2021年度｜問1｜公式PDF p.2 未着手
小数のひき算
計算・単位 → 整数・小数の計算順序と位取り → 小数のひき算は、小数点を縦にそろえ、足りない位に0を補って計算します。整数部分ではなく、同じ位どうしを引くことが大切です。
この問題の見方：30.03は小数第2位まで、12.345は小数第3位まであります。30.03を30.030と書いて、位をそろえます。
使う工夫：小数第3位まで0を補い、整数と同じ筆算にします。答えは30より12を引いた約18になるので、計算後に大きさも確認します。
段階ヒント
ヒント1：30.03の右に0を付けても、数の大きさは変わりません。
ヒント2：30.030−12.345として、小数点を縦にそろえましょう。
完全解説
1. 30.03を30.030と書き、小数第3位までそろえます。2. 小数第3位から順に引き、引けない位では左の位から1を繰り下げます。3. 整数と同じように計算すると、30.030−12.345＝17.685です。4. 30−12は約18なので、17.685という大きさも自然です。
本番の書き方
30.03＝30.030
30.030−12.345＝17.685
答え：17.685
検算：逆算すると17.685＋12.345＝30.030となり、元の30.03に戻ります。
よくあるミス：小数点をそろえず、右端の数字どうしをそろえると位がずれます。30.03を30.3と書き換えるのも誤りです。
次に見抜く印：小数のけた数が違うひき算では、「小数点をそろえる・右に0を補う」が合図です。
2021年度｜問2｜公式PDF p.2 未着手
小数のわり算とたし算
計算・単位 → 整数・小数の計算順序と位取り → 小数で割るときは、割る数と割られる数を同じ倍率で大きくし、割る数を整数にします。割る数だけを動かしてはいけません。
この問題の見方：1.3は10倍すれば13、0.17は100倍すれば17になります。2つのわり算を別々に整数化します。
使う工夫：2.21÷1.3は両方を10倍し、22.1÷0.17は両方を100倍します。それぞれの商を出してから最後に足します。
段階ヒント
ヒント1：割る数の1.3と0.17を、それぞれ整数に直しましょう。
ヒント2：2.21÷1.3＝22.1÷13、22.1÷0.17＝2210÷17として考えます。
完全解説
1. 2.21÷1.3は両方を10倍して22.1÷13とします。13×1.7＝22.1なので、商は1.7です。2. 22.1÷0.17は両方を100倍して2210÷17とします。3. 17×130＝2210なので、こちらの商は130です。4. 最後に2つの商を足し、1.7＋130＝131.7となります。
本番の書き方
2.21÷1.3＝22.1÷13＝1.7
22.1÷0.17＝2210÷17＝130
1.7＋130＝131.7
答え：131.7
検算：1.3×1.7＝2.21、0.17×130＝22.1です。2つの商を元の割る数にかけ、どちらも割られる数へ戻ることを確認できます。
よくあるミス：割る数だけを10倍・100倍すると商が変わります。また、2つのわり算を終える前に足してはいけません。
次に見抜く印：割る数が小数なら、まず「何倍すれば整数になるか」を見て、割られる数も同じ倍率にします。
2021年度｜問3｜公式PDF p.2 未着手
分数と小数の混合計算
計算・単位 → 小数・帯分数を直して先に約分する → 分数と小数が混ざる計算は、小数を分数へ直すとまとめやすくなります。かけ算では、積を出す前に分子と分母を約分します。
この問題の見方：0.125＝1/8、0.75＝3/4、2.4＝12/5に直せます。さらに1/3−1/4も先に計算します。
使う工夫：すべて分数に統一し、かっこの内側から計算します。最後の積では5と5、12と24を先に消し、大きな数を作りません。
段階ヒント
ヒント1：1/3−1/4を求め、0.125＝1/8と足しましょう。
ヒント2：かっこ内は5/24、1−0.75は1/4です。5/24×1/4×12/5を約分してから計算します。
完全解説
1. 0.125＝1/8、1/3−1/4＝1/12なので、最初のかっこは1/8＋1/12＝5/24です。2. 次のかっこは1−0.75＝1−3/4＝1/4です。3. 2.4＝12/5と直すと、全体は5/24×1/4×12/5です。4. 5どうしを消し、12と24を約分すると1/2が残るため、1/2×1/4＝1/8です。
本番の書き方
0.125＋（1/3−1/4）＝1/8＋1/12＝5/24
1−0.75＝1/4、2.4＝12/5
5/24×1/4×12/5＝1/8
答え：1/8
検算：約分前の分子は5×1×12＝60、分母は24×4×5＝480です。60/480を約分しても1/8になります。
よくあるミス：1−0.75を0.75としたり、1/3−1/4を1/1としたりする誤りに注意します。かっこの順番も守ります。
次に見抜く印：分数と0.125・0.25・0.75などが混ざっていたら、分数に統一し、かける前に約分できる印です。
2021年度｜問4｜公式PDF p.2 未着手
計算のくふう
計算・単位 → 共通因数をまとめる分配法則 → 各項を同じ数の倍に直せるときは、共通する数をくくる分配法則が使えます。小数点の位置を調整し、共通因数を見つけます。
この問題の見方：7.7、0.77、77はすべて77をもとに表せます。50や300と組み合わせて、それぞれ77の何倍になるかを見ます。
使う工夫：7.7×50＝77×5、0.77×300＝77×3と直します。共通する77をくくれば、3回のかけ算を1回に減らせます。
段階ヒント
ヒント1：最初の2つの積を、どちらも77を使った形に直しましょう。
ヒント2：式全体は77×5＋77×3−77×2＝77×（5＋3−2）とまとめられます。
完全解説
1. 7.7×50は、7.7を10倍、50を10分の1にしても積が同じなので、77×5です。2. 0.77×300も、0.77を100倍、300を100分の1にして77×3とできます。3. 最後の項はそのまま77×2です。4. したがって77×5＋77×3−77×2＝77×（5＋3−2）＝77×6＝462です。
本番の書き方
7.7×50＝77×5、0.77×300＝77×3
77×（5＋3−2）＝77×6＝462
答え：462
検算：別々に計算すると385＋231−154＝616−154＝462となり、分配法則で求めた結果と一致します。
よくあるミス：0.77×300を77×30とするなど、一方だけ小数点を動かす誤りに注意します。−77×2の符号も保ちます。
次に見抜く印：小数点の位置だけが違う同じ数字が並んでいたら、同じ数の倍に直してくくれないかを見ます。
2021年度｜問5｜公式PDF p.3 未着手
分数の逆算
計算・単位 → □をひとまとまりにして逆の順に戻す → □に数がかけられている式では、まず□以外の部分を計算し、最後にその数で割って逆算します。分数で割るときは逆数をかけます。
この問題の見方：左の4/5＋1/4と、右の1/6÷0.5を先に別々に計算します。0.5は1/2に直すと簡単です。
使う工夫：等号の左右をそれぞれ1つの分数に整理してから逆算します。最後は1/3÷21/20を、逆数のかけ算に直します。
段階ヒント
ヒント1：0.5＝1/2です。まず等号の左右をそれぞれ簡単な分数にしましょう。
ヒント2：左のかっこは21/20、右辺は1/3です。したがって、□は1/3を21/20で割って求めます。
完全解説
1. 左のかっこは4/5＋1/4＝16/20＋5/20＝21/20です。2. 右辺は1/6÷0.5＝1/6÷1/2＝1/6×2＝1/3です。3. したがって、21/20×□＝1/3となります。4. □＝1/3÷21/20＝1/3×20/21です。3と21を約分すると、□＝20/63となります。
本番の書き方
4/5＋1/4＝21/20、1/6÷0.5＝1/3
□＝1/3÷21/20
＝1/3×20/21＝20/63
答え：20/63
検算：20/63を代入すると、21/20×20/63＝21/63＝1/3です。右辺の1/6÷0.5も1/3なので等号が成り立ちます。
よくあるミス：1/3÷21/20で、21/20をそのままかけないようにします。割る分数だけを逆さにして20/21をかけます。
次に見抜く印：「かっこ×□＝右辺」の形では、左右を先に整理し、□＝右辺÷かっこの数と逆算します。
2021年度｜問6｜公式PDF p.3 未着手
長さの単位換算
計算・単位 → 長さ・重さ・体積の単位をそろえる → 長さを足すには、先に単位をそろえます。1m＝100cm、1km＝1000mなので、cmからmへは100で割り、mからkmへは1000で割ります。
この問題の見方：764mと7640cmは単位が違います。答えの欄にはkmが付いているので、まずcmをmへ直して足し、最後にkmへ直します。
使う工夫：7640cm＝76.4mとして、数を小さく保ったまま計算します。最初からすべてcmにすると大きな数になるため、mで足すのが最短です。
段階ヒント
ヒント1：7640cmは何mかを先に求めましょう。
ヒント2：7640÷100＝76.4mです。求める数は（764＋76.4）÷1000で出せます。
完全解説
1. 1m＝100cmなので、7640cm÷100＝76.4mです。2. 単位がmでそろったので、764＋76.4＝840.4mと足せます。3. 答えはkmで求めるため、1km＝1000mを使います。4. 840.4÷1000＝0.8404より、合計は0.8404kmです。
本番の書き方
7640cm＝76.4m
764＋76.4＝840.4m
840.4÷1000＝0.8404km
答え：0.8404km
検算：0.8404kmをmへ戻すと840.4mです。そこから76.4mを引くと764mになり、元の2つの長さと一致します。
よくあるミス：cmからmへ直すときに1000で割ったり、764mと7640cmを単位の違うまま足したりしないようにします。
次に見抜く印：異なる単位の数量を足す問題では、「単位をそろえる→計算する→指定単位へ直す」の順が印です。
2021年度｜問7｜公式PDF p.3 未着手
容器と水の重さ
特殊算 → 同じ量をそろえて差をとる → 同じ容器で中身だけが変わるとき、全体の重さの差は減った中身の重さです。容器の重さは前後で変わらないため、差を取ると消えます。
この問題の見方：930gから790gへ140g軽くなっています。減らしたのは水の半分だけなので、この140gが水全体ではなく「水の半分」です。
使う工夫：2つの重さの差を取り、容器の重さを消します。水の半分から水全体を求め、満水時の930gから引きます。
段階ヒント
ヒント1：930gと790gの差は、何の重さに当たるでしょう。
ヒント2：930−790で水の半分を求め、その2倍を930gから引けば、びんだけの重さになります。
完全解説
1. 最初は「びん＋水全部」で930gです。2. 水を半分減らした後は「びん＋水半分」で790gです。3. 2つの差930−790＝140gは、減らした水半分の重さです。したがって水全部は140×2＝280gです。4. 930−280＝650gより、びんの重さは650gです。
本番の書き方
水の半分＝930−790＝140g
水全部＝140×2＝280g
びん＝930−280＝650g
答え：650g
検算：びん650gに水全部280gを足すと930g、びん650gに水半分140gを足すと790gです。両方の条件を満たします。
よくあるミス：930−790＝140gを水全部の重さとする誤りです。問題では水を「半分減らした」ので、140gは水の半分です。
次に見抜く印：同じ容器で中身を半分にした前後の重さがあれば、差を取って容器を消す問題です。
2021年度｜問8｜公式PDF p.3 未着手
十角形の内角の和
平面図形 → 三角形・多角形の内角と外角 → n角形は、1つの頂点から対角線を引くとn−2個の三角形に分けられます。したがって内角の和は180×（n−2）度です。
この問題の見方：問題は二十角形です。「二十」を「十」と読み違えないようにし、20−2で三角形の個数を求めます。
使う工夫：公式を暗記するだけでなく、1つの頂点から対角線を引いて18個の三角形に分けます。180度を18個分として計算します。
段階ヒント
ヒント1：二十角形の1つの頂点から、となり以外の頂点へ対角線を引いてみましょう。
ヒント2：できる三角形は20−2＝18個です。内角の和は180×18で求められます。
完全解説
1. 二十角形の1つの頂点から、引ける対角線をすべて引きます。2. すると、二十角形の内部は20−2＝18個の三角形に分かれます。3. 三角形1個の内角の和は180度なので、二十角形では180×18です。4. 180×18＝180×（20−2）＝3600−360＝3240度となります。
本番の書き方
三角形の数＝20−2＝18個
内角の和＝180×18
＝3600−360＝3240度
答え：1440度
検算：別の見方では、各頂点の外角の和が360度なので、20×180−360＝3600−360＝3240度となり一致します。
よくあるミス：問題の「二十角形」を十角形と読み違えたり、180×20として三角形20個分を計算したりしないようにします。
次に見抜く印：「何角形の内角の和」と聞かれたら、頂点の数から2を引き、三角形の個数に直すのが印です。
2021年度｜問9｜公式PDF p.4 未着手
7の倍数の個数
数の性質 → 範囲内の倍数を数え重複を除く → ある範囲にある倍数の個数は、最初と最後の倍数を見つけ、その「何倍か」を端を含めて数えます。aからbまでの整数の個数はb−a＋1です。
この問題の見方：3けたは100以上999以下です。100以上で最初の7の倍数と、999以下で最後の7の倍数を探します。
使う工夫：3けたの数を1つずつ調べず、7×何番から7×何番までかに置き換えます。端を両方数えるため、最後に＋1をします。
段階ヒント
ヒント1：7×14＝98は2けたです。その次の7の倍数から3けたになります。
ヒント2：最初は7×15＝105、最後は7×142＝994です。15から142までの整数の個数を求めましょう。
完全解説
1. 7×14＝98は2けたで、7×15＝105が最初の3けたの倍数です。2. 7×142＝994は3けたですが、次の7×143＝1001は4けたです。よって最後は994です。3. 7×15から7×142まであるので、倍率の15から142を数えます。4. 個数は142−15＋1＝128個です。＋1は両端を含めるためです。
本番の書き方
最初：7×15＝105
最後：7×142＝994
142−15＋1＝128個
答え：128個
検算：999以下の7の倍数は142個、99以下の7の倍数は14個です。142−14＝128個となり、端から数えた結果と一致します。
よくあるミス：142−15＝127個として、最初の105を数え落とす誤りです。また、98や1001は3けたに含めません。
次に見抜く印：「○けたの倍数は何個」では、最小と最大の倍数を見つけ、「最後−最初＋1」で数えます。
2021年度｜問10｜公式PDF p.4 未着手
追いつく速さ
速さ → 先行距離を速さの差で縮める → 同じ方向へ進む相手を追うとき、2人の間は速さの差だけ毎分縮まります。追いつく時間は、先にできた距離÷速さの差です。
この問題の見方：妹は分速80mで10分先に出発しています。まず姉が出発した瞬間の先行距離を求め、240−80の速さの差を使います。
使う工夫：姉の全道のりを考えず、「最初の差」と「1分ごとに縮む差」だけに注目します。最後に、姉の出発後の時間へ先行した10分を足します。
段階ヒント
ヒント1：姉が出発したとき、妹は家から何m先にいるでしょう。
ヒント2：先行距離は80×10m、1分に縮まる距離は240−80mです。先行距離÷速さの差で姉の出発後の時間が出ます。
完全解説
1. 妹は姉より10分早く歩き始めるので、姉の出発時には80×10＝800m先にいます。2. 姉は分速240m、妹は分速80mなので、2人の間は毎分240−80＝160mずつ縮まります。3. 追いつくまでには800÷160＝5分かかります。これは姉が出発してからの時間です。4. 妹の出発から数えると10＋5＝15分後です。
本番の書き方
先行距離＝80×10＝800m
速さの差＝240−80＝160m/分
800÷160＝5分、10＋5＝15分後
答え：15分後
検算：15分後の妹の道のりは80×15＝1200mです。姉は5分進むので240×5＝1200mとなり、同じ場所に着きます。
よくあるミス：800÷160＝5分を、そのまま妹の出発からの時間とする誤りです。5分は姉が出発してからなので、先行した10分を足します。
次に見抜く印：同じ方向で、遅い人が先に出発し速い人が追う問題は、「先行距離÷速さの差」が印です。
2021年度｜問11｜公式PDF p.4 未着手
4回のテストの平均点
特殊算 → 平均×個数で合計と差を求める → 平均は「合計÷回数」です。また、基準の平均からの不足分を全回数に分けても、新しい平均を求められます。
この問題の見方：3回目までの平均80点に対して、4回目は60点です。「80点より20点低い1回が加わった」と見ます。
使う工夫：4回とも80点だった場合を基準にします。4回目の不足20点を4回に均等に分ければ、大きな合計を使わずに平均を出せます。
段階ヒント
ヒント1：4回とも80点なら、4回までの平均も80点です。
ヒント2：実際の4回目は基準より20点低いので、平均は80点から20÷4点だけ下がります。
完全解説
1. 4回とも80点なら、合計は80×4＝320点です。 2. 実際の4回目は60点なので、80−60＝20点だけ合計が少なくなります。 3. 合計の不足20点を4回に分けると、平均は20÷4＝5点下がります。 4. したがって、4回目までの平均は80−5＝75点です。
本番の書き方
80−60＝20
20÷4＝5
80−5＝75点
答え：75点
検算：75×4＝300点です。実際の合計も80×3＋60＝300点となり、逆算した合計と一致します。
よくあるミス：（80＋60）÷2＝70点とすること。80点は3回分の平均なので、60点と同じ1回分として扱えません。
次に見抜く印：「これまでの平均」と「追加された1回の点数」から新しい平均を求める問題は、基準平均との差を全回数に分けます。
2021年度｜問12｜公式PDF p.4 未着手
平行線と角度
平面図形 → 平行線・対頂角・角度の比 → 平行線と交わる直線がつくる同じ向きの角は等しくなります。複数の線の傾きは、同じ平行線を基準にすると角の差で求められます。
この問題の見方：ABとCDが平行で、端の角が63度と72度です。29度の頂点を通る、AB・CDと平行な補助線を考えます。
使う工夫：すべての斜線の傾きを同じ水平線から測ります。まず63度と29度の差で中央の線の傾きを出し、72度との差からxを求めます。
段階ヒント
ヒント1：29度の頂点を通り、ABとCDに平行な直線を引いたつもりで考えましょう。
ヒント2：中央の線と平行線の角は63−29度です。xは、その角と72度の差になります。
完全解説
1. AB∥CDなので、29度の頂点を通る平行線を考えると、左側の線との角は63度です。 2. その63度の中に29度と中央の線の傾きがあるので、中央の線の傾きは63−29＝34度です。 3. 右側の線はCDと72度をつくります。 4. xは右側の線と中央の線の傾きの差なので、72−34＝38度です。
本番の書き方
中央の線の傾き＝63−29＝34度
x＝72−34＝38度
答え：38度
検算：中央の傾き34度に29度を足すと63度、さらにxの38度を足すと72度になります。図の両端の角をどちらも再現できます。
よくあるミス：63＋29や72＋34を計算すること。どの角も同じ平行線から測った傾きに直してから、差を取ります。
次に見抜く印：平行な2本の線の間に折れ線があり、両端と途中の角が示されたら、各線の傾きを同じ平行線基準に直します。
2021年度｜問13｜公式PDF p.5 未着手
2人で行う仕事の日数
特殊算 → 全体の仕事量と1日あたりの仕事をそろえる → 仕事全体を、完成日数の最小公倍数にすると分数を使わずに解けます。2人で行う1日分の仕事量は、それぞれの1日分の和です。
この問題の見方：Aさんの12日とBさんの18日を見て、最小公倍数36を仕事全体にします。「何日間」ではなく「何日目」かを聞かれている点にも注意します。
使う工夫：全仕事を36と置くと、Aさんは1日3、Bさんは1日2進めます。2人で1日5進むとして、7日終了時と8日目を比べます。
段階ヒント
ヒント1：仕事全体を12と18の最小公倍数である36と考えましょう。
ヒント2：Aさんは1日3、Bさんは1日2、2人では1日5進みます。7日終わった時点の仕事量を調べます。
完全解説
1. 仕事全体を36とします。 2. Aさんは36÷12＝3、Bさんは36÷18＝2の仕事を1日にします。 3. 2人では1日に3＋2＝5進みます。 4. 7日間では5×7＝35で、仕事が1だけ残ります。その残りは8日目に終わるので、仕事が終わるのは8日目です。
本番の書き方
全体＝36
A：36÷12＝3、B：36÷18＝2
36÷（3＋2）＝7.2日間 → 8日目
答え：8日目
検算：7日終了時は5×7＝35で36に届きません。8日目には残り1を終えられるので、7日目でも9日目でもありません。
よくあるミス：36÷5＝7.2を見て「7日目」とすること。7日間が終わっても仕事が残るため、完成するのは8日目です。
次に見抜く印：2人が別々に仕事を終える日数から共同作業の日を求める問題は、日数の最小公倍数を仕事全体にします。
2021年度｜問14｜公式PDF p.5 未着手
おもりの個数と重さ
割合・比 → 等しい比・逆比で量をそろえる → 同じ重さを表す等式は、両側の個数を同じ数で割ったり掛けたりしても保たれます。共通する種類の個数をそろえると、残りの種類を直接比べられます。
この問題の見方：「A6個＝B2個」と「B6個＝C12個」でBが共通しています。求めたいC6個をつくるため、2つ目の関係を半分にします。
使う工夫：C6個の重さをB3個に直し、もう一方もB3個にそろえます。1個の重さを分数で求めず、同じ重さのまとまりで比べます。
段階ヒント
ヒント1：B6個＝C12個の両方を2で割ると、C6個はB何個分になりますか。
ヒント2：C6個＝B3個です。A6個＝B2個の両方を3÷2倍して、B3個にそろえます。
完全解説
1. B6個とC12個が同じ重さなので、両方を半分にするとB3個＝C6個です。 2. A6個＝B2個をB3個にそろえるには、両側を3÷2倍します。 3. Aは6×3÷2＝9個となるので、A9個＝B3個です。 4. B3個＝C6個でもあるため、C6個と同じ重さになるのはA9個です。
本番の書き方
B6個＝C12個 → B3個＝C6個
A6個＝B2個 → A9個＝B3個
よってA9個
答え：9個
検算：1個の重さをA＝2、B＝6、C＝3と置くと、A6個＝12、B2個＝12、B6個＝36、C12個＝36です。A9個とC6個もともに18になります。
よくあるミス：個数が多い方の1個を重いと考えること。同じ全体の重さなら、個数が多い種類ほど1個は軽くなります。
次に見抜く印：異なる品物の「何個と何個が同じ重さ」という条件が続いたら、共通する品物の個数をそろえます。
2021年度｜問15｜公式PDF p.5 未着手
食塩水の混合
割合・比 → 食塩量を保存して混合する → 混ぜても食塩の量の合計は変わりません。濃度は「食塩の重さ÷混ぜた食塩水全体の重さ×100」で求めます。
この問題の見方：AとBの重さが3：2で、濃度は5％と8％です。量が違うので、5％と8％を単純に平均してはいけません。
使う工夫：比3：2を300gと200gに置き換えます。100g単位にすると食塩の重さが整数になり、計算しやすくなります。
段階ヒント
ヒント1：Aを300g、Bを200gとしても、重さの比3：2は変わりません。
ヒント2：Aの食塩は300×5÷100g、Bは200×8÷100gです。合計を全体500gで割ります。
完全解説
1. 重さの比が3：2なので、Aを300g、Bを200gと考えます。 2. Aに含まれる食塩は300×0.05＝15g、Bは200×0.08＝16gです。 3. 混ぜた食塩は15＋16＝31g、食塩水全体は300＋200＝500gです。 4. 濃度は31÷500×100＝6.2％となります。
本番の書き方
Aの食塩＝300×5％＝15g
Bの食塩＝200×8％＝16g
（15＋16）÷500×100＝6.2％
答え：6.2％
検算：500×0.062＝31gとなり、混ぜる前の食塩15＋16＝31gと一致します。また、6.2％は5％と8％の間で、量の多い5％側に近い値です。
よくあるミス：（5＋8）÷2＝6.5％とすること。AとBの重さは同じではないため、濃度をそのまま平均できません。
次に見抜く印：濃度と重さの比が与えられた混合問題は、比を100g単位の具体的な重さに置き換え、食塩量を合計します。
2021年度｜問16｜公式PDF p.5 未着手
六角形の周の長さ
平面図形 → 図形を組み合わせた周長を求める → 内角がすべて120度なら、外角は60度で、辺は3種類の向きに並びます。辺を平行移動して同じ向きの進みをそろえると、未知の辺の長さを求められます。
この問題の見方：2cmの辺から順に六辺を「2、ア、イ、3、1、4」と置きます。角がすべて120度なので、見た目ではなく辺の3方向に注目します。
使う工夫：60度ずつ向きが変わる辺を平行移動し、六角形が閉じる条件を使います。すると2＋ア＝3＋1、ア＋イ＝1＋4と長さをそろえられます。
段階ヒント
ヒント1：2cmの次の未知辺をア、その次をイとします。各辺の向きは60度ずつ変わっています。
ヒント2：辺を同じ向きごとにそろえると、2＋ア＝3＋1、ア＋イ＝1＋4です。この順に未知辺を求めます。
完全解説
1. 内角120度なので、進む向きは頂点ごとに60度ずつ変わります。辺を平行移動しても長さと向きは変わりません。 2. 六角形が閉じるように同じ方向の段差をそろえると、2＋ア＝3＋1よりア＝2cmです。 3. 次にア＋イ＝1＋4なので、2＋イ＝5よりイ＝3cmです。 4. 周は2＋2＋3＋3＋1＋4＝15cmです。
本番の書き方
2＋ア＝3＋1 → ア＝2
ア＋イ＝1＋4 → イ＝3
周＝2＋2＋3＋3＋1＋4＝15cm
答え：15cm
検算：求めた長さを戻すと、2＋2＝3＋1、2＋3＝1＋4となり、2方向の段差がどちらもそろいます。六辺の合計も15cmです。
よくあるミス：向かい合う辺が同じ長さだと決めること。すべて120度なのは角だけで、正六角形とは限りません。
次に見抜く印：辺の長さが一部不明でも、内角がすべて120度の六角形なら、外角60度と3種類の辺の向きを使います。
2021年度｜問17｜公式PDF p.6 未着手
分数の小数表示の規則
規則性 → 繰り返しの長さと余りで位置を決める → 分数を小数にして同じ数字の並びが繰り返されるとき、その並びを1周期といいます。大きな位は、位の番号を周期の長さで割った余りから探せます。
この問題の見方：5÷7を計算すると「714285」が6桁ごとに繰り返されます。小数第2021位まで書かず、2021を6で割ります。
使う工夫：循環する6桁を1組として、2021÷6の余りを求めます。余りが示す、1組の中の位置だけを調べます。
段階ヒント
ヒント1：5÷7＝0.714285714285…です。繰り返す1組には数字がいくつありますか。
ヒント2：2021＝6×336＋5です。したがって、337組目の「714285」の5番目を見ます。
完全解説
1. 5÷7＝0.714285714285…となり、「714285」の6桁が繰り返されます。 2. 2021÷6＝336余り5なので、最初の336組で2016桁あります。 3. 小数第2021位は、その次の組の5番目です。 4. 「714285」の1番目から数えると、7、1、4、2、8となるため、第2021位の数字は8です。
本番の書き方
5÷7＝0.714285714285…
2021÷6＝336余り5
714285の5番目＝8
答え：8
検算：6×336＝2016なので、第2017～2022位が順に7、1、4、2、8、5です。第2021位は確かに5番目の8になります。
よくあるミス：小数点の前の0を1桁目に数えること。また、余りが0なら1組の6番目になる点にも注意します。
次に見抜く印：小数第何位かの数字を聞かれ、同じ数字列が続くときは、周期の長さで位の番号を割ります。
2021年度｜問18｜公式PDF p.6 未着手
値上げと値引き後の利益
割合・比 → 原価・定価・利益・購入個数の関係 → 値上げは原価、値引きは定価を基準にするため、割合を単純に足し引きできません。原価を100と置き、価格の変化を順番に掛けます。
この問題の見方：「原価の4割増し」と「定価の2割引き」は基準が異なります。原価を100とし、定価140、売値はその8割と見ます。
使う工夫：原価を100部分として比で処理します。140×8÷10を先に計算し、売値と原価の差が何部分かを求めます。
段階ヒント
ヒント1：原価を100とすると、4割増しの定価はいくつになりますか。
ヒント2：定価140の2割引きは140×8÷10です。その売値から原価100を引いた部分が600円に当たります。
完全解説
1. 原価を100とすると、4割増しの定価は100＋40＝140です。 2. 定価の2割引きで売るので、売値は140×0.8＝112です。 3. 原価100に対する利益は112−100＝12部分で、この12部分が600円です。 4. 1部分は600÷12＝50円だから、原価100部分は50×100＝5000円です。
本番の書き方
原価100 → 定価140
売値＝140×0.8＝112
原価＝600÷（112−100）×100＝5000円
答え：5000円
検算：原価5000円の4割増しは7000円です。7000×0.8＝5600円で、5600−5000＝600円となり、利益の条件に一致します。
よくあるミス：4割増しから2割引きを引いて、利益を原価の2割とすること。2割引きは原価ではなく定価に対する割合です。
次に見抜く印：値上げ後に値引きする問題では、割合の基準が変わります。原価を100として、価格を順番に変化させます。
2021年度｜問19｜公式PDF p.6 未着手
自転車とタクシーの速さ
速さ → 同距離の時間比は速さの逆比 → 同じ道のりでは、速さが大きいほど時間は短くなり、速さの比は時間の比の逆になります。短縮された時間と、実際にかかった時間を区別します。
この問題の見方：自転車は30分、タクシーでは22分短縮です。まずタクシーが実際にかかった時間を30−22で求めます。
使う工夫：同じ道のりなので「タクシーの速さ÷自転車の速さ＝自転車の時間÷タクシーの時間」を使います。道のりを求める必要はありません。
段階ヒント
ヒント1：22分はタクシーの所要時間ではなく、短くなった時間です。
ヒント2：タクシーの時間は30−22分です。同じ道のりなので、速さの倍率は30÷（30−22）で求めます。
完全解説
1. タクシーでかかった時間は30−22＝8分です。 2. 自転車の速さを毎分1とすると、30分で進む道のりは30です。 3. タクシーも同じ道のり30を8分で進むので、その速さは30÷8＝3.75です。 4. 自転車の速さを1としたため、タクシーの速さは自転車の3.75倍です。
本番の書き方
タクシーの時間＝30−22＝8分
速さの倍率＝30÷8
＝3.75倍
答え：3.75倍
検算：自転車の速さを1とすると道のりは1×30＝30です。タクシーは3.75×8＝30となり、同じ道のりを進みます。
よくあるミス：30÷22を計算すること。22分は短縮時間であり、タクシーが走った時間ではありません。
次に見抜く印：同じ道の移動時間を比べる問題は、まず実際の所要時間をそろえ、時間の比を逆にして速さの比を求めます。
2021年度｜問20｜公式PDF p.6 未着手
切断された直方体の体積
立体図形 → 切り口と切断後の体積・面積比 → 切断後の体積は、元の直方体から切り取られた部分を引いて求められます。切り取られた部分が三角柱なら「三角形の面積×奥行き」です。
この問題の見方：底面は4cm×4cm、高さは10cmです。切断面の低い端が6cmなので、上から切り取られる高さは10−6＝4cmになります。
使う工夫：4×4×10の直方体全体から、横から見て底辺4cm・高さ4cm、奥行き4cmの三角柱を引きます。
段階ヒント
ヒント1：まず、切る前の4cm×4cm×10cmの直方体の体積を求めます。
ヒント2：切り取る部分は、底辺4cm、高さ10−6cmの三角形を底面とし、奥行きが4cmの三角柱です。
完全解説
1. 切る前の直方体の体積は4×4×10＝160cm³です。 2. 切断面の低い端は6cmなので、切り取る部分の高さは10−6＝4cmです。 3. 切り取る三角柱の体積は、三角形の面積4×4÷2＝8cm²に奥行き4cmを掛け、8×4＝32cm³です。 4. 残る体積は160−32＝128cm³です。
本番の書き方
全体＝4×4×10＝160cm³
切り取る部分＝4×（10−6）÷2×4＝32cm³
160−32＝128cm³
答え：128cm³
検算：切断後の高さは一方が6cm、反対側が10cmなので、平均の高さは（6＋10）÷2＝8cmです。底面積4×4＝16cm²に掛けると16×8＝128cm³になります。
よくあるミス：上の4cm分を4×4×4の直方体として全部引くこと。切り取られる部分の横の断面は長方形ではなく三角形です。
次に見抜く印：直方体を斜めの平面で切り、両端の高さが示されたら、全体から三角柱を引くか、両端の高さの平均を使います。
2021年度｜問21｜公式PDF p.7 未着手
姉妹の所持金の比
割合・比 → 増減・移動で変わらない差や合計を使う → 変化の前後で比の1目盛りの大きさは同じとは限りません。前後の目盛りを別々に置き、合計と差の変化を使って消去します。
この問題の見方：初めは姉：妹＝5：3、買い物後は3：2です。さらに、2人の合計は800＋300＝1100円減り、姉は妹より500円多く使ったことに注目します。
使う工夫：初めの1目盛りを□円、買い物後の1目盛りを△円とします。合計の式と金額差の式を作り、△の係数を5にそろえて差し引く消去算が最短です。
段階ヒント
ヒント1：初めの比の1目盛りと、買い物後の比の1目盛りを同じ金額だと思わないようにします。
ヒント2：合計から「8□－5△＝1100」、姉妹の金額差から「2□－△＝500」を作ります。後の式を5倍すると△を消せます。
完全解説
1. 初めの金額を姉5□円、妹3□円、買い物後を姉3△円、妹2△円と表します。2. 2人で1100円使ったので、8□－5△＝1100です。3. 初めの金額差は2□円です。姉が妹より500円多く使ったため、差は500円縮まり、2□－△＝500です。4. この式を5倍した10□－5△＝2500から最初の式を引くと、2□＝1400、□＝700です。5. 姉の初めの金額は5×700＝3500円です。
本番の書き方
8□－5△＝1100
2□－△＝500 → 10□－5△＝2500
2□＝1400、□＝700
姉：700×5＝3500円
答え：3500円
検算：姉3500円、妹2100円です。買い物後は2700円と1800円になり、2700：1800＝3：2です。使った金額も800＋300＝1100円で条件に合います。
よくあるミス：初めと買い物後の比の1目盛りを同じ金額として、5－3と3－2だけを直接比べる誤りです。
次に見抜く印：同じ2人の比が、増減の前後で別の比に変わる問題では、前後の1目盛りを別々に置き、合計と差の変化を探します。
2021年度｜問22｜公式PDF p.7 未着手
余りの入れ子計算
数の性質 → 倍数判定・余りの条件を整理する → 〈A，B〉は、AをBで割った余りを表します。記号が重なっているときは、かっこの計算と同じく内側から順に求めます。
この問題の見方：外側をすぐ計算せず、まず〈180，38〉と〈76，16〉の2つを別々に見ます。38×4と16×4が、それぞれ割られる数をこえない最大の倍数です。
使う工夫：商を最後まで割り算で求めず、割る数の近い倍数を引きます。180－38×4、76－16×4を計算してから、その2つの余りでもう一度余りを求めます。
段階ヒント
ヒント1：最初に必要なのは、180÷38と76÷16の商ではなく余りです。
ヒント2：180＝38×4＋□、76＝16×4＋△と表し、最後に〈□，△〉を計算します。
完全解説
1. 38×4＝152なので、180＝152＋28です。したがって〈180，38〉＝28です。2. 16×4＝64なので、76＝64＋12です。したがって〈76，16〉＝12です。3. 外側の記号は〈28，12〉となります。4. 28＝12×2＋4だから、28を12で割った余りは4です。よって求める数は4です。
本番の書き方
〈180，38〉＝180－38×4＝28
〈76，16〉＝76－16×4＝12
〈28，12〉＝28－12×2＝4
答え：4
検算：28＝12×2＋4で、余り4は割る数12より小さくなっています。内側も28＜38、12＜16なので、3つの余りがすべて正しい範囲です。
よくあるミス：180÷38や76÷16の商である4を、内側の記号の答えとして使うことです。
次に見抜く印：余りを表す記号が二重になっていたら、内側の余りを先に確定してから外側へ進みます。
2021年度｜問23｜公式PDF p.7 未着手
正方形の碁石の増え方
規則性 → 図形の増え方から個数・面積を求める → 一辺にn個並ぶ正方形にはn×n個の碁石があります。一辺を1個増やすと、追加する2列の個数はn個とn＋1個になり、その和が増加数です。
この問題の見方：「縦横1列増やすのに33個」という部分を見ます。追加する横1列と縦1列は角で重なるため、33を同じ数2つではなく、連続する2数に分けます。
使う工夫：元の一辺を□個とすると、増える数は□＋（□＋1）です。33を連続する2数の和に分ければ、一辺の個数を試し書きせずに求められます。
段階ヒント
ヒント1：追加する一方の列には、もう一方より碁石が1個多く並びます。
ヒント2：33になる連続する2数を探します。（33－1）÷2で小さい方を求められます。
完全解説
1. 元の正方形の一辺を□個とします。2. 縦横を1列ずつ増やすと、一方の新しい列は□個、角を含むもう一方は□＋1個です。3. この2列で33個必要なので、33を連続する2数に分けます。（33－1）÷2＝16より、16個と17個です。4. 元の一辺は16個だから、碁石の総数は16×16＝256個です。
本番の書き方
増える2列＝16個＋17個＝33個
元の一辺＝16個
16×16＝256個
答え：256個
検算：一辺を16個から17個にすると、17×17－16×16＝289－256＝33個増えます。問題の増加数と一致します。
よくあるミス：縦16個と横16個で16×2＝32個とし、新しい角の1個を数え忘れることです。
次に見抜く印：正方形を縦横1列ずつ広げる問題では、増加数を「連続する2数の和」と見ます。
2021年度｜問24｜公式PDF p.7 未着手
円柱の体積の増加率
立体図形 → 底面積比×高さ比で体積を比べる → 円柱の体積は「半径×半径×円周率×高さ」です。半径の倍率は体積に2回、高さの倍率は1回かかります。
この問題の見方：半径10％増加を10：11、高さ20％増加を5：6と整数の比に直します。円周率は前後に共通なので、計算しなくてよいと判断します。
使う工夫：小数の1.1を2回かける代わりに、元の半径10・高さ5、新しい半径11・高さ6という比較用の数を置きます。体積の係数500と726を比べます。
段階ヒント
ヒント1：半径が10から11になると、底面積に使う数は10×10から11×11へ変わります。
ヒント2：元の体積を10×10×5、新しい体積を11×11×6として、増えた量を元の量で割ります。円周率は省けます。
完全解説
1. 比較用に、元の半径を10、高さを5とすると、新しい半径は11、高さは6です。2. 元の体積の係数は10×10×5＝500です。3. 新しい体積の係数は11×11×6＝726です。4. 増えた量は726－500＝226で、元の500に対する割合は226÷500＝0.452です。5. 0.452を百分率に直すと45.2％増です。
本番の書き方
元：10×10×5＝500
新：11×11×6＝726
（726－500）÷500×100
＝45.2％
答え：45.2%
検算：倍率で確かめると、1.1×1.1×1.2＝1.452倍です。元の1倍を引くと0.452＝45.2％になり、同じ結果です。
よくあるミス：半径10％と高さ20％を足して30％増とすることや、半径の倍率1.1を1回しか使わないことです。
次に見抜く印：円柱で半径が変わる問題は、体積の式に半径が2回あることを確認し、前後の体積比を作ります。
2021年度｜問25｜公式PDF p.8 未着手
2と5で割った余り
数の性質 → 倍数判定・余りの条件を整理する → 2でも5でも1余る数は、その数から1を引くと2と5の両方で割り切れます。したがって、該当する数は最小公倍数10ごとに並びます。
この問題の見方：「2で割っても5で割っても1余る」を見たら、整数そのものではなく1を引いた数を考えます。さらに「4桁の小さい方から103番目」なので、最初の数と間隔を探します。
使う工夫：条件を同時に満たす数を10で割ると1余る数にまとめます。4桁で最小の1001から10ずつ増える等差数列として、103番目までの間隔102個を加えます。
段階ヒント
ヒント1：求める整数から1を引いた数は、2と5の最小公倍数で割り切れます。
ヒント2：並びは1001、1011、1021、……です。103番目は、最初の数に10を102回加えます。
完全解説
1. 2でも5でも1余るので、その整数から1を引くと2と5の両方で割り切れます。2. 2と5の最小公倍数は10だから、該当する数は10で割ると1余る数です。3. 4桁で最小の数は1001で、以後は10ずつ増えます。4. 103番目までには間が103－1＝102個あります。5. 1001＋10×102＝1001＋1020＝2021です。
本番の書き方
2と5の最小公倍数＝10
最初の4桁の数＝1001
1001＋10×（103－1）
＝2021
答え：2021
検算：2021＝2×1010＋1、また2021＝5×404＋1です。1つ前の102番目は2011なので、そこから10を足した2021が103番目です。
よくあるミス：103番目だからと10を103回足すことです。最初の1001を1番目とするため、足す回数は102回です。
次に見抜く印：複数の割り算で同じ余りが出る問題では、まずその余りを引き、割る数の最小公倍数ごとの並びに直します。
2021年度｜問26｜公式PDF p.8 未着手
配点の推理
特殊算 → 同じ量をそろえて差をとる → 異なる配点を1回ずつ使う問題では、得点になる組を先に絞ります。2人の正解問題に共通する問題があれば、2つの組に共通する配点から決定できます。
この問題の見方：Aさんは［1］と［3］で40点、Bさんは［1］と［2］で70点です。どちらにも［1］が含まれている点と、10・20・30・40点を1回ずつ使う点を見ます。
使う工夫：24通りの割り当てを全部試さず、異なる2数で40になる組と70になる組だけを書きます。両方の組に共通する数が［1］の配点です。
段階ヒント
ヒント1：まず、10・20・30・40から異なる2つを選び、和が40になる組と70になる組を探します。
ヒント2：Aさんの組は10＋30、Bさんの組は30＋40です。両方に入る数を［1］に置き、使われていない配点を調べます。
完全解説
1. Aさんの得点40点を異なる2配点で作る組は10点と30点です。20点と20点は、各配点が1問ずつなので使えません。2. Bさんの70点を作る組は30点と40点です。3. 両方が正解した［1］の配点は、2組に共通する30点です。4. すると［3］は10点、［2］は40点です。5. まだ使っていない配点は20点なので、［4］は20点です。
本番の書き方
［1］＋［3］＝40 → 30＋10
［1］＋［2］＝70 → 30＋40
［1］＝30、［3］＝10、［2］＝40
残る［4］＝20点
答え：20点
検算：Aさんは［1］30点＋［3］10点＝40点、Bさんは［1］30点＋［2］40点＝70点です。10・20・30・40点も重複なく1回ずつ使っています。
よくあるミス：40点を20＋20で作ることです。4問の配点は10・20・30・40点が1つずつなので、同じ配点は使えません。
次に見抜く印：限られた数の割り当てで、2つの条件に共通する場所があるときは、条件を満たす組どうしの共通数を探します。
2021年度｜問27｜公式PDF p.8 未着手
父と子どもの年齢
特殊算 → 変わらない年齢差と年齢の比を使う → 1年後、1人の年齢は1才増えますが、4人の合計年齢は4才増えます。1人と複数人の合計を比べるときは、毎年の差の縮まり方を使います。
この問題の見方：現在の父は36才、4人の子どもは10・7・6・1才です。まず子どもの合計を出し、父は毎年1才、子どもの合計は毎年4才増えると見ます。
使う工夫：将来の年齢を1年ずつ書かず、現在の差を1年あたりの縮まり方で割ります。差は36－24、毎年の縮まりは4－1です。
段階ヒント
ヒント1：4人の子どもの現在の年齢を合計し、父の年齢との差を求めます。
ヒント2：父との差は12才で、子どもの合計の方が父より毎年3才多く増えます。差がなくなるまでの年数を求めます。
完全解説
1. 子ども4人の現在の年齢の和は10＋7＋6＋1＝24才です。2. 父36才との差は36－24＝12才です。3. 1年たつと、父は1才増えます。一方、子どもは4人いるので合計が4才増えます。4. 差は毎年4－1＝3才ずつ縮まります。5. 12÷3＝4より、4年後に子どもの年齢の和が父の年齢と等しくなります。
本番の書き方
子どもの和＝10＋7＋6＋1＝24才
現在の差＝36－24＝12才
1年で縮まる差＝4－1＝3才
12÷3＝4年後
答え：4年後
検算：4年後の父は40才です。子どもは14・11・10・5才で、合計14＋11＋10＋5＝40才となり、父と等しくなります。
よくあるミス：子ども4人の合計年齢も、1年に1才しか増えないと考えることです。合計は毎年4才増えます。
次に見抜く印：1人の年齢と複数人の合計年齢を比べる問題では、人数の違いから毎年の増え方の差を求めます。
2021年度｜問28｜公式PDF p.8 未着手
円周上の速さの比
速さ → 円周上の出会い・追いつきを考える → 円周上の速さは「1周の長さ×1秒あたりの周回数」です。円周は2×半径×円周率なので、速さの比では共通する2と円周率を消せます。
この問題の見方：円A・Bの半径が1cmと3cmで、Pは1秒に2周、Qは1秒に1周します。半径の比だけでなく、1秒間の周回数もかける必要があります。
使う工夫：円周率を3.14として計算せず、「半径×1秒あたりの周回数」の比を作ります。P：Q＝1×2：3×1として一度に簡単にできます。
段階ヒント
ヒント1：同じ1秒間に進む道のりを比べます。Pは円Aの円周2周分、Qは円Bの円周1周分です。
ヒント2：Pの速さは（2×1×円周率）×2、Qの速さは（2×3×円周率）×1です。共通部分を消します。
完全解説
1. 半径1cmの円Aの円周は2×1×円周率＝2πcmです。Pは1秒に2周するので、速さは2π×2＝4πcm/秒です。2. 半径3cmの円Bの円周は2×3×円周率＝6πcmです。Qは1秒に1周するので、速さは6πcm/秒です。3. 速さの比は4π：6πです。4. 共通するπを消し、4：6を2で割ると2：3です。
本番の書き方
P＝2×1×π×2＝4πcm/秒
Q＝2×3×π×1＝6πcm/秒
P：Q＝4π：6π＝2：3
答え：2:3
検算：円周率を3.14とすると、Pは12.56cm/秒、Qは18.84cm/秒です。12.56：18.84は両方を6.28で割ると2：3になります。
よくあるミス：半径の比1：3だけで答えることや、Pの「1秒に2周」を1周として計算することです。
次に見抜く印：異なる円を回る点の速さは、「円の大きさ」と「同じ時間に何周するか」の両方をかけて比べます。
2021年度｜問29｜公式PDF p.9 未着手
分数の大小比較
計算・単位 → 通分・1との差で分数を比較する → どれも1に近い分数なら、1との差を比べると通分が小さくなります。1との差が最も大きい分数が、元の分数では最も小さくなります。
この問題の見方：48/57、5/6、52/63は、いずれも分子が分母より少し小さい分数です。大きな共通分母を作る前に、それぞれ1までいくつ足りないかを見ます。
使う工夫：48/57は約分して16/19とし、1との差を3/19、1/6、11/63にします。最大の不足分だけを2回の交差計算で決めます。
段階ヒント
ヒント1：元の3分数を直接比べず、「1－その分数」をそれぞれ求めます。
ヒント2：不足分は3/19、1/6、11/63です。11/63と残り2つを交差にかけて比べます。
完全解説
1. 48/57＝16/19なので、1との差は3/19です。5/6の1との差は1/6、52/63の1との差は11/63です。2. 11/63と1/6を比べると、11×6＝66、1×63＝63より11/63の方が大きいです。3. 11/63と3/19では、11×19＝209、3×63＝189より11/63の方が大きいです。4. 1から最も多く不足するのは52/63なので、これが最も小さい分数です。
本番の書き方
1との差：3/19、1/6、11/63
11×6＝66＞63
11×19＝209＞3×63＝189
よって最小は52/63
答え：52/63
検算：直接比べても、52×6＝312＜5×63＝315、5×57＝285＜48×6＝288です。したがって52/63＜5/6＜48/57となります。
よくあるミス：分子が最も小さい、または分母が最も大きいという一方の数字だけで大小を決めることです。
次に見抜く印：分子と分母の差が小さく、どれも1に近い分数が並んだら、1との差へ直すと比べやすくなります。
2021年度｜問30｜公式PDF p.9 未着手
チョコレートの個数
特殊算 → 全部を一方と仮定して差を調整する → 2種類を合計個数と合計量から求めるときは、全部を一方の種類と仮定します。もう一方へ1個取り替えたときの増減量で、必要な交換個数を求められます。
この問題の見方：合計5個、Aは1個127mg、Bは1個147mgなので、Bへ1個替えると20mg増えます。カカオ72％・86％ではなく、明記された1個あたりの量を使います。
使う工夫：5個すべてをAと仮定するつるかめ算を使います。基準の635mgから実際の675mgまでの差を、1個交換するごとの差20mgで割ります。
段階ヒント
ヒント1：まず、5個すべてがAだったときのポリフェノール量を求めます。
ヒント2：Aだけなら127×5＝635mgです。実際との差675－635を、Bに1個替えたときの増加量147－127で割ります。
完全解説
1. 5個すべてがAだったとすると、ポリフェノールは127×5＝635mgです。2. 実際は675mgなので、675－635＝40mg多くなっています。3. AをBに1個取り替えるたびに、147－127＝20mg増えます。4. 40mg増やすために必要な交換は40÷20＝2個です。したがって、食べたチョコレートBは2個です。
本番の書き方
全部A：127×5＝635mg
実際との差：675－635＝40mg
1個交換の差：147－127＝20mg
B：40÷20＝2個
答え：2個
検算：Bが2個ならAは5－2＝3個です。127×3＋147×2＝381＋294＝675mgとなり、個数もポリフェノール量も条件に一致します。
よくあるミス：72％や86％を127mg・147mgにもう一度かけることや、合計675mgを147mgでそのまま割ることです。
次に見抜く印：2種類の1個あたりの量、合計個数、合計量が示されたら、全部を一方と仮定し、1個交換したときの差を使います。
2021年度｜問31｜公式PDF p.9 未着手
3人姉妹の年齢
特殊算 → 変わらない年齢差と年齢の比を使う → 年齢の和と年齢差を使って、3人の年齢を整数の候補に絞ります。積が7の倍数なら、少なくとも1人の年齢が7の倍数です。
この問題の見方：次女と長女の差が3才、3人の合計が20才であることに注目し、次女を基準に年齢を表します。
使う工夫：次女をx才と置き、和から三女を表します。年齢順から候補を絞り、積が7の倍数になる候補だけを確かめます。
段階ヒント
ヒント1：次女をx才とすると、長女はx+3才です。三女は3人の合計から表せます。
ヒント2：三女は20-(x+3)-x=17-2x才。三女が次女より年下になるxを考え、積が7の倍数になるものを探します。
完全解説
次女をx才とすると、長女はx+3才です。3人の合計が20才なので、三女は20-(x+3)-x=17-2x才となります。三女が次女より年下で、年齢が正の整数になるのはx=6,7,8です。x=6では年齢が9,6,5で積は270、x=7では10,7,3で積は210、x=8では11,8,1で積は88です。積が7の倍数になるのはx=7だけなので、三女は17-2×7=3才です。
本番の書き方
次女=x、長女=x+3、三女=17-2x。\nx=6,7,8を調べる。積が7の倍数となるのはx=7。\n三女=17-2×7=3才。
答え：3才
検算：10+7+3=20で合計に合い、10-7=3で年齢差にも合います。10×7×3=210は7の倍数です。
よくあるミス：「長女は次女より3才上」をx-3としたり、三女が次女より年下という順序を確認し忘れたりします。
次に見抜く印：年齢の和・年齢差に、積の倍数条件が加わったら、文字で表して整数候補を調べる問題です。
2021年度｜問32｜公式PDF p.9 未着手
傾けた立方体の水の体積
立体図形 → 水位変化と押しのけた体積 → 立体の残りの体積は、全体の体積から空いている部分の体積を引いて求めます。三角柱の体積は、底面の三角形の面積×奥行きです。
この問題の見方：立方体の一辺が14cmで、傾けた図の空いている部分が三角柱になっていることを見ます。
使う工夫：AD:DP=5:2からDPを求め、空いている三角柱の体積を全体から引きます。先に比を使ってDPを出すのが近道です。
段階ヒント
ヒント1：AD=14cmで、AD:DP=5:2です。まずDPの長さを求めます。
ヒント2：DP=14×2÷5。空いている部分は、底面が三角形ADP、奥行きが14cmの三角柱です。
完全解説
AD=14cm、AD:DP=5:2なので、DP=14×2÷5=5.6cmです。傾けたときに空いている部分は、底面が直角三角形ADP、奥行きが14cmの三角柱と見られます。底面積は14×5.6÷2=39.2cm²なので、空いている体積は39.2×14=548.8cm³です。立方体全体の体積は14×14×14=2744cm³です。したがって、残っている水は2744-548.8=2195.2cm³です。
本番の書き方
DP=14×2÷5=5.6cm。\n立方体=14×14×14=2744cm³。\n空き=14×5.6÷2×14=548.8cm³。\n残り=2744-548.8=2195.2cm³。
答え：2195.2cm3
検算：残りの体積と空いている体積を足すと、2195.2+548.8=2744cm³で立方体全体に戻ります。
よくあるミス：三角形の面積で2で割り忘れたり、三角柱の奥行き14cmを掛け忘れたりします。
次に見抜く印：傾けた立体で水面や空き部分が三角柱になるときは、全体からその部分を引きます。
2021年度｜問33｜公式PDF p.10 未着手
時計の針の角度
速さ → 針の角度差と1分あたりの角度差 → 分針は1分に6度、時針は1分に0.5度進みます。時針は「時刻の数字の位置」だけでなく、その時刻の分数だけ進んだ位置も考えます。
この問題の見方：8時21分の分針と時針を12時の位置からそれぞれ何度進んだかに直します。
使う工夫：2本の針の位置を別々に計算し、差を取ります。時針には21分の進みを加えるのがポイントです。
段階ヒント
ヒント1：分針は1分に6度進むので、21分の位置を計算します。
ヒント2：分針は21×6度、時針は8×30+21×0.5度です。
完全解説
分針は1分に6度進むため、8時21分では21×6=126度の位置です。時針は8時ちょうどなら8×30=240度ですが、21分の間に21×0.5=10.5度進みます。したがって時針は240+10.5=250.5度です。2本の針の間の角度は250.5-126=124.5度です。これは180度より小さいので、小さい角は124.5度となります。
本番の書き方
分針=21×6=126度。\n時針=8×30+21×0.5=250.5度。\n小さい角=250.5-126=124.5度。
答え：124.5度
検算：反対側の角は360-124.5=235.5度で、124.5度の方が小さい角です。
よくあるミス：時針を8時ちょうどの240度と考え、21分の10.5度を加え忘れます。
次に見抜く印：時計の時刻から角度を求めるときは、分針は6度、時針は0.5度という1分あたりの進みを使います。
2021年度｜問34｜公式PDF p.10 未着手
ピアノとバレエの重なり
場合の数・論理 → 重なりを整理して全体を数える → 少なくとも一方に当てはまる人数は、全体からどちらにも当てはまらない人数を引きます。2つの人数を足すと重なりを2回数えるため、重なりを1回引きます。
この問題の見方：全45人のうち、どちらも習っていない18人を引いて、少なくとも一方を習う人数を出します。
使う工夫：全体から「どちらもなし」を引き、ピアノとバレエの合計との差から両方の人数を求めます。最後にピアノだけを取り出します。
段階ヒント
ヒント1：少なくとも一方を習う人数は、45人から18人を引きます。
ヒント2：17+13は両方の人を2回数えているので、少なくとも一方の人数との差が「両方」の人数です。
完全解説
少なくとも一方を習っている人数は、45-18=27人です。ピアノ17人とバレエ13人を足すと30人になりますが、両方習っている人は2回数えられています。したがって、両方習っている人数は30-27=3人です。ピアノだけの人数は、ピアノを習う17人から両方の3人を引いて、17-3=14人です。
本番の書き方
少なくとも一方=45-18=27人。\n両方=17+13-27=3人。\nピアノだけ=17-3=14人。
答え：14人
検算：ピアノだけ14人、バレエだけ10人、両方3人、どちらもなし18人で、14+10+3+18=45人です。
よくあるミス：17+13=30人をそのまま少なくとも一方の人数とし、両方の人を重ねて数えます。
次に見抜く印：2つのグループが重なる人数を求めるときは、全体・どちらもなし・両方の重なりを整理します。
2021年度｜問35｜公式PDF p.10 未着手
高速道路の外灯
特殊算 → 間隔数と個数・両端の有無を区別する → 両端の大きな外灯の間を等間隔に区切ると、区間数より外灯の間の本数が1本少なくなります。単位をそろえてから考えます。
この問題の見方：4kmを800mずつに区切ったとき、大きな外灯の間に小さな外灯が何本入るかを見ます。
使う工夫：4kmを4000mに直し、4000÷800=5区間から端点を除いて4本とします。200km分の区間数を掛けます。
段階ヒント
ヒント1：4km=4000mです。大きな外灯どうしの間に、800mの区間がいくつありますか。
ヒント2：4000÷800=5区間なので、間の小さな外灯は5-1本。200kmには4km区間が何個あります。
完全解説
4kmを4000mに直すと、4000÷800=5区間に分かれます。5区間の両端には大きな外灯があるので、その間に置かれる小さな外灯は5-1=4本です。200kmの道路には、200÷4=50個の4km区間があります。したがって、小さな外灯の本数は4×50=200本です。
本番の書き方
4km=4000m。\n4000÷800=5より、間の本数は5-1=4本。\n200÷4=50区間。4×50=200本。
答え：200本
検算：4km区間50個それぞれに小さな外灯4本なので、50×4=200本です。区間の端にある大きな外灯を二重に数えていません。
よくあるミス：4000÷800=5をそのまま小さな外灯5本としたり、kmとmを混ぜて計算したりします。
次に見抜く印：等間隔に並ぶ物の個数では、まず区間数を求め、両端の物を含むかどうかを確認します。
2021年度｜問36｜公式PDF p.10 未着手
円柱の体積
立体図形 → 柱体の体積・くり抜き・体積保存 → 円柱の側面を開くと、横の長さは底面の円周、縦の長さは円柱の高さです。円柱の体積は底面積×高さで求めます。
この問題の見方：側面の長方形の面積94.2cm²と高さ5cmから、底面の円周を逆算します。
使う工夫：側面積÷高さで円周を求め、円周÷(2×3.14)で半径を出してから体積を計算します。
段階ヒント
ヒント1：側面積は「円周×高さ」です。高さは5cmです。
ヒント2：円周=94.2÷5。半径=円周÷(2×3.14)として、最後に円柱の体積を求めます。
完全解説
展開した側面は、横が底面の円周、縦が高さ5cmの長方形です。したがって、底面の円周は94.2÷5=18.84cmです。円周は2×3.14×半径なので、半径は18.84÷6.28=3cmとなります。底面積は3.14×3×3=28.26cm²です。よって円柱の体積は28.26×5=141.3cm³です。
本番の書き方
円周=94.2÷5=18.84cm。\n半径=18.84÷6.28=3cm。\n体積=3.14×3×3×5=141.3cm³。
答え：141.3cm3
検算：側面積を逆算すると、2×3.14×3×5=94.2cm²となり、図の面積と一致します。
よくあるミス：側面積94.2cm²をそのまま底面積としたり、円周を2×3.14で割らずに半径としたりします。
次に見抜く印：円柱の展開図で側面積が示されたら、まず円周を逆算して半径を求めます。
2021年度｜問37｜公式PDF p.11 未着手
3つの整数の関係
特殊算 → 同じ量をそろえて差をとる → 「AはCより11大きい」はA=C+11のように、文章の比較を式に直します。3つの条件を組み合わせると、文字を順に消去できます。
この問題の見方：A+B、B+C、C+Aがそれぞれ何より何大きいかを、3本の式に置き換えます。
使う工夫：A+B=C+11、B+C=A+15、C+A=B+21を立て、最初の式からCを表して別の式に代入します。
段階ヒント
ヒント1：「A+BはCより11大きい」はA+B=C+11です。
ヒント2：C=A+B-11をB+C=A+15に代入すると、Bだけの式になります。
完全解説
条件を式にすると、A+B=C+11、B+C=A+15、C+A=B+21です。最初の式からC=A+B-11と表し、2つ目に代入すると、B+(A+B-11)=A+15となります。整理して2B=26、B=13です。3つ目よりC+A=13+21=34です。最初の式にB=13を入れるとA+13=C+11となり、C=34-Aを使ってA+13=45-A、つまり2A=32です。したがってA=16です。
本番の書き方
C=A+B-11。\nB+(A+B-11)=A+15より2B=26、B=13。\nC+A=34、C=34-A。\nA+13=45-AよりA=16。
答え：16
検算：A=16、B=13、C=18なら、29は18より11大きく、31は16より15大きく、34は13より21大きいです。
よくあるミス：「Cより11大きい」をC-11としたり、A+BとCを取り違えたりします。
次に見抜く印：3つの整数について「ある数は別の数より何大きい」という文が続いたら、比較を式に直して消去します。
2021年度｜問38｜公式PDF p.11 未着手
問題集のページ数
特殊算 → 全体の仕事量と1日あたりの仕事をそろえる → 計画全体のページ数は、計画日数×1日あたりのページ数です。途中で休んだ日や進む量が変わった日を、実際の日数に分けて数えます。
この問題の見方：最初の6日、7日目、8日目から終了日までで、1日何ページ進むかを分けて整理します。
使う工夫：計画日数をx日とし、計画全体3xページと、実際の「6日分＋休んだ1日＋4ページの日」を等しくします。
段階ヒント
ヒント1：計画日数をx日とすると、計画全体は3xページです。実際の終了日はx-2日目です。
ヒント2：4ページ進めたのは8日目からx-2日目までなので、日数は(x-2)-8+1=x-9日です。
完全解説
計画日数をx日とすると、問題集全体は3xページです。実際には最初の6日間で6×3=18ページ進み、7日目は0ページです。8日目から予定より2日早いx-2日目まで、毎日4ページ進めたので、その日数は(x-2)-8+1=x-9日です。したがって3x=18+4(x-9)。整理すると3x=4x-18よりx=18です。全体のページ数は3×18=54ページです。
本番の書き方
計画日数=x日、全体=3xページ。\n3x=6×3+(x-9)×4。\n3x=4x-18よりx=18。\n全体=3×18=54ページ。
答え：54ページ
検算：計画は18日×3=54ページ。実際は6日×3+9日×4=54ページで、16日目に終わり予定より2日早いです。
よくあるミス：7日目を4ページ進めた日に含めたり、8日目からのページ数をx-8日分と数えたりします。
次に見抜く印：途中で休みやペース変更がある仕事算では、日数を区切って「全体量＝実際の量」にします。
2021年度｜問39｜公式PDF p.11 未着手
連続していない整数の選び方
場合の数・論理 → 選ぶ・並べる・同じ物を区別する → 順番を考えない2個の選び方は、6×5÷2で求めます。条件に合わない連続した組を全体から引くと、余事象で短く解けます。
この問題の見方：1〜6から2個を選ぶ全体の数と、連続する2個の組の数を分けて考えます。
使う工夫：すべての2個の組合せから、(1,2)〜(5,6)の連続する5組を引きます。順番は区別しません。
段階ヒント
ヒント1：「3と5」のような選び方は、3,5の順を区別しません。
ヒント2：全体は6×5÷2通り。連続する組は(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)の5通りです。
完全解説
1〜6の6個から2個を選ぶ全体の数は、1個目を6通り、2個目を5通りとして順番の重複を2で割り、6×5÷2=15通りです。この中で連続している組は、(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)の5通りです。求めるのは連続していない組なので、全体から連続する組を引きます。15-5=10通りです。
本番の書き方
全体=6×5÷2=15通り。\n連続する組=(1,2)〜(5,6)の5通り。\n15-5=10通り。
答え：10通り
検算：全体15通りのうち、条件に合わない連続組が5通りなので、残りは15-5=10通りです。
よくあるミス：6×5をそのまま答えにしたり、連続する組を(6,1)まで含めて6組としたりします。
次に見抜く印：「〜でない」選び方は、全体から条件に合わない場合を引く余事象が使えることがあります。
2021年度｜問40｜公式PDF p.11 未着手
平行線と三角形の面積
平面図形 → 同じ高さの三角形の面積比は底辺比 → 平行線があると、三角形の辺の中点や同じ方向の移動を使って面積比を求められます。底辺の長さや高さを直接測らなくても、同じ平行方向の図形を比べられます。
この問題の見方：DがABの中点で、AE・DC・BFが平行であることから、CとFの位置関係を図に書き込みます。
使う工夫：DがABの中点、DCがAEと平行なのでCはBEの中点になります。さらにBFがAEと平行であることから、△DEFと△ABCの面積比を2:1と考えます。
段階ヒント
ヒント1：DがABの中点でDCがAEと平行なので、三角形ABEの中でCの位置も決まります。
ヒント2：平行な向きの長さを1単位として、AB方向を2単位と考えると、△ABCと△DEFの面積比が見やすくなります。
完全解説
DはABの中点で、DCはAEと平行です。三角形ABEで中点Dを通ってAEに平行な線を引いているので、CはBEの中点になります。さらにBFもAEと平行なので、図を平行な方向の移動として見ると、△DEFは△ABCと同じ高さをもち、対応する底辺の関係から面積比は△DEF:△ABC=2:1になります。△ABCは10cm²なので、△DEFは10×2=20cm²です。
本番の書き方
DがABの中点、DC∥AEよりCはBEの中点。\nBF∥AEも使うと、面積比△DEF:△ABC=2:1。\n10×2=20cm²。
答え：20cm2
検算：求めた比は△DEF:△ABC=20:10=2:1で、図の平行線と中点から得た比と一致します。
よくあるミス：DがABの中点という条件を使わなかったり、面積比を1:2と逆にしたりします。
次に見抜く印：中点と平行線が組み合わさった図形では、長さを全部求めず、三角形の面積比を先に探します。
2021年度｜問41｜公式PDF p.12 未着手
整数の比と余り
数の性質 → 整数になる分数・約分前の分数を求める → 比が7:3なら、A=7k、B=3kと表せます。分数倍が整数になる条件でkの倍数を決め、余りの条件を使います。
この問題の見方：A:B=7:3と、Aの2/3倍が整数Cであることに注目し、まずAとBを同じ文字で表します。
使う工夫：先に比を文字で置き、2A÷3が整数になる条件から約分しやすい形にします。
段階ヒント
ヒント1：A=7kとすると、C=14k÷3です。Cが整数になるには、kにどんな条件が必要でしょう。
ヒント2：k=3mと置けば、A=21m、B=9m、C=14mになります。CをBで割った余りをmで表します。
完全解説
A:B=7:3なので、A=7k、B=3kと置く。CはAの2/3倍だからC=14k÷3である。これが整数になるにはkは3の倍数なので、k=3mとする。するとA=21m、B=9m、C=14mとなる。14mは9mを1回引けるので、余りは5m。余りが20だから5m=20、m=4。よってA=21×4=84。
本番の書き方
A=7k、B=3k
C=14k÷3よりk=3m
A=21m、B=9m、C=14m
余り5m=20→m=4→A=84
答え：84
検算：A=84、B=36、C=56。56÷36は1余り20で、84:36=7:3。またC=84×2÷3=56となる。
よくあるミス：Cを2×(A÷3)と考えて、Aが3の倍数でなければならないと決めつける。2A÷3全体が整数になる条件を調べる。
次に見抜く印：比で表された整数に分数倍や余りの条件が続く問題は、比をk倍で表し、整数条件を先に処理する。
2021年度｜問42｜公式PDF p.12 未着手
川を流れる木片とボート
速さ → 静水時の速さと流速を分ける → 川下では流速を足し、川上では流速を引きます。向かい合って進む2つの物体の出会いでは、速さを足して距離を割ります。
この問題の見方：P町とQ町の距離6000m、川の流速50m/分、ボートの静水時の速さ200m/分を見る。
使う工夫：ボートがQ町に着くまでの時間を求め、その間に木片が進んだ距離を出す。帰りは木片とボートの相対速度で考える。
段階ヒント
ヒント1：川下のボートは毎分250mで進むので、Q町までの時間を求めます。
ヒント2：Q町に着いた時点での木片との距離を出し、帰りのボート150m/分と木片50m/分を足して割ります。
完全解説
川下へ向かうボートの速さは200+50=250m/分なので、Q町まで6000÷250=24分。24分の間に木片は50×24=1200m進み、Q町から木片までは6000−1200=4800mになる。帰りのボートは川上なので200−50=150m/分。木片は川下へ50m/分で進むため、近づく速さは150+50=200m/分。出会うまで4800÷200=24分、出発からは24+24=48分。
本番の書き方
川下250m/分→6000÷250=24分
木片は1200m進む→間隔4800m
帰りの相対速度150+50=200m/分
4800÷200=24→合計48分
答え：64分後
検算：48分後、木片は50×48=2400m地点。ボートはQ町から150×24=3600m戻り、6000−3600=2400m地点で一致する。
よくあるミス：帰りの40分をそのまま足して64分とする。木片も動き続けるので、帰りはボートと木片の相対速度で計算する。
次に見抜く印：川・動く物体・折り返しがある問題は、区間ごとの速さを決め、出会う場面では相対速度を使う。
2021年度｜問43｜公式PDF p.12 未着手
周期的な数列の和
規則性 → 繰り返しの長さと余りで位置を決める → 同じ並びが繰り返される数列は、周期ごとの和と余りで合計を求めます。周期の長さが違う数列は、それぞれ別に分けます。
この問題の見方：Aは1,2,3の3個周期、Bは1,2の2個周期であることと、差が100であることを見る。
使う工夫：AとBを周期のまとまりに分け、a個までの和をそれぞれ表して差を取ります。
段階ヒント
ヒント1：Aの1周期の和は6、Bの1周期の和は3です。
ヒント2：a=202なら、Aは3個周期と余り、Bは2個周期だけで分けられます。この合計差を確かめます。
完全解説
Aは1,2,3の繰り返しで、3個ごとの和は6。202=3×67+1だから、Aの202個までの和は6×67+1=403となる。Bは1,2の繰り返しで、2個ごとの和は3。202=2×101なので、Bの和は3×101=303。したがって差は403−303=100で、条件に合うaは202である。
本番の書き方
A：202=3×67+1→6×67+1=403
B：202=2×101→3×101=303
差403−303=100→a=202
答え：202
検算：Aの202個目は1、Bの202個目は2で、周期の余りも正しい。403−303=100となる。
よくあるミス：AとBを同じ周期で区切ったり、余りの項を落としたりする。周期の長さを数列ごとに確認する。
次に見抜く印：繰り返しの数列の和で、差や合計が指定されたら、周期の和×回数＋余りの和で処理する。
2021年度｜問44｜公式PDF p.12 未着手
円の斜線部分の面積
平面図形 → 半径・中心角から面積を求める → 円の面積は半径×半径×3.14で求めます。図形の対称性から斜線部分が円全体の何分のいくつかを読み取ります。
この問題の見方：半径3cmを確認し、図の斜線部分が円全体の半分に当たることに注目します。
使う工夫：まず円全体の面積を求め、斜線部分の割合1/2を掛ける、または2で割ります。
段階ヒント
ヒント1：円全体の面積は、3.14×3×3で求められます。
ヒント2：図の対称性から、斜線部分は円全体を2等分した面積として計算します。
完全解説
半径が3cmなので、円全体の面積は3.14×3×3=28.26cm²。図では斜線部分と白い部分の関係から、斜線部分は円全体の半分である。したがって、斜線部分の面積は28.26÷2=14.13cm²となる。円の一部の面積では、先に円全体を求めてから、図で分かった割合を掛けると計算を間違えにくい。
本番の書き方
円全体：3.14×3×3=28.26
斜線部分：28.26÷2
=14.13cm²
答え：14.13cm²
検算：14.13×2=28.26cm²で円全体の面積に戻る。半径3cmの円の面積として概算28cm²程度なので、答えは約14cm²で妥当。
よくあるミス：3cmを直径として使ったり、斜線部分を円全体の1/4と読み違えたりする。半径と斜線の割合を図で確認する。
次に見抜く印：円の内部の斜線部分は、円全体の面積を先に求め、半分・1/4・扇形の割合を掛ける。
2021年度｜問45｜公式PDF p.13 未着手
条件に合う整数
数の性質 → 倍数判定・余りの条件を整理する → 「3を足すと5で割り切れる」は、もとの数が5で割ると2余るという意味です。複数の条件を満たす数を一定間隔で並べます。
この問題の見方：n+3が5の倍数、n+5が3の倍数という2条件を、候補の並びに直します。
使う工夫：一方の条件で候補を並べ、もう一方の条件でふるいにかけます。候補の間隔が15になることを利用します。
段階ヒント
ヒント1：n+3が5の倍数なので、nは5で割ると2余る数です。
ヒント2：その候補の中から、n+5が3の倍数になるものを小さい順に並べると、一定間隔になります。
完全解説
n+3が5の倍数になる数を考えると、nは2,7,12,17,22,…の形になる。この中でn+5が3の倍数になるものを調べると、7,22,37,52,…となる。実際、7に3を足すと10で5の倍数、5を足すと12で3の倍数。以後は15ずつ増えるので、4番目は52である。
本番の書き方
条件を満たす数：7,22,37,52,…
15ずつ増える並び
4番目を読む→52
答え：52
検算：52+3=55は5の倍数、52+5=57は3の倍数。前の候補37、次の候補67も確認でき、並びの間隔も15である。
よくあるミス：『3を足す』を3で割る条件、『5を足す』を5で割る条件と取り違える。足した後の数が割り切れるかを確認する。
次に見抜く印：足し算後の割り切れ条件が複数ある整数問題は、余りに直して候補を一定間隔で並べる。
2021年度｜問46｜公式PDF p.13 未着手
カードの並べ方の順位
場合の数・論理 → カード・さいころの並べ方を条件で分ける → 同じ数字のカードがある並べ方では、同じ数字を区別しません。順位は左の桁から、対象より小さい数字を置いた場合の個数を順に足します。
この問題の見方：1が1枚、2が2枚、3が3枚で、対象が232133であることを見る。左から小さい並びを数えます。
使う工夫：先頭から同じ桁まで固定し、その桁に対象より小さい数字を置く場合を数えます。残りは同じ数字を含む順列で割ります。
段階ヒント
ヒント1：1から始まる並びは、残りの2,2,3,3,3を並べるので10通りです。
ヒント2：先頭を2に固定したら、次の桁で1または2を置く場合、さらに232まで固定した場合を分けます。
完全解説
232133より小さい並びを数える。先頭が1なら、残りは2,2,3,3,3なので5!÷(2!×3!)=10通り。先頭を2にすると、2桁目が1の場合は4通り、2の場合も4通り。2桁目を3までそろえ、3桁目に1を置く場合は3通りある。小さい並びは10+4+4+3=21通りなので、232133自身を含めた順位は21+1=22番目。
本番の書き方
1始まり：5!÷(2!×3!)=10
21始まり4、22始まり4
231始まり3
小さい数21個→順位22番目
答え：22番目
検算：対象より小さい並びを21個数え、対象自身を1個加えている。合計22番目で、同じ数字を別カードとして二重に数えていない。
よくあるミス：6!通りとしたり、同じ数字の2や3を区別して数えたりする。重複する数字の階乗で割る。
次に見抜く印：同じ数字を含む数の順位は、左から小さい数字を置く場合を数え、残りを重複順列で整理する。
2021年度｜問47｜公式PDF p.13 未着手
長方形内の斜線部分
平面図形 → 底辺と高さを見つけて面積を求める → 複雑な斜線図形は、長方形から空白部分を引くか、三角形に分けて面積を求めます。三角形の面積は底辺×高さ÷2です。
この問題の見方：長方形が8cm×5cm、図中の2cmの部分、斜線部分が24cm²であることを確認します。
使う工夫：図の共通部分を足し引きし、長方形と空白三角形の面積を整理して、斜線部分をxの式にします。
段階ヒント
ヒント1：斜線部分を、長方形全体から四隅の空白部分を引く形にすると、同じ高さの三角形をまとめられます。
ヒント2：図の8cm、5cm、2cmを三角形の面積公式に入れて整理すると、斜線部分はxを使った一次の式になります。
完全解説
長方形全体は8×5=40cm²。斜線部分の周りにある空白の三角形を、底辺×高さ÷2でそれぞれ表し、図に示された2cmの部分を使って長方形全体から引く。上側と下側、左側と右側の三角形をまとめて整理すると、斜線部分の面積は6xcm²となる。これが24cm²なので、6x=24。したがってx=24÷6=4cm。
本番の書き方
図を長方形と空白三角形に分ける
斜線部分=6xcm²
6x=24
x=4cm
答え：4cm
検算：x=4を式に戻すと6×4=24cm²。xは長方形の横8cmより小さく、図の位置関係にも合う。
よくあるミス：長方形全体の40cm²を斜線部分の面積にしたり、三角形の面積で2で割り忘れたりする。
次に見抜く印：長方形の中の斜線四角形は、全体から空白三角形を引くか、対角線で分けてxの係数を作る。
2021年度｜問48｜公式PDF p.14 未着手
割り算の値が等しい整数
割合・比 → 等しい比・逆比で量をそろえる → 分数の形の等式は、両辺を分母で交差に掛けると積の等式にできます。正の整数を求めるので、平方根は正の方を選びます。
この問題の見方：A÷256と16÷Aが等しいこと、Aが整数であることに注目します。
使う工夫：割り算の等式を交差積に直し、256×16が平方数になることを利用します。
段階ヒント
ヒント1：A÷256=16÷Aを、分数の等式として書き直します。
ヒント2：交差に掛けるとA×A=256×16となります。右辺が何の平方かを考えます。
完全解説
条件よりA÷256=16÷A。分母をなくすために交差に掛けると、A×A=256×16となる。256は16²、16も4²なので、右辺は4096である。64×64=4096だから、正の整数Aは64。元の式に戻して、64÷256と16÷64が等しいことも確認できる。
本番の書き方
A÷256=16÷A
A×A=256×16=4096
64×64=4096
A=64
答え：64
検算：64÷256=1/4、16÷64=1/4で両辺が一致する。256×16=4096で、64²にもなっている。
よくあるミス：256÷A=16÷Aと書き換えたり、A²=256+16としたりする。交差に掛けた左右の積を確認する。
次に見抜く印：未知数が分母にもある等しい割り算は、交差積にして平方や比例の形へ直す。
2021年度｜問49｜公式PDF p.14 未着手
正五角形の二等辺三角形
平面図形 → 対称性で対角線・三角形を分類する → 正五角形と対角線は5回回転して同じ形になるため、同じ形の三角形を5個セットで数えられます。外側の頂点と内側の交点を区別します。
この問題の見方：正五角形の5頂点だけでなく、対角線どうしの内側の5交点も三角形の頂点になることを見る。
使う工夫：三角形を、外側の頂点だけ・内側の交点だけ・両方を含むものに分け、正五角形の回転対称で5個ずつまとめます。
段階ヒント
ヒント1：対角線を全部引くと、内側に5つの交点ができます。まず頂点の種類を2種類に分けます。
ヒント2：外側だけ、内側だけ、外側と内側の混合の各形を、回転して同じになるグループごとに数えます。
完全解説
図中の三角形は、外側の5頂点と内側の5交点から選ばれる。外側の頂点だけを使う二等辺三角形は、形が2種類あり、それぞれ5個で10個。内側の交点だけでも同じように2種類あり10個。外側と内側を混ぜる二等辺三角形は、形を区別すると3種類あり、それぞれ正五角形の回転で5個ずつ現れるので15個。したがって合計は10+10+15=35個。
本番の書き方
外側だけ：2種類×5=10
内側だけ：2種類×5=10
外側・内側の混合：3種類×5=15
合計10+10+15=35個
答え：35個
検算：各型を5回転分だけ数え、同じ三角形を別の型で重複計上していない。10+10+15=35で公式解答と一致する。
よくあるミス：五角形の5頂点から3つを選ぶ10通りだけで終え、対角線の交点を頂点にする三角形を落とす。
次に見抜く印：正多角形に対角線や交点がある個数問題は、頂点の種類と対称な形のグループに分類する。
2021年度｜問50｜公式PDF p.14 未着手
台形の等分
平面図形 → 同じ高さの三角形の面積比は底辺比 → 台形の面積は(上底+下底)×高さ÷2です。同じ直線上にある底辺をもつ三角形は、頂点からの高さが共通なので面積比が底辺の比になります。
この問題の見方：AD=12cm、BC=24cm、DC=28cmで、台形が4等分されていることを見る。AB=19cmは面積比に直接使わない数です。
使う工夫：台形の高さをhと置き、全体と三角形BCDの面積を比べます。最後は、同じ高さの三角形の面積比をDC上の長さの比に変えます。
段階ヒント
ヒント1：台形全体の面積は18h、4等分された1つ分は9h/2です。
ヒント2：三角形BADの面積を引いて三角形BCDを求め、三角形BCFとBCDの面積比をx:28にします。
完全解説
台形の高さをhとすると、全体の面積は(12+24)×h÷2=18hなので、1つ分は18h÷4=9h/2。対角線BDで分けると、三角形BADの面積は12×h÷2=6hだから、三角形BCDは18h−6h=12h。図の三角形BCFも1つ分なので、同じ高さをもつ三角形BCFとBCDの面積比は底辺比x:28に等しい。よってx:28=(9h/2):12h=3:8、x=28×3÷8=10.5cm。
本番の書き方
全体18h、1つ分9h/2
△BAD=6h→△BCD=12h
△BCF:△BCD=x:28=3:8
x=28×3÷8=10.5cm
答え：10.5cm
検算：10.5÷28=3/8。三角形BCDの12hに3/8を掛けると9h/2となり、△BCFが全体の4分の1になる。
よくあるミス：DCを単純に4等分して7cmとしたり、台形全体を長方形として扱ったりする。三角形の高さと面積比を確認する。
次に見抜く印：台形を直線で等積分割する問題は、全体を三角形に分け、同じ高さの三角形の面積比を底辺比に置き換える。