kmとして考える。行きは時速4kmなので12÷4=3時間、帰りは時速6kmなので12÷6=2時間かかる。往復の道のりは24km、時間は3+2=5時間だから、平均の速さは24÷5=4.8km/時となる。速さの平均を(4+6)÷2とするのではなく、全体で考えることが大切である。
本番の書き方
片道12kmとする
行き12÷4=3時間、帰り12÷6=2時間
平均=24÷(3+2)=4.8km/時
答え：時速4.8km
検算：4.8km/時で5時間進むと24kmとなり、往復の全道のりと一致する。また4km/時と6km/時の間にある。
よくあるミス：(4+6)÷2=5km/時と単純平均しない。距離が同じでも、速さごとの時間が異なる。
次に見抜く印：同じ距離を異なる速さで往復する問題は、適当な距離を置いて「全距離÷全時間」で求める。
2022年度｜問37｜公式PDF p.11 未着手
本のページ数
特殊算 → 最後の残りから操作を逆向きに戻す → 何日目に全体の何分の何を読んだかは、その日の直前に残っていた量を基準にする。残りの割合から実際のページ数を逆算する。
この問題の見方：3日目の80ページが、2日目に読む前の残りの何分の何かを見る。
使う工夫：2日目に残りの7/11を読んだので、3日目の80ページは残りの4/11。まず1日目終了時の残りを求める。
段階ヒント
ヒント1：2日目の後に残った割合は、1−7/11=4/11。
ヒント2：4/11が80ページなら、11/11は80×11÷4ページ。
完全解説
2日目に読む前の残りを考えると、2日目はその7/11を読み、3日目には4/11が残った。これが80ページなので、1日目の後の残りは80×11÷4=220ページである。1日目は全体の1/4と20ページを読んだから、残りは全体の3/4から20ページを引いた量である。よって全体の3/4は220+20=240ページ、全体は240×4÷3=320ページとなる。
本番の書き方
3日目=4/11、80ページ
1日目後の残り=80×11÷4=220
全体の3/4=220+20=240
全体=240×4÷3=320ページ
答え：320ページ
検算：全体320ページの1/4+20=100ページを1日目に読むと残り220ページ。2日目は140ページ、3日目80ページで合計320ページになる。
よくあるミス：2日目の7/11を本全体の割合と考えない。7/11は、1日目を読んだ後の残りを基準にしている。
次に見抜く印：何日かに分けて「残りの分数」と「固定ページ数」が出る問題は、最後の日の量から前の日の残りを逆算する。
2022年度｜問38｜公式PDF p.11 未着手
3人で仕事をする時間
特殊算 → 全体の仕事量と1日あたりの仕事をそろえる → 仕事全体を1とすると、仕事率は1分あたりの仕事量になる。AB、BC、CAの仕事率を足すと、A・B・C各人の仕事率をちょうど2回ずつ足したことになる。
この問題の見方：90分、110分、99分を時間ではなく、1分あたりの仕事量1/90、1/110、1/99に直す。
使う工夫：3組の仕事率の合計を計算し、それが3人全員の仕事率の2倍であることを利用する。分母の共通化では10・11・9の組合せを意識する。
段階ヒント
ヒント1：1/90+1/110+1/99は、分母990にそろえると計算しやすい。
ヒント2：3組の合計は1/33で、全員の仕事率はその半分になる。
完全解説
仕事全体を1とする。AとBの仕事率は1/90、BとCは1/110、CとAは1/99である。3つを分母990にそろえると、11/990+9/990+10/990=30/990=1/33となる。この合計ではA、B、Cの仕事率がそれぞれ2回ずつ含まれるため、3人全員の仕事率は1/33÷2=1/66である。したがって3人で行えば66分かかる。
本番の書き方
1/90+1/110+1/99
=11/990+9/990+10/990=1/33
全員の率=1/33÷2=1/66
時間=66分
答え：66分
検算：3人の仕事率が1/66なら、2人ずつの率の合計はその2倍の1/33。計算した3組の合計と一致する。
よくあるミス：90、110、99をそのまま足したり、3つの時間を平均したりしない。足すのは仕事率である。
次に見抜く印：2人ずつの完成時間が与えられ、3人全員の時間を求める問題は、まず仕事率に直して「各人が2回ずつ現れる」ことを使う。
2022年度｜問39｜公式PDF p.11 未着手
直角二等辺三角形と90度のおうぎ形
平面図形 → 半径・中心角から面積を求める → 直角二等辺三角形では、斜辺の2乗の半分が直角をはさむ辺の2乗になる。中心角90度のおうぎ形は、半径を使った円の1/4である。
この問題の見方：斜辺20cmの直角二等辺三角形から、直角をはさむ辺の2乗を求める。おうぎ形の半径はその辺と同じである。
使う工夫：辺の長さそのものを求めず、三角形とおうぎ形の両方に必要な「半径の2乗」を先に求める。
段階ヒント
ヒント1：直角をはさむ辺をa cmとすると、a²+a²=20²。
ヒント2：a²=200なので、三角形の面積は200÷2、おうぎ形は200×3.14÷4。
完全解説
直角をはさむ2辺をa cmとすると、直角二等辺三角形の斜辺が20cmなので、a²+a²=20²=400。したがってa²=200である。三角形の面積はa×a÷2=200÷2=100cm²。図のおうぎ形は半径a、中心角90度なので、面積は円の1/4、つまり200×3.14÷4=157cm²。2つを合わせて100+157=257cm²となる。
本番の書き方
a²+a²=20²よりa²=200
三角形=200÷2=100
おうぎ形=200×3.14÷4=157
合計257cm²
答え：257cm²
検算：おうぎ形は円の1/4なので、半径20cmではなく図の半径aを使っている。100+157=257で公式解答と一致する。
よくあるミス：斜辺20cmをおうぎ形の半径にしたり、90度のおうぎ形を半円として計算したりしない。
次に見抜く印：直角二等辺三角形と90度のおうぎ形が接している図では、共通する辺の2乗を先に求めると平方根を出さずに面積を計算できる。
2022年度｜問40｜公式PDF p.12 未着手
ビンに入ったオレンジジュースの重さ
割合・比 → 割合から元の量・残りの量を求める → 全体の重さはビンとジュースの合計である。飲んだ割合と全体の減った割合を同じ分母にそろえると、ビンとジュースの比が直接求められる。
この問題の見方：全体の重さが29/36残ったので、減った割合は7/36。ジュースの2/9を36分の何に直せるかを見る。
使う工夫：2/9=8/36とそろえる。減った重さは全体の7/36であり、ジュースの8/36にあたるため、ジュースと元の全体の比を7:8とする。
段階ヒント
ヒント1：飲んだ後に減った全体の割合は1−29/36=7/36。
ヒント2：ジュースの2/9は8/36なので、減った量が同じことから「元の全体8、ジュース7」と比べられる。
完全解説
飲んだ後の全体は29/36なので、減った重さは元の全体の7/36である。一方、減った重さはジュースの2/9で、これは8/36に等しい。したがって、元の全体を8とするとジュースは7にあたる。ビンは全体の1にあたり、その重さが270gなので、元の全体は270×8=2160g、ジュースは270×7=1890gである。残ったジュースはその7/9だから、1890×7÷9=1470gとなる。
本番の書き方
減少分：1−29/36=7/36
2/9=8/36より、全体:ジュース=8:7
ビン=1にあたるので全体2160g、ジュース1890g
残り=1890×7/9=1470g
答え：1470g
検算：元の全体は2160g、飲んだ後はビン270gと残り1470gで1740g。1740÷2160=29/36となり、条件に戻る。
よくあるミス：29/36を減った割合としたり、飲んだ後のジュースを2/9としたりしない。残りのジュースは7/9である。
次に見抜く印：固定された容器の重さと、飲む前後の全体の割合がある問題は、減少割合と飲んだ割合の分母をそろえて比にする。
2022年度｜問41｜公式PDF p.12 未着手
みかんの分配
場合の数・論理 → 同じ物の分け方を漏れなく数える → 同じ物を、人数分の最低数を配った後に分けると、残りの個数の組合せを数えられます。A・B・Cは別の人なので、配る人数の順序は区別します。
この問題の見方：6個を3人に1個ずつ配ると、残りは3個になる。残り3個をA・B・Cにどう分けるかに注目する。
使う工夫：Aに配る個数を0〜3個に分けて場合分けする。各場合で、残りをBとCに分ける個数を数え、最後に合計する。
段階ヒント
ヒント1：まずAに配る残りのみかんの個数を、0個、1個、2個、3個に分けて考える。
ヒント2：Aが0個のときはBが0〜3個、Aが1個のときはBが0〜2個というように数える。
完全解説
まず3人に1個ずつ配るので、6−3＝3個が残ります。残り3個について、Aが0個ならBは0〜3個の4通り、Aが1個ならBは0〜2個の3通り、Aが2個なら2通り、Aが3個なら1通りです。Cの個数は残りで決まるため、重ねて数えません。したがって、4＋3＋2＋1＝10通りです。
本番の書き方
1個ずつ配る。
残り3個をAで場合分け。
4＋3＋2＋1＝10通り。
答え：10通り
検算：Aの個数ごとの場合数が4、3、2、1で、合計は10。どの分け方も3人全員が1個以上になっていることを確認する。
よくあるミス：みかん1個1個を区別して並べたり、A・B・Cを同じ人のように扱ったりしない。
次に見抜く印：同じ物を複数人に最低1個ずつ配る問題は、先に最低数を配り、残りを人数ごとに場合分けする。
2022年度｜問42｜公式PDF p.12 未着手
電車がすれ違う時間
速さ → 列車の長さと進む距離・相対速度 → 向かい合って進む2つの物体がすれ違うとき、相対速度はそれぞれの速さの和です。完全にすれ違う距離は、2台の長さの合計になります。
この問題の見方：電車は長さ135mが2台、速さは800m/分とその1.25倍。すれ違う距離と速さの和を先に確認する。
使う工夫：電車Bの速さを求め、2台の長さの合計を相対速度で割る。最後に分を秒へ直す。
段階ヒント
ヒント1：すれ違い終わるまでに進む距離は、135mだけではなく2台分になる。
ヒント2：電車Bは800×1.25m/分で、時間は270÷（電車AとBの速さの和）分。
完全解説
電車Bの速さは、800×1.25＝1000m/分です。2台が完全にすれ違うには、電車Aの135mと電車Bの135mを合わせた270m分だけ、2台の間の距離が縮まればよいので、相対速度は800＋1000＝1800m/分です。したがって時間は270÷1800＝0.15分。1分は60秒だから、0.15×60＝9秒です。
本番の書き方
800×1.25＝1000。
135＋135＝270。
270÷（800＋1000）＝0.15分＝9秒。
答え：9秒
検算：1800m/分は1秒あたり30mなので、270m÷30m/秒＝9秒となり、単位も秒で一致する。
よくあるミス：速さの差を使ったり、すれ違う距離を電車1台分の135mだけにしたりしない。
次に見抜く印：向かい合う通過問題は「長さの合計÷速さの和」、同じ向きの追いつきは「距離の差÷速さの差」。
2022年度｜問43｜公式PDF p.12 未着手
立方体の頂点を通る道順
場合の数・論理 → 最短経路・一筆書きの道順を数える → 立方体の頂点を点、辺を線として、指定された頂点を一度ずつ通る経路を数えます。最初の進み方で場合分けし、各場合で重複なく列挙します。
この問題の見方：AからBまで辺だけを進み、A・B以外の6頂点を一度ずつ通る条件を見る。Aから出る辺が3本あることに注目する。
使う工夫：Aから最初に進む3本の辺で場合分けする。立方体の対称性で各場合は同じ数になり、1つの場合を具体的に調べて3倍する。
段階ヒント
ヒント1：Aから出る3本の辺のどれを最初に選ぶかで、まず3通りに分けられる。
ヒント2：最初の1本を固定すると、残りの頂点を一度ずつ通ってBへ行く順序は2通りになる。
完全解説
Aから出る辺は3本なので、最初の進み方で3つの場合に分けます。立方体はどの方向も同じ形なので、1つの方向を調べれば十分です。その方向を選んだ後、同じ頂点を二度通らず、残りの頂点をすべて一度ずつ通ってBに着く並び方は2通りあります。したがって全体は、3×2＝6通りです。
本番の書き方
Aからの最初の辺で3場合。
1場合につき経路は2通り。
3×2＝6通り。
答え：6通り
検算：6本の経路を実際にAから順に書き、各経路が6個の中間頂点を一度ずつ通り、最後にBへ着くことを確認する。
よくあるミス：立体の内部を通る道や、頂点を二度通る道を含めない。また、面の対角線は辺ではない。
次に見抜く印：「頂点を一度ずつ」「辺上を移動」とあれば、立体を頂点と辺のネットワークとして、最初の分岐から列挙する。
2022年度｜問44｜公式PDF p.13 未着手
父と娘の年齢
特殊算 → 変わらない年齢差と年齢の比を使う → 年齢差は何年たっても変わりません。年齢の比が変わるときは、比の1単位を現在と何年後で比べると、方程式を使わずに求められます。
この問題の見方：現在は父が娘の5倍、8年後は3倍。父と娘の年齢差が同じであることを見る。
使う工夫：現在の比5:1と8年後の比3:1で、同じ年齢差を表す部分を比べる。まず現在の年齢を求め、その後に2倍になる時期を差から考える。
段階ヒント
ヒント1：現在の年齢差は、娘の年齢の4つ分。8年後の年齢差は、娘の8年後の年齢の2つ分。
ヒント2：同じ差なので、8年の間に娘の『比の1つ分』がどれだけ増えたかを比べる。
完全解説
現在、娘を1つ分とすると、父は5つ分で、年齢差は4つ分です。8年後は父3つ分、娘1つ分なので、同じ年齢差は2つ分です。したがって、8年後の娘の1つ分は現在の2つ分にあたり、その増えた1つ分が8年です。現在の娘は8歳、父は40歳になります。2倍になるときは、父と娘の差32歳が娘の年齢そのものになるので、娘が32歳となる24年後です。
本番の書き方
現在の差＝4つ分。
8年後の差＝2つ分なので、1つ分は8歳。
娘8歳、差32歳→24年後。
答え：24
検算：現在は娘8歳、父40歳。24年後は娘32歳、父64歳で、64＝32×2。8年後も娘16歳、父48歳で3倍になっている。
よくあるミス：8年後の年齢を現在の年齢の3倍にしたり、父だけに8年を足したりしない。
次に見抜く印：年齢の比と「何年後」が出たら、年齢差が一定であることを使って比の1単位をそろえる。
2022年度｜問45｜公式PDF p.13 未着手
整数の積の種類
数の性質 → 因数・等式の条件から整数を絞る → 異なる4個の整数から2個ずつ選ぶと、積は6個できます。ただし、異なる組合せが同じ積を作ると、積の種類は6種類より少なくなります。
この問題の見方：積が5種類しかないので、6通りの組合せのうち2通りが同じ積になることに注目する。
使う工夫：与えられた積の共通因数を探して4個の整数を組み立て、最後に6通りの積をすべて確認する。
段階ヒント
ヒント1：12と27、48と108の因数のつながりから、元の整数に含まれる因数を探す。
ヒント2：3×4、3×9、4×12、9×12を作る4個の数を考え、残り2組の積が一致するか確認する。
完全解説
積の因数関係を調べると、元の4個の整数は3、4、9、12と考えられます。実際、2個ずつの積は、3×4＝12、3×9＝27、4×9＝36、3×12＝36、4×12＝48、9×12＝108です。6通りの組合せから36が重なっているため、種類は12、27、36、48、108の5種類となり、条件に一致します。大きい順に12、9、4、3なので、2番目は9です。
本番の書き方
元の数を3、4、9、12と確認。
積：12、27、36、36、48、108。
大きい順の2番目は9。
答え：9
検算：6通りの積を書き出すと、指定された5種類がちょうど現れ、36だけが2回現れる。元の数を大きい順に並べても2番目は9。
よくあるミス：「5種類」を「組合せが5通り」と読み、同じ積になる2組を別々の種類として数えない。
次に見抜く印：積の個数より種類が少ないときは、異なる組合せで同じ積になる因数の組を探す。
2022年度｜問46｜公式PDF p.13 未着手
折り紙の面積
平面図形 → 共通部分・重なり・折り返しを整理する → 三角形の面積は、直角をはさむ2辺の積を2で割ります。折った紙を開くと、切り取った部分は折り重なった枚数分だけ現れます。
この問題の見方：元の正方形は1辺5cmで、図2の切り取りは直角二等辺三角形。1cmの辺と、3回折った重なりに注目する。
使う工夫：正方形全体の面積から、1つの小三角形の面積×切り取り数×展開後の枚数を引く。
段階ヒント
ヒント1：正方形の面積は5×5。図2の1cmの表示は、直角をはさむ2辺の長さを表す。
ヒント2：小三角形1個の面積を求め、3個分を折り目を開いた8枚分に戻してから全体から引く。
完全解説
元の正方形の面積は5×5＝25cm²です。図2の小三角形は、直角をはさむ2辺が1cmずつの直角二等辺三角形なので、1個の面積は1×1÷2＝0.5cm²です。折り紙は3回折られているため、切り取った1か所は開くと8か所分になります。3個の切り取り面積は0.5×3×8＝12cm²。したがって残りの面積は25−12＝13cm²です。
本番の書き方
5×5＝25。
1×1÷2＝0.5。
0.5×3×8＝12。
25−12＝13cm²。
答え：13cm²
検算：切り取った面積12cm²は全体25cm²より小さく、残り13cm²。残りと切り取りを足すと25cm²に戻る。
よくあるミス：折った状態で見える3個だけの面積を引き、開いたときに増える8枚分を忘れない。
次に見抜く印：折り紙の切り取りは、切った三角形の面積だけでなく、何枚重なっていたかを数えてから展開する。
2022年度｜問47｜公式PDF p.14 未着手
姉妹の所持金の比
割合・比 → 増減・移動で変わらない差や合計を使う → 比を使った金額は、比の1単位を同じ文字やまとまりで表せます。使った金額を引いた後の比は、残金どうしの関係として立式します。
この問題の見方：姉妹の最初の所持金16:7から、それぞれ200円、100円を使った後に3:1になる条件を見る。
使う工夫：最初の金額を16単位と7単位で表し、姉の残金が妹の残金の3倍になる式を作る。
段階ヒント
ヒント1：姉の残金は「16単位−200円」、妹の残金は「7単位−100円」。
ヒント2：残金の比3:1は、姉の残金が妹の残金の3倍という意味なので、左右をその関係でそろえる。
完全解説
最初の所持金を、姉16単位、妹7単位とします。使った後の姉の残金は16単位−200円、妹の残金は7単位−100円です。残金の比が3:1なので、姉の残金は妹の残金の3倍です。よって、16単位−200＝3×（7単位−100）。整理すると、16単位−200＝21単位−300となり、5単位＝100円、1単位＝20円です。姉の最初の所持金は16×20＝320円です。
本番の書き方
16単位−200＝3×（7単位−100）。
5単位＝100円、1単位＝20円。
16×20＝320円。
答え：320円
検算：姉は320−200＝120円、妹は140−100＝40円。120:40＝3:1で、条件と一致する。
よくあるミス：使った金額を足してしまったり、3:1を姉と妹で逆にしたりしない。
次に見抜く印：最初の比と、一定額を使った後の比が出たら、比の1単位を置き、残金の大小関係を式にする。
2022年度｜問48｜公式PDF p.14 未着手
歩幅と歩く速さ
速さ → 道のり・時間・速さの関係を使う → 歩く速さは「1歩の長さ×一定時間あたりの歩数」です。同じ距離を歩く歩数から歩幅の比を、同じ時間の歩数から歩数の比を求めます。
この問題の見方：友子6歩と三太5歩が同じ距離、また友子7歩の時間に三太10歩という2つの比を分けて見る。
使う工夫：歩幅の比と、同じ時間に進む歩数の比を別々に求め、最後に掛け合わせて速さの比にする。
段階ヒント
ヒント1：同じ距離なら、歩数が少ない三太の1歩の方が長い。歩幅の比は歩数の比を逆にする。
ヒント2：同じ時間の歩数の比は7:10。歩幅の比とそれを掛けて、最後に約分する。
完全解説
友子が6歩、三太が5歩で同じ距離を進むので、1歩の長さの比は友子:三太＝5:6です。次に、友子が7歩進む時間に三太は10歩進むので、同じ時間の歩数の比は7:10です。速さは1歩の長さと1時間あたりの歩数を掛けたものだから、速さの比は5×7:6×10＝35:60です。両方を5で割ると、7:12になります。
本番の書き方
歩幅＝5:6。
同じ時間の歩数＝7:10。
5×7:6×10＝35:60＝7:12。
答え：7:12
検算：友子の速さを35、三太を60と置けば、歩幅5:6と歩数7:10の積になり、最簡整数比が7:12になる。
よくあるミス：同じ距離の歩数6:5をそのまま歩幅の比にしたり、歩数の比だけを答えたりしない。
次に見抜く印：歩く速さの比は、「歩幅の比」と「同じ時間の歩数の比」を掛けて求める。
2022年度｜問49｜公式PDF p.14 未着手
割引後に買える個数
割合・比 → 原価・定価・利益・購入個数の関係 → 使える金額が同じなら、1個の値段が安くなるほど買える個数は増えます。2割引の値段は定価の8割で、購入個数は定価の1.25倍になります。
この問題の見方：2880円で、2割引により24個多く買えた。定価と割引後の個数の差を割合で見る。
使う工夫：2割引で価格が0.8倍になるため、個数は1÷0.8＝1.25倍、つまり定価で買う個数の4分の1だけ増えると考える。
段階ヒント
ヒント1：2割引後の価格は定価の8割なので、同じ金額で買える個数は定価のときより増える。
ヒント2：増えた24個が、定価で買える個数の何分の1にあたるかを考える。
完全解説
2割引では、1個の値段は定価の8割、つまり0.8倍になります。同じ2880円で買える個数は、値段が0.8倍になった分だけ1÷0.8＝1.25倍です。したがって、増えた個数24個は、定価で買える個数の0.25倍、つまり4分の1です。定価で買える個数は24×4＝96個。よって商品の定価は2880÷96＝30円です。
本番の書き方
2割引→価格0.8倍。
個数は1.25倍、増加分は定価個数の1/4。
24×4＝96個、2880÷96＝30円。
答え：30円
検算：定価30円なら2880÷30＝96個。2割引は24円なので120個買え、120−96＝24個で条件と一致する。
よくあるミス：2割引を定価の2割の値段としたり、個数も0.8倍になると考えたりしない。
次に見抜く印：同じ予算で値段が何割か下がり、買える個数の差が出る問題は、価格と個数が逆の関係になる。
2022年度｜問50｜公式PDF p.14 未着手
正八面体の展開図
立体図形 → 平面の図から立体の対応を読む → 展開図は、実際に折り上げたときの面の向きと、向かい合う面を確認して考えます。問題では、向かい合う2面の数の和が9です。
この問題の見方：展開図の面アが、折り上げた正八面体でどの面と向かい合うかを、帯状につながった面の順に追う。
使う工夫：面の辺をつなぎ目として順に折り、アの反対側に来る面を特定する。隣り合う面を反対面と取り違えない。
段階ヒント
ヒント1：正八面体では、1つの面の向かい側にある面は1つだけである。
ヒント2：展開図を折るとき、アから離れた面の向きが裏返り、アの向かいには面4が来る。
完全解説
展開図を、共有している辺を折り目として順に折り上げます。面アの周りにある面は正八面体でアと辺を共有する面になりますが、面4は折り上げたときにアの反対側へ回ります。したがって、アと面4が向かい合う面です。向かい合う面の数の和は9なので、ア＋4＝9。よって、アに入る数は9−4＝5です。
本番の書き方
展開図を折って、アの向かいの面を確認。
向かいは面4。
ア＋4＝9より、ア＝5。
答え：5
検算：アの反対面を4とすると、5＋4＝9。条件の「向かい合う面の和」と一致する。
よくあるミス：展開図で隣り合っている面を、そのまま立体でも向かい合う面だと考えない。
次に見抜く印：多面体の展開図で向かい合う面を問われたら、面のつながりを順に折り、立体上の向きを追う。