2024年度｜問1｜公式PDF p.3 未着手
分数と小数の混じった計算
計算・単位 → 小数・帯分数を直して先に約分する → 帯分数は仮分数に直し、分数の割り算は逆数を掛けます。掛け算を始める前に、分子と分母の共通因数を消すと計算が小さくなります。
この問題の見方：「4と1/3−2と3/4」を仮分数で整理します。さらに、4と2/9＝38/9では38が差の分子19の2倍になること、1.05÷2.8は両方を100倍できることに注目します。
使う工夫：前半は割り算を逆数の掛け算に直して先に約分します。後半は1.05÷2.8を105÷280に直し、両方が同じ分数になるかを確かめます。
段階ヒント
ヒント1：前半では、帯分数を仮分数に直したあと、差の分子と38に共通因数がないか見ます。
ヒント2：前半を19/12×9/38、後半を105/280と書き、どちらも約分してから最後の引き算をします。
完全解説
1. 4と1/3＝13/3、2と3/4＝11/4なので、かっこの中は13/3−11/4＝19/12です。
2. 4と2/9＝38/9で割るので、19/12×9/38。19と38、9と12を先に約分すると3/8です。
3. 1.05÷2.8は、割られる数と割る数を100倍して105÷280＝3/8です。
4. 前半と後半がともに3/8なので、3/8−3/8＝0です。
本番の書き方
13/3−11/4＝19/12
19/12×9/38＝3/8
1.05÷2.8＝105÷280＝3/8
3/8−3/8＝0
答え：0
検算：前半は19/12÷38/9＝3/8、後半は2.8×3/8＝1.05と逆算できます。同じ数どうしの差なので0となり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：分数で割るときに逆数にしないことや、帯分数の整数部分だけを先に引くことです。また、1.05÷2.8を105÷28として小数点の移動を片方だけに行う誤りがあります。
次に見抜く印：帯分数と小数が混ざる計算では、計算前に形を統一し、分子・分母の倍数関係と「同じ値どうしの差」にならないかを見ます。
2024年度｜問2｜公式PDF p.3 未着手
□を含む式
計算・単位 → □をひとまとまりにして逆の順に戻す → 割り算の結果と割る数が分かっているとき、割られる数は「結果×割る数」で戻せます。かっこの外側から計算を逆向きにたどります。
この問題の見方：□をすぐ求めようとせず、まず「1.5−□×3」というかっこ全体が2/3で割られて0.9になっている点を見ます。
使う工夫：外側の「÷2/3」から逆算してかっこ全体を求め、次に引き算、最後に×3を戻します。
段階ヒント
ヒント1：「ある数÷2/3＝0.9」なら、ある数は0.9に2/3を掛けたものです。
ヒント2：□×3＝1.5−（0.9×2/3）まで逆算し、最後に3で割ります。
完全解説
1. かっこ全体を2/3で割った結果が0.9なので、かっこ全体は0.9×2/3＝0.6です。
2. したがって、1.5−□×3＝0.6となります。
3. 1.5から0.6まで減った量が□×3なので、□×3＝1.5−0.6＝0.9です。
4. 3個分が0.9だから、1個分は0.9÷3＝0.3です。
本番の書き方
かっこ内＝0.9×2/3＝0.6
□×3＝1.5−0.6＝0.9
□＝0.9÷3＝0.3
答え：0.3
検算：0.3を代入すると、（1.5−0.3×3）÷2/3＝0.6÷2/3＝0.9です。問題の右辺と等しく、公式解答とも一致します。
よくあるミス：「÷2/3」を戻すときに、もう一度2/3で割ることです。また、1.5−□×3を（1.5−□）×3と読み違えないようにします。
次に見抜く印：□がかっこ内にあり、その外にも計算がある式では、答え側から外側の計算を一つずつ逆向きに戻します。
2024年度｜問3｜公式PDF p.3 未着手
小数の乗除を含む計算
計算・単位 → 共通因数をまとめる分配法則 → 複数の項に同じ数が掛かっているときは、分配法則を逆に使って共通因数をくくれます。小数の積を一つずつ筆算するより、共通部分をまとめる方が速く正確です。
この問題の見方：2.4、1.2、3.6がすべて1.2の倍数であることを見ます。2.4＝1.2×2、3.6＝1.2×3です。
使う工夫：1.2を共通因数としてくくります。かっこ内では、−0.43と3×0.11＝0.33を先に組ませて−0.1を作ります。
段階ヒント
ヒント1：2.4、1.2、3.6から共通して取り出せる数を探します。
ヒント2：式を1.2×（2×0.8−0.43＋3×0.11）と直し、かっこ内の−0.43＋0.33を先に計算します。
完全解説
1. 2.4＝1.2×2、3.6＝1.2×3なので、式全体から1.2をくくれます。
2. 式は1.2×（2×0.8−0.43＋3×0.11）となります。
3. かっこ内は1.6−0.43＋0.33です。−0.43＋0.33＝−0.1を先にまとめると、1.6−0.1＝1.5です。
4. よって1.2×1.5＝1.8です。
本番の書き方
＝1.2×（2×0.8−0.43＋3×0.11）
＝1.2×（1.6−0.43＋0.33）
＝1.2×1.5＝1.8
答え：1.8
検算：別に計算すると2.4×0.8＝1.92、1.2×0.43＝0.516、3.6×0.11＝0.396です。1.92−0.516＋0.396＝1.8となり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：1.2をくくったのに、2.4、1.2、3.6をそれぞれ1.2で割った2、1、3へ直さないことです。また、−0.43＋0.33の符号にも注意します。
次に見抜く印：足し引きされる各項の最初の数が倍数関係なら、筆算を始める前に共通因数をくくれないか調べます。
2024年度｜問4｜公式PDF p.3 未着手
縮尺と面積
平面図形 → 長さの倍率を2回かけて面積に直す → 縮尺1/50000では、実際の長さは地図上の長さの50000倍です。面積は縦と横の両方が拡大されるため、長さの倍率を2回使います。
この問題の見方：縮尺の50000は長さの倍率であり、面積をそのまま50000倍するのではないと確認します。まず地図上の1cmが実際の何kmかを求めます。
使う工夫：地図上の1cmを0.5kmへ換算し、1cm²に対応する実際の面積を0.5×0.5で求めてから9倍します。
段階ヒント
ヒント1：50000cmをm、さらにkmへ直すと、地図上の1cmに対応する実際の長さが分かります。
ヒント2：地図上の1cm²は、実際の0.5km×0.5kmに対応します。その面積を9倍します。
完全解説
1. 縮尺1/50000なので、地図上の1cmは実際の50000cmです。
2. 50000cm＝500m＝0.5kmです。
3. 地図上の1cm²に対応する面積は、0.5km×0.5km＝0.25km²です。縦と横の両方に倍率を使います。
4. 地図上では9cm²なので、実際は0.25×9＝2.25km²です。
本番の書き方
50000cm＝0.5km
1cm² → 0.5×0.5＝0.25km²
9cm² → 0.25×9＝2.25km²
答え：2.25km²
検算：2.25km²を、地図上の1cm²に対応する0.25km²で割ると9になります。地図上の面積へ正しく戻り、公式解答とも一致します。
よくあるミス：面積でも50000を1回だけ掛けることです。9×0.5のように計算すると、縦方向または横方向の倍率が抜けています。
次に見抜く印：縮尺と面積が同時に出たら、「長さは1回、面積は縦横の2回」と考え、まず地図上の1cmに対応する実際の長さを出します。
2024年度｜問5｜公式PDF p.4 未着手
記号で表された計算
数の性質 → 定義された演算を読み替える → 新しい記号が定義された問題では、普段の計算記号として扱わず、示された規則へ毎回置き換えます。計算が重なっているときは、かっこの内側から進めます。
この問題の見方：★は掛け算ではなく、A★B＝A×A＋B×Bです。まず、かっこ内の2★3を計算し、その結果を次の★の左側に入れます。
使う工夫：2★3を先に13と求めます。次は13×13と194の差を取り、□×□だけを残します。
段階ヒント
ヒント1：最初の2★3を、2×2＋3×3へ置き換えます。
ヒント2：2★3の結果を13として、194から13×13を引くと□×□が残ります。
完全解説
1. 規則に従うと、2★3＝2×2＋3×3＝4＋9＝13です。
2. したがって、（2★3）★□は13★□に変わります。
3. 13★□＝13×13＋□×□なので、169＋□×□＝194です。
4. □×□＝194−169＝25となります。
5. 同じ数を2回掛けて25になる正の数は5なので、□＝5です。
本番の書き方
2★3＝4＋9＝13
13★□＝169＋□×□＝194
□×□＝194−169＝25
□＝5
答え：5
検算：5を入れると、（2★3）★5＝13★5＝13×13＋5×5＝169＋25＝194です。問題の値になり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：★を普通の掛け算として2×3とすることや、13★□を13×□とすることです。また、194から13だけを引かず、13×13を引きます。
次に見抜く印：見慣れない記号の直前に定義があれば、記号を規則の式に置き換えます。かっこで重なっていたら内側の結果を次の入力にします。
2024年度｜問6｜公式PDF p.4 未着手
積の分母をもつ分数の和
計算・単位 → 分数を差に分けて中間項を消す → 分母がa×（a＋2）の分数は、1/2×（1/a−1/（a＋2））と表せます。並べると途中の同じ分数が足し引きで消えます。
この問題の見方：分母が2×4、4×6、…、18×20と、2ずつ増える隣り合う偶数の積になっています。大きな通分ではなく、差の形に分けられないかを見ます。
使う工夫：各項を「1/2×隣り合う逆数の差」に直します。並べると途中の1/4から1/18までが消え、最初と最後だけが残ります。
段階ヒント
ヒント1：1/（2×4）は、1/2×（1/2−1/4）と同じです。次の項でも同じ形を試します。
ヒント2：全体を1/2×｛（1/2−1/4）＋（1/4−1/6）＋…＋（1/18−1/20）｝と書きます。
完全解説
1. 1/（2×4）＝1/2×（1/2−1/4）です。同様に1/（4×6）＝1/2×（1/4−1/6）となります。
2. 全項を書き直すと、1/2×｛（1/2−1/4）＋（1/4−1/6）＋…＋（1/18−1/20）｝です。
3. −1/4と＋1/4のように途中の分数がすべて消え、1/2×（1/2−1/20）だけが残ります。
4. 1/2−1/20＝9/20なので、答えは1/2×9/20＝9/40です。
本番の書き方
各項＝1/2×（前の逆数−次の逆数）
全体＝1/2×（1/2−1/20）
＝1/2×9/20
＝9/40
答え：9/40
検算：2から18まで2ずつ増えるので項は9個です。差の式にも9組あり、最初の1/2と最後の−1/20だけが残ります。9/40＝0.225で各正の項の和としても自然で、公式解答と一致します。
よくあるミス：すべてを一度に通分して計算を複雑にすることや、差の式の外側にある1/2を忘れることです。最後の分母は18×20です。
次に見抜く印：分母が2×4、4×6のように前の後半が次の前半へ続く分数の和では、逆数の差に分けて途中を消せないか調べます。
2024年度｜問7｜公式PDF p.4 未着手
パンの個数と代金
特殊算 → 全部を一方と仮定して差を調整する → 2種類の品物の合計個数と合計代金が分かるときは、全部を一方の商品と仮定します。仮の代金と実際の代金との差を、1個を置き換えたときの価格差で割ります。
この問題の見方：160円と120円の差が40円であること、10個すべてを160円とすると1600円になることを見ます。実際の1480円との差が、何個を安いパンへ替えたかを表します。
使う工夫：全部を160円のチョコパンと仮定します。メロンパンへ1個替えるごとに40円ずつ安くなるので、代金の差からメロンパンの個数を求めます。
段階ヒント
ヒント1：まず、10個すべてが160円のチョコパンだったときの代金を求めます。
ヒント2：（160×10−1480）÷（160−120）を計算すると、メロンパンへ置き換えた個数が分かります。
完全解説
1. 10個すべてがチョコパンなら、代金は160×10＝1600円です。
2. 実際は1480円なので、仮の代金より1600−1480＝120円安くなっています。
3. チョコパン1個をメロンパン1個へ替えると、160−120＝40円安くなります。
4. 120円安くするには120÷40＝3回置き換えるので、メロンパンは3個です。
本番の書き方
全部チョコパン：160×10＝1600円
代金の差：1600−1480＝120円
1個の差：160−120＝40円
120÷40＝3個
答え：3個
検算：メロンパン3個ならチョコパンは10−3＝7個です。120×3＋160×7＝360＋1120＝1480円となり、個数も合計10個で公式解答と一致します。
よくあるミス：120÷40で求めた3個をチョコパンの個数とすることです。全部をチョコパンと仮定したので、置き換えた3個がメロンパンです。
次に見抜く印：2種類の商品、合計個数、合計代金が示されたら、全部を高い方または安い方にそろえ、1個当たりの差で考えます。
2024年度｜問8｜公式PDF p.4 未着手
正五角形の対角線の交点の角度
平面図形 → 三角形・多角形の内角と外角 → 正五角形の内角は（5−2）×180÷5＝108度です。等しい2辺を使って二等辺三角形を見つけると、その底角は（180−108）÷2＝36度になります。
この問題の見方：交点だけを見ず、正五角形の下の1辺と、その両端から伸びる対角線を見ます。正五角形の等しい辺を使った二等辺三角形が左右にできます。
使う工夫：頂点に仮の文字を付け、正五角形の内角108度から2つの36度を作ります。交点の下側の三角形を求め、一直線上の隣り合う角からxを出します。
段階ヒント
ヒント1：正五角形の内角を求め、下の辺を含む2つの二等辺三角形に注目します。
ヒント2：交点の下側にある三角形の底の両角は36度ずつです。まず交点の下側の角を求め、xとは一直線で180度になることを使います。
完全解説
1. 上から時計回りに頂点をA、B、C、D、E、対角線DBとECの交点をPとします。図のxは∠BPCです。
2. 正五角形の内角は108度です。三角形BCDはBC＝CDの二等辺三角形なので、∠BDC＝（180−108）÷2＝36度です。
3. 三角形CDEもCD＝DEの二等辺三角形なので、∠DCE＝36度です。
4. 三角形DPCのDとCの角はともに36度だから、∠DPC＝180−36−36＝108度です。
5. PBとPDは一直線なので、x＝180−108＝72度です。
本番の書き方
正五角形の内角＝108度
二等辺三角形の底角＝（180−108）÷2＝36度
交点の下側＝180−36−36＝108度
x＝180−108＝72度
答え：72度
検算：三角形DPCでは36＋36＋108＝180度です。また、交点で隣り合う108度と72度の和も180度になり、公式解答と一致します。
よくあるミス：正五角形の内角108度をそのままxとすることや、対角線の交点を正五角形の中心だと決めつけることです。先に二等辺三角形を確認します。
次に見抜く印：正多角形に対角線が引かれていたら、中心角へ飛びつかず、等しい辺でできる二等辺三角形と一直線の角を探します。
2024年度｜問9｜公式PDF p.5 未着手
72の約数のうち2の倍数
数の性質 → 素因数分解で約数の個数を数える → N＝pᵃ×qᵇの約数は、pの指数を0からa、qの指数を0からbまで選んで作ります。「約数のうち2の倍数」は、約数全体から2を含まない奇数の約数を引く方法でも数えられます。
この問題の見方：72を2と3だけで素因数分解します。「2の倍数ではない約数＝奇数の約数」と考えると、全体から引く方法が使えます。
使う工夫：72の約数全体を指数の選び方で数え、そこから2を1個も含まない約数を引きます。条件を満たすものを一つずつ書くより数え落としを防げます。
段階ヒント
ヒント1：72＝2³×3²です。約数では、2と3の指数をそれぞれ何通りから選べるか考えます。
ヒント2：約数全体は（3＋1）×（2＋1）個です。2の倍数でない約数では2の指数を0に固定し、3の指数だけを選びます。
完全解説
1. 72を素因数分解すると、72＝2³×3²です。
2. 約数全体では、2の指数を0、1、2、3の4通り、3の指数を0、1、2の3通りから選べるので、4×3＝12個です。
3. 2の倍数でない約数は奇数です。2の指数を0に固定し、3の指数だけを選ぶので3個あります。
4. よって、2の倍数である約数は12−3＝9個です。
本番の書き方
72＝2³×3²
約数全体＝4×3＝12個
奇数の約数＝3個
12−3＝9個
答え：9個
検算：実際に並べると、2、4、6、8、12、18、24、36、72の9個です。すべて72の約数かつ2の倍数で、公式解答とも一致します。
よくあるミス：2の指数について0を含めず、約数全体を3×3＝9個とすることです。全体では指数0、1、2、3の4通りあり、条件を付けた後に0を除きます。
次に見抜く印：「約数のうち、ある素数の倍数」と聞かれたら、素因数分解し、全体からその素数を含まない約数を引けないか考えます。
2024年度｜問10｜公式PDF p.5 未着手
燃費とガソリン代
割合・比 → 1単位あたりの量から全体を求める → 燃費が一定なら、走る距離と使うガソリンの量は比例します。ガソリンの量と代金も比例するため、必要量が基準量の何倍かで代金を求められます。
この問題の見方：264kmが22kmの何倍かを調べると、必要なガソリンは12Lと分かります。次に12Lと、値段が分かっている15Lを比べます。
使う工夫：1L当たりの代金は割り切れないので求めません。12L：15L＝4：5を使い、2750円を5等分してから4倍します。
段階ヒント
ヒント1：まず264÷22で、264kmを走るために必要なガソリンの量を求めます。
ヒント2：必要な12Lは15Lの4/5です。代金も2750円の4/5として計算します。
完全解説
1. ガソリン1Lで22km進むので、264kmに必要な量は264÷22＝12Lです。
2. 12Lと15Lの比は12：15＝4：5です。つまり、必要な量は15Lの4/5です。
3. 代金も同じ割合になるため、必要な代金は2750×4/5です。
4. 2750÷5＝550、550×4＝2200なので、必要なお金は2200円です。
本番の書き方
264÷22＝12L
12：15＝4：5
2750÷5×4
＝2200円
答え：2200円
検算：2200：2750を約分すると4：5で、ガソリン量の12：15と一致します。また、12L×22km＝264kmとなり、公式解答とも一致します。
よくあるミス：15Lを264÷22で求めた12倍にすることや、2750÷15の割り切れない計算を途中で丸めることです。代金は4/5の比で正確に求めます。
次に見抜く印：「1Lで進む距離」と「まとまった量の値段」が出たら、必要なL数を出し、既知のL数との簡単な比を探します。
2024年度｜問11｜公式PDF p.5 未着手
時計の針がつくる角
速さ → 針の角度差と1分あたりの角度差 → 長針は1分に6度、短針は1分に0.5度進むので、長針は短針に毎分5.5度ずつ追いつく。反対向きになるまでに、どちらの針が何度追い越すかを考える。
この問題の見方：3時ちょうどでは短針が長針より90度先にあることと、求める180度が「長針が短針を追い越した後」にできることを見る。
使う工夫：針の位置を別々に求めず、相対速度を使う。長針は短針までの90度に加え、追い越してからさらに180度進めばよいので、縮める角度を90＋180＝270度とまとめる。
段階ヒント
ヒント1：3時ちょうどでは、長針は12、短針は3を指し、短針が90度先にいます。
ヒント2：長針が短針より進む速さは毎分6−0.5度です。反対向きになるまでに縮める角度は90＋180度なので、経過時間は270÷（6−0.5）で求められます。
完全解説
1. 3時ちょうどでは、短針が長針より90度先にあります。 2. 長針は毎分6度、短針は毎分0.5度進むので、長針が追いつく速さは6−0.5＝5.5度です。 3. 反対向きになるには、まず90度追いつき、その後さらに180度追い越す必要があります。合計270度です。 4. 270÷5.5＝540/11＝49と1/11分。したがって3時49と1/11分です。
本番の書き方
長針が縮める角度＝90＋180＝270度
速さの差＝6−0.5＝5.5度/分
270÷5.5＝49と1/11分
答え：49と1/11分
検算：5.5×49と1/11＝270度。初めの90度の遅れを取り戻してさらに180度先へ進むので、2本の針は反対向きになる。公式解答とも一致する。
よくあるミス：90÷5.5として、2本の針が重なる時刻を求めること。180度になるには、重なった後にさらに180度開く必要がある。
次に見抜く印：時計で2本の針の角度を聞かれたら、毎分6度と0.5度の差5.5度を使い、最初の角度から何度縮めるかを見る。
2024年度｜問12｜公式PDF p.5 未着手
三角形の面積
平面図形 → 底辺と高さを見つけて面積を求める → 30度をもつ直角三角形では、30度の向かい側の辺は斜辺の半分になる。三角形の外に垂線の足が出ても、底辺を延長して高さを作れば面積を求められる。
この問題の見方：8cmを底辺と見て、左端から伸びる13cmの辺と底辺のなす角が30度であることを見る。必要なのは13cmそのものではなく、底辺に垂直な高さである。
使う工夫：8cmの辺を延長し、上の頂点から垂線を下ろす。斜辺13cm、角30度の直角三角形を作り、高さを13÷2で直接出す。
段階ヒント
ヒント1：8cmの辺を右へ延長し、上の頂点からその直線へ垂線を下ろします。
ヒント2：できた直角三角形では13cmが斜辺で、30度の向かい側が高さです。高さは13÷2cmなので、面積は8×（13÷2）÷2です。
完全解説
1. 8cmの辺を底辺とし、その直線を右へ延長します。 2. 上の頂点から底辺の直線へ垂線を下ろすと、斜辺13cm、角30度の直角三角形ができます。 3. 30度の向かい側の辺は斜辺の半分なので、高さは13÷2＝6.5cmです。 4. 求める面積は、底辺×高さ÷2より、8×6.5÷2＝26cm²です。
本番の書き方
高さ＝13÷2＝6.5cm
面積＝8×6.5÷2
＝26cm²
答え：26cm²
検算：面積26cm²から高さを逆算すると、26×2÷8＝6.5cmとなり、13cmの半分と一致する。公式解答とも一致する。
よくあるミス：13cmをそのまま高さにすること。13cmは斜めの辺なので、30度を使って垂直な高さに直す必要がある。
次に見抜く印：2辺とその間の30度が示されたら、30度を含む直角三角形を作り、「30度の向かい側は斜辺の半分」を使う。
2024年度｜問13｜公式PDF p.6 未着手
2と3の両方で割り切れる整数
数の性質 → 範囲内の倍数を数え重複を除く → 2でも3でも割り切れる整数は、2と3の最小公倍数である6の倍数である。ある数までの倍数の個数は、その数を基準の数で割った商から求められる。
この問題の見方：「2でも3でも割り切れる」を、2の倍数と3の倍数を別々に数えるのではなく、両方の条件を満たす6の倍数と言い換える。
使う工夫：6、12、18と書き並べず、99÷6の商を使って個数を一度に出す。最後の倍数と次の倍数を確かめ、端の数え落としを防ぐ。
段階ヒント
ヒント1：2と3の両方で割り切れる最小の正の整数を考えます。
ヒント2：条件を満たす数は6の倍数です。99÷6の商を求め、6×その商と6×次の整数が99以下かを確かめます。
完全解説
1. 2と3の最小公倍数は6なので、条件を満たす整数は6、12、18、…という6の倍数です。 2. 1から99までに何個あるかは、99÷6で求められます。 3. 99÷6＝16あまり3なので、6の倍数は16個あります。 4. 実際に6×16＝96は範囲内ですが、6×17＝102は99を超えます。
本番の書き方
最小公倍数（2、3）＝6
99÷6＝16あまり3
よって16個
答え：16個
検算：最大の該当数は6×16＝96で、次の6×17＝102は99を超える。範囲の端を含めても16個で、公式解答と一致する。
よくあるミス：2の倍数の個数と3の倍数の個数をそのまま足すこと。両方に当てはまる数だけを数える問題である。
次に見抜く印：「AでもBでも割り切れる」とあれば、AとBの最小公倍数の倍数を数える。
2024年度｜問14｜公式PDF p.6 未着手
食塩水の濃度
割合・比 → 蒸発で食塩量が変わらないことを使う → 水だけを蒸発させても、食塩の重さは変わらない。濃度は「食塩の重さ÷蒸発後の食塩水の重さ×100」で求める。
この問題の見方：400gから蒸発するのは「水200g」だけであり、食塩は残ることを見る。食塩水全体は400−200＝200gと半分になる。
使う工夫：食塩水の重さが半分になり、食塩の重さは同じなので、濃度は2倍になると見抜く。食塩4.8gを求める方法でも確かめる。
段階ヒント
ヒント1：蒸発するのは水だけです。最初に溶けていた食塩はすべて残ります。
ヒント2：食塩は400×0.012g、蒸発後の食塩水は400−200gです。濃度は食塩の重さ÷200×100で求めます。
完全解説
1. 最初の食塩は400×0.012＝4.8gです。 2. 水を200g蒸発させても、食塩4.8gは変わりません。 3. 蒸発後の食塩水は400−200＝200gです。 4. 濃度は4.8÷200×100＝2.4％です。食塩水の重さが半分になったため、濃度が1.2％の2倍になったとも考えられます。
本番の書き方
食塩＝400×0.012＝4.8g
蒸発後＝400−200＝200g
4.8÷200×100＝2.4％
答え：2.4%
検算：200gの2.4％は200×0.024＝4.8gで、蒸発前の食塩の重さと同じになる。公式解答とも一致する。
よくあるミス：食塩水が200g減ったから、食塩も半分になったと考えること。蒸発するのは水だけである。
次に見抜く印：「水を蒸発させる」とあれば、食塩を固定し、変化後の食塩水全体の重さで濃度を計算する。
2024年度｜問15｜公式PDF p.6 未着手
往復の速さ比べ
速さ → 全道のり÷全時間で平均する → 往復で速さが異なるときは、行きと帰りの時間を別々に「道のり÷速さ」で求めて足す。時速と分速を混ぜず、各区間で単位をそろえる。
この問題の見方：片道2.6km＝2600mを確認し、表のA・Bについて、行きと帰りの4つの時間を別々に求める。特に時速39kmと時速13kmの単位に注意する。
使う工夫：分速で示された区間は2600mを使い、時速で示された区間は2.6kmを使う。無理にすべての速さを同じ単位へ直さず、出た時間だけを分にそろえる。
段階ヒント
ヒント1：AとBの往復時間をそれぞれ「行きの時間＋帰りの時間」に分けます。
ヒント2：Aは2600÷130分と2.6÷39時間、Bは2.6÷13時間と2600÷260分です。時で出た時間は60倍して分に直します。
完全解説
1. Aの行きは2600÷130＝20分、帰りは2.6÷39＝1/15時間＝4分なので、合計24分です。 2. Bの行きは2.6÷13＝0.2時間＝12分です。 3. Bの帰りは2600÷260＝10分なので、合計22分です。 4. 24−22＝2分より、BがAより2分早く帰ります。
本番の書き方
A＝2600÷130＋2.6÷39×60＝20＋4＝24分
B＝2.6÷13×60＋2600÷260＝12＋10＝22分
24−22＝2分
答え：Bが2分早い
検算：Aは20＋4＝24分、Bは12＋10＝22分。各人が行き帰りとも2.6km進んでおり、差は24−22＝2分で公式解答と一致する。
よくあるミス：往復5.2kmを2つの速さの平均で割ること。行きと帰りでは速さが違うため、時間を別々に出さなければならない。
次に見抜く印：往復で移動方法や速さが変わる表を見たら、行き・帰りを分けて時間を出し、最後に合計して比べる。
2024年度｜問16｜公式PDF p.6 未着手
円とおうぎ形・弓形の面積
平面図形 → 半径・中心角から面積を求める → 弧と弦に囲まれた弓形は「おうぎ形−三角形」で表せる。複数の部分を足す問題では、同じ面積の三角形が加わる所と引かれる所を探すと消去できる。
この問題の見方：直径ABが6cmなので半径は3cmと確認し、上の120度と下の60度を見る。上と下に現れる三角形EOF、CODの面積が等しく、消せそうなことに注目する。
使う工夫：三角形の面積を実際に計算しない。上の色部分を「上半円−120度のおうぎ形＋三角形EOF」、下を「60度のおうぎ形−三角形COD」と表し、等しい三角形を消す。
段階ヒント
ヒント1：上の白い弓形は「120度のおうぎ形−三角形EOF」、下の色の弓形は「60度のおうぎ形−三角形COD」です。
ヒント2：三角形EOFとCODは、それぞれ半分に分けると同じ30度・60度・90度の直角三角形2つになるので面積が等しく、足し引きで消えます。残る角度分は180−120＋60度です。
完全解説
1. 半径は6÷2＝3cmです。 2. 上の色部分は、上半円から白い弓形を引くので「上半円−120度のおうぎ形＋三角形EOF」です。 3. 下は「60度のおうぎ形−三角形COD」です。2つの三角形は面積が等しいため消えます。 4. 残るのは180−120＋60＝120度分、つまり円の1/3です。 5. 3×3×3.14÷3＝9.42cm²です。
本番の書き方
三角形EOFとCODの面積は等しいので消去
色部分＝（180−120＋60）度のおうぎ形
3×3×3.14×120/360＝9.42cm²
答え：9.42cm²
検算：色部分は円の120/360＝1/3。円全体は3×3×3.14＝28.26cm²なので、28.26÷3＝9.42cm²となり、公式解答と一致する。
よくあるミス：上と下の弓形をどちらも「おうぎ形−三角形」とすること。上の色部分は上半円から白い弓形を引いた残りである。
次に見抜く印：円の色部分が複数あるときは、各部分を「半円・おうぎ形・三角形」で表し、同じ三角形が足し引きで消えないかを見る。
2024年度｜問17｜公式PDF p.7 未着手
定価の比と値上げ
割合・比 → 増減・移動で変わらない差や合計を使う → 2つの量に同じ金額を加えても、2つの量の差は変わらない。値上げ前後の比の差を同じ数にそろえると、比の1つ分と値上げ額を対応させられる。
この問題の見方：A、Bとも25円ずつ値上げしているので、AとBの価格差は値上げ前後で同じと見る。比7：5の差2と、比11：8の差3をそろえる。
使う工夫：差の消去と比をそろえる工夫を使う。7：5を3倍して21：15、11：8を2倍して22：16とすれば、同じ差6になり、両方が比の1つ分ずつ増えたと分かる。
段階ヒント
ヒント1：同じ25円を両方に足したので、Aの価格とBの価格の差は変わりません。
ヒント2：比の差を6にそろえると、値上げ前は21：15、値上げ後は22：16です。どちらも1つ分増えており、この1つ分が25円です。
完全解説
1. 値上げ前の比7：5の差は2、値上げ後の比11：8の差は3です。 2. 実際の価格差は変わらないので、差を6にそろえます。7：5を3倍して21：15、11：8を2倍して22：16です。 3. AもBも比の1つ分ずつ増えており、これが25円に当たります。 4. 値上げ前のAは21個分なので、25×21＝525円です。
本番の書き方
7：5＝21：15
11：8＝22：16
増えた1つ分＝25円
A＝25×21＝525円
答え：525円
検算：値上げ前はA525円、B375円で7：5。25円ずつ足すと550円と400円になり、550：400＝11：8。公式解答と一致する。
よくあるミス：7：5の1つ分を25円と考えること。25円は、差を同じ6にそろえた後に増えた1つ分である。
次に見抜く印：2つの量に同じ数を足した前後の比があれば、比の差をそろえて、増えた比の数と加えた量を対応させる。
2024年度｜問18｜公式PDF p.7 未着手
てこのつり合い
割合・比 → 等しい比・逆比で量をそろえる → てこがつり合うとき、左側の「重さ×支点からの距離」の合計と、右側の合計が等しい。支点から遠いおもりほど、小さい重さでも大きな働きをする。
この問題の見方：支点からの距離が、Aは左へ1m、Bは右へ1/3m、Cは右へ2/3mであることを問題文と図から確認する。
使う工夫：左側Aの働きから右側Bの働きを先に引き、Cが受け持つ働きだけを出す。その値をCまでの距離2/3mで割る。
段階ヒント
ヒント1：重さだけを比べず、A、B、Cそれぞれについて「重さ×支点からの距離」を考えます。
ヒント2：左側の働きは2×1、右側のBの働きは1×1/3です。Cの重さは、残りの働き（2−1/3）を距離2/3で割れば求められます。
完全解説
1. Aの働きは、2kg×1m＝2です。 2. Bの働きは、1kg×1/3m＝1/3です。 3. 右側が左側の2と等しくなるには、Cが2−1/3＝5/3の働きを受け持ちます。 4. Cは支点から2/3mの位置にあるので、重さは5/3÷2/3＝5/2＝2.5kgです。
本番の書き方
Aの働き＝2×1＝2
Cの働き＝2−1×1/3＝5/3
C＝5/3÷2/3＝2.5kg
答え：2.5kg
検算：右側は1×1/3＋2.5×2/3＝1/3＋5/3＝2で、左側の2×1＝2と等しい。つり合い、公式解答とも一致する。
よくあるミス：A、B、Cの重さだけを足し引きすること。てこでは、必ず支点からの距離を重さに掛ける。
次に見抜く印：支点と複数のおもりがある図を見たら、左右それぞれの「重さ×距離」をそろえる。
2024年度｜問19｜公式PDF p.7 未着手
川の流れとボートの速さ
速さ → 静水時の速さと流速を分ける → 静水時の速さはボート自身の速さであり、上りの速さは「静水時の速さ−川の流速」となる。まず道のりと時間から実際の上りの速さを求める。
この問題の見方：上流へ120mを3分で進んだので、実際の上りの速さがすぐ求められる。その速さと静水時の分速60mとの差を見る。
使う工夫：上りでは流れに逆らうため、流速分だけ遅くなる。120÷3で上りの速さを出し、静水時の速さ60から差し引く。
段階ヒント
ヒント1：流れのある川を上っているときの実際の速さを、120mと3分から求めます。
ヒント2：上りの速さは120÷3m/分です。「上りの速さ＝60−流速」なので、流速は60−（120÷3）で求められます。
完全解説
1. ボートが上流へ進んだ実際の速さは、120÷3＝分速40mです。 2. 流れのない所では分速60mなので、川では毎分20m分だけ遅くなっています。 3. 上りでは「ボート自身の速さ−川の流速」となるため、流速は60−40＝分速20mです。 4. この流れが毎分、進む向きと反対へ働いています。
本番の書き方
上りの速さ＝120÷3＝40m/分
流速＝60−40
＝分速20m
答え：分速20m
検算：流速を分速20mとすると、上りの速さは60−20＝分速40m。40×3＝120mとなり、問題の条件と公式解答に一致する。
よくあるミス：上流へ進む問題で、静水時の速さに流速を足すこと。上りでは流れに逆らうので流速を引く。
次に見抜く印：静水時の速さと上りの道のり・時間が示されたら、「静水時−上り＝流速」を使う。
2024年度｜問20｜公式PDF p.7 未着手
仕事の分担と日数
特殊算 → 全体の仕事量と1日あたりの仕事をそろえる → 仕事算では、全体の仕事量を完成日数の最小公倍数にすると、1日分を整数で表せる。担当者が替わるときは、先の人が終えた量を全体から引いて残りを求める。
この問題の見方：Aの12日とBの15日を見て、最小公倍数60を仕事全体と置く。するとAとBの1日分を小さな整数で比べられる。
使う工夫：分数の割り算を避け、全体を60仕事とする。Aは1日5仕事、Bは1日4仕事なので、Aが5日した後の残りをBの1日分4で割る。
段階ヒント
ヒント1：12と15の最小公倍数60を、仕事全体の量とします。
ヒント2：Aは1日60÷12、Bは1日60÷15の仕事をします。Aが5日で終える量を60から引き、残りをBの1日分で割ります。
完全解説
1. 仕事全体を12と15の最小公倍数60とします。 2. Aは1日に60÷12＝5、Bは1日に60÷15＝4の仕事をします。 3. Aは5日で5×5＝25を終えるので、残りは60−25＝35です。 4. Bに必要な日数は35÷4＝8と3/4日です。 5. 開始から5＋8と3/4＝13と3/4日後、つまり14日目に仕事が終わります。
本番の書き方
全体＝60、Aは1日5、Bは1日4
残り＝60−5×5＝35
Bは35÷4＝8と3/4日
5＋8と3/4＝13と3/4日後→14日目
答え：14日目
検算：Aの仕事は5×5＝25、Bの仕事は4×8と3/4＝35で、合計25＋35＝60になる。終了は13日を過ぎた14日目で、公式解答と一致する。
よくあるミス：合計13と3/4日を「13日目」と答えること。13日を終えた後の途中で完成するので、日数の数え方では14日目である。
次に見抜く印：「Aなら何日、Bなら何日」と仕事を引き継ぐ問題は、日数の最小公倍数を全体として、各人の1日分を出す。
2024年度｜問21｜公式PDF p.8 未着手
商品の定価
割合・比 → 原価・定価・利益・購入個数の関係 → 1割引きは、定価を10こ分としたときの9こ分です。「○円引き」は割合ではなく、その金額をそのまま引きます。
この問題の見方：「1割引き」と「300円引き」の違いを見ます。定価を10こ分にすると、3つの売値を同じ基準で比べられます。
使う工夫：定価を10こ分として整数の比で処理します。3つの売値を「10こ分、9こ分、10こ分−300円」とまとめるのが最短です。
段階ヒント
ヒント1：1割引きで売った2つ目は、定価10こ分のうち何こ分でしょう。
ヒント2：3つの売値の合計は「29こ分−300円」です。まず300円を売上合計へ戻します。
完全解説
①定価を10こ分とすると、1つ目は10こ分、1割引きの2つ目は9こ分です。②3つ目は定価の300円引きなので、10こ分−300円です。③合計は29こ分−300円＝3905円。したがって29こ分＝3905＋300＝4205円です。④1こ分は4205÷29＝145円なので、定価10こ分は145×10＝1450円です。
本番の書き方
29こ分−300＝3905
29こ分＝4205
4205÷29×10＝1450円
答え：1450円
検算：1450円の1割引きは1450×9÷10＝1305円、300円引きは1150円です。1450＋1305＋1150＝3905円となり、売上合計と公式解答の両方に一致します。
よくあるミス：1割引きを「定価の1割を払う」と考えることや、300円引きを3割引きのように割合で扱うことです。
次に見抜く印：同じ商品の定価・○割引き・○円引きが並んだら、定価を10こ分または100こ分にそろえます。
2024年度｜問22｜公式PDF p.8 未着手
長方形の紙で正方形
数の性質 → 周期の一致・敷き詰めと最小公倍数 → 同じ向きの長方形だけで正方形を作るとき、正方形の一辺は縦と横の長さの公倍数になります。最小の正方形には最小公倍数を使います。
この問題の見方：紙の縦10cmと横12cmが、正方形の一辺にそれぞれ何回ずつ入るかを見ます。「同じ向き」が重要です。
使う工夫：10と12の最小公倍数を一辺とし、縦方向と横方向の枚数を別々に求めて掛けます。
段階ヒント
ヒント1：正方形の一辺は、10でも12でも割り切れる長さでなければなりません。
ヒント2：10と12の最小公倍数を求め、その長さを10と12でそれぞれ割ります。
完全解説
①紙を同じ向きに並べるので、正方形の一辺は10cmのまとまりでも12cmのまとまりでも作れる必要があります。②10と12の最小公倍数は60だから、最小の正方形の一辺は60cmです。③縦には60÷10＝6枚、横には60÷12＝5枚並びます。④必要な紙は6×5＝30枚です。
本番の書き方
最小公倍数（10、12）＝60
60÷10＝6、60÷12＝5
6×5＝30枚
答え：30枚
検算：紙1枚の面積は10×12＝120cm²、30枚では120×30＝3600cm²です。正方形も60×60＝3600cm²となり、すきまなく一致します。
よくあるミス：10と12を足して22cmを一辺にすることや、一方向の枚数だけを答えることです。
次に見抜く印：同じ長方形を同じ向きに敷き詰めて「最も小さい正方形」を作る問題は、辺の最小公倍数を探します。
2024年度｜問23｜公式PDF p.8 未着手
トーナメントの試合数
場合の数・論理 → 真偽・最悪の場合・敗退数で考える → 引き分けのないトーナメントでは、1試合ごとに必ず1チームが敗退します。優勝チーム以外をすべて敗退させれば大会は終了します。
この問題の見方：16チームの組み合わせを描く前に、「優勝後に残るチームは1つ」「1試合で減るチームは1つ」に注目します。
使う工夫：各回の試合数を細かく追う代わりに、敗退するチーム数を数えます。最初の16チームから最後の1チームを引くだけです。
段階ヒント
ヒント1：優勝チームは一度も敗退しません。それ以外のチームは何チームありますか。
ヒント2：1試合で1チームが敗退するので、必要な試合数は「敗退するチーム数」と同じです。
完全解説
①参加する16チームのうち、最後まで残るのは優勝する1チームです。②残りの16−1＝15チームは、大会のどこかで1回ずつ敗退します。③引き分けがないため、1試合を行うたびに敗退チームがちょうど1つ決まります。④15チームを敗退させるには15試合必要です。
本番の書き方
敗退するチーム数
＝16−1
＝15試合
答え：15試合
検算：回ごとに数えても、1回戦8試合、次が4試合、準決勝2試合、決勝1試合です。8＋4＋2＋1＝15試合となります。
よくあるミス：16チームだから16試合とすることや、決勝までの4段階だけを数えることです。
次に見抜く印：「引き分けなしで優勝を決めるトーナメント」なら、試合数は参加チーム数−1です。
2024年度｜問24｜公式PDF p.8 未着手
傾けた直方体の水
立体図形 → 水位変化と押しのけた体積 → 同じ断面が奥まで続く立体の体積は、断面積×奥行きで求められます。45度に傾けた図では、縦と横が等しい直角二等辺三角形を見つけます。
この問題の見方：床につけた辺ABの長さ4cmと、ABに垂直な3cm×8cmの長方形断面を見ます。図2の上の空いた部分がどんな三角形かを考えます。
使う工夫：満水時の長方形断面から、こぼれて空になった直角二等辺三角形を引きます。断面積を先に確定し、最後に共通の奥行き4cmを1回だけ掛けます。
段階ヒント
ヒント1：45度まで傾けると、空いた部分は、2辺が3cmの直角二等辺三角形になります。
ヒント2：残る断面積は、3×8から3×3÷2を引いたものです。この断面が辺ABの4cm分続きます。
完全解説
①辺ABに垂直な断面は、横3cm、縦8cmの長方形で、面積は3×8＝24cm²です。②45度傾けると、上部に底辺3cm、高さ3cmの直角二等辺三角形が空きます。その面積は3×3÷2＝4.5cm²です。③水が残る断面積は24−4.5＝19.5cm²です。④この断面がABの4cm分続くので、水量は19.5×4＝78cm³です。
本番の書き方
残る断面積
＝3×8−3×3÷2＝19.5cm²
19.5×4＝78cm³
答え：78cm³
検算：満水時は3×8×4＝96cm³です。空いた部分は3×3÷2×4＝18cm³なので、96−18＝78cm³となり、別の引き算でも一致します。
よくあるミス：空いた三角形の高さを8cmにすることや、断面の奥行き4cmを掛け忘れることです。
次に見抜く印：容器を辺を床につけて傾ける問題では、その辺に垂直な断面を描き、「満水の断面−空いた部分」を考えます。
2024年度｜問25｜公式PDF p.9 未着手
平均点から未知の得点
特殊算 → 平均×個数で合計と差を求める → 平均点を基準にすると、平均より上の点数と下の点数の差は全体でつり合います。未知の1回分は、既知の点数の差を打ち消すように決まります。
この問題の見方：平均72点と、67、75、80、71の各点数との差を見ます。合計点を大きく計算する前に、72からの上下でまとめます。
使う工夫：72点を基準に差の消去を使います。4回分が平均より合計何点上かを出し、5回目を同じだけ下にします。
段階ヒント
ヒント1：67、75、80、71は、72点よりそれぞれ何点下または上でしょう。
ヒント2：平均との差は−5、＋3、＋8、−1です。この合計を打ち消す差が5回目に必要です。
完全解説
①平均72点を基準にすると、1回目は−5点、2回目は＋3点、3回目は＋8点、4回目は−1点です。②4回分の差の合計は−5＋3＋8−1＝＋5点です。③5回全部の平均を72点にするには、平均との差の合計が0になる必要があります。④したがって5回目は72点より5点低く、72−5＝67点です。
本番の書き方
平均との差
−5＋3＋8−1＝＋5
72−5＝67点
答え：67点
検算：5回分の合計は67＋75＋80＋71＋67＝360点です。360÷5＝72点となり、与えられた平均に戻ります。
よくあるミス：平均72点をそのまま5回目の点数にすることや、平均との差の＋と−を逆にすることです。
次に見抜く印：平均と一部の値から残りを求める問題で、数が平均の近くに集まっていたら、平均を基準にした差で考えます。
2024年度｜問26｜公式PDF p.9 未着手
白玉と黒玉の並べ方
場合の数・論理 → 選ぶ・並べる・同じ物を区別する → 同じ色の玉は入れ替えても新しい並べ方にはなりません。少ない方の色を置く位置だけ選ぶと、重複なく数えられます。
この問題の見方：白玉3個より少ない黒玉2個に注目します。横一列の5か所から、黒玉を置く2か所を選べば残りは自動的に白玉になります。
使う工夫：黒玉の1個目と2個目の位置を5×4で選び、選ぶ順序を逆にした重複を2で割ります。
段階ヒント
ヒント1：5か所のうち黒玉の場所が決まれば、白玉の場所を別に選ぶ必要はありません。
ヒント2：黒玉の位置を順番つきで選ぶと5×4ですが、同じ2か所を逆順でも数えています。
完全解説
①横一列に5つの場所を用意し、黒玉2個を置く場所を決めます。②1個目の場所は5通り、2個目は残る4通りなので、順番つきでは5×4＝20通りです。③しかし、例えば「2番目、4番目」と「4番目、2番目」は同じ配置です。すべて2回ずつ数えているため、20÷2＝10通りです。④残る3か所には白玉が入るので、これで全配置を数えられています。
本番の書き方
黒玉2個の位置を選ぶ
5×4÷2
＝10通り
答え：10通り
検算：左側の黒玉の位置を1、2、3、4番目とすると、もう1個の選び方は順に4、3、2、1通りです。4＋3＋2＋1＝10通りで一致します。
よくあるミス：白玉3個の並べ方もさらに掛けることや、黒玉を選ぶ順序の違いを別の配置として数えることです。
次に見抜く印：同じものを含む一列の並べ方は、少ない種類のものを置く位置だけ選べないか考えます。
2024年度｜問27｜公式PDF p.9 未着手
毎日の問題数
特殊算 → 全体の仕事量と1日あたりの仕事をそろえる → 同じ仕事を異なる速さで進める問題では、1日ごとの進みの差を使えます。終了日の差は、遅い方に残っている仕事量へ直します。
この問題の見方：毎日12題と8題の差は4題、終了日の差は8日です。「速い方が終わった日に、遅い方には何題残るか」を見ます。
使う工夫：方程式を使わず差集めで解きます。8日分の残りを、1日4題ずつできた差が何日で作るかを求めます。
段階ヒント
ヒント1：12題ずつの方が終わったとき、8題ずつの方には8日分の問題が残っています。
ヒント2：残りは8×8題です。毎日の進みの差12−8題で、この差がたまる日数を求めます。
完全解説
①12題ずつ解く方が終わった日には、8題ずつ解く方はあと8日必要です。②その残りは8×8＝64題です。③一方、12題ずつの方は毎日12−8＝4題ずつ多く進みます。64題の差ができるまでの日数は64÷4＝16日です。④問題集全体は12題を16日分なので、12×16＝192題です。
本番の書き方
遅い方の残り＝8×8＝64題
1日の差＝12−8＝4題
64÷4＝16日、12×16＝192題
答え：192題
検算：192÷12＝16日、192÷8＝24日です。24−16＝8日となり、問題文の終了日の差に一致します。
よくあるミス：8日の差をそのまま12題または8題に掛けて全体とすることや、毎日の差4題を使わないことです。
次に見抜く印：「1日あたりの量が違い、終わる日が○日違う」問題では、遅い方の残りと1日ごとの差を結びつけます。
2024年度｜問28｜公式PDF p.9 未着手
正方形の台の周りの人数
規則性 → 図形の増え方から個数・面積を求める → 正方形の周りでは、各辺の途中にいる人数と四隅の人数を分けると重複を防げます。外側へ1列増えるたび、各辺の途中が2人ずつ増えるため、全体では8人増えます。
この問題の見方：1列目の「1辺に3人」と、図の四隅にいる4人を分けて見ます。まず1列目が3×4＋4人になることを確認します。
使う工夫：1列目を正確に数え、1列増えるごとの差8人で4列目まで並べます。最後は最初と最後、中央の2つを組にして足します。
段階ヒント
ヒント1：1列目は各辺の途中に3人ずつと、四隅に1人ずついます。
ヒント2：1列目から順に16人、24人、32人、40人です。4列分を、同じ和になる2組にして足します。
完全解説
①1列目は各辺の途中に3人ずついるので3×4人、さらに四隅の4人を加えて3×4＋4＝16人です。②外側へ1列広がると、各辺の途中が2人ずつ増えるため、1列ごとの人数は全体で2×4＝8人増えます。③したがって1列目から4列目は16、24、32、40人です。④（16＋40）＋（24＋32）＝56＋56＝112人です。
本番の書き方
1列目＝3×4＋4＝16人
各列は8人ずつ増える
16＋24＋32＋40＝112人
答え：112人
検算：別にまとめると、16×4＋8×（0＋1＋2＋3）＝64＋48＝112人です。4列目だけでも3＋2×3＝9人が各辺の途中にいて、9×4＋4＝40人となります。
よくあるミス：四隅の人を各辺で二重に数えることや、4列目の40人だけを全人数として答えることです。
次に見抜く印：正方形の周囲に何列も並ぶ問題は、「最初の1列」と「1列増えるごとの差」を見つけます。
2024年度｜問29｜公式PDF p.10 未着手
水そうの排水管
特殊算 → 増える量と減る量の差を使う → 水が入りながら排水するとき、実際に減る量は「排水量−流入量」です。排水管を増やしても、水そうへ入る水は毎分10Lのままです。
この問題の見方：排水管1本で500Lが20分だから、見かけ上の減少は毎分25Lです。ただし、これは排水管そのものの能力ではないことに注意します。
使う工夫：最初に1本の排水管そのものの排水量を復元します。その後、2本分の排水量から流入10Lを1回だけ引きます。
段階ヒント
ヒント1：排水管1本を開いたとき、水そうの水は1分に500÷20Lずつ減っています。
ヒント2：1本の本当の排水量は、見かけの減少量に毎分10Lを戻した量です。2本分から流入10Lを引いて、新しい減少量を求めます。
完全解説
①排水管1本で500Lが20分でなくなるので、水そうの水は毎分500÷20＝25Lずつ減っています。②同時に毎分10L入るため、排水管1本は25＋10＝35Lを毎分排水しています。③2本では毎分35×2＝70Lを排水し、毎分10L入るので、実際の減少は70−10＝60Lです。④500÷60＝25/3分＝8と1/3分で空になります。
本番の書き方
500÷20＝25L/分
1本の排水量＝25＋10＝35L/分
35×2−10＝60L/分
500÷60＝8と1/3分
答え：8と1/3分
検算：8と1/3分は25/3分です。正味の減少量は60×25/3＝500Lとなり、初めの水量と一致します。
よくあるミス：1本使用時の正味25Lをそのまま2倍して毎分50Lとすることです。流入10Lは管の本数が増えても1回分しかありません。
次に見抜く印：水そうに「注がれ続ける」とある給排水問題では、観測された減少量から流入分を戻して、管そのものの能力を求めます。
2024年度｜問30｜公式PDF p.10 未着手
中央値の可能性
データの整理 → 小さい順の中央の値・範囲を調べる → 5個のデータの中央値は、小さい順に並べた3番目の数です。未知の数がどの区間に入るかで場合分けすると、無数の整数を一つずつ調べる必要はありません。
この問題の見方：決まっている4つを8、14、17、22の順に見て、中央をはさむ14と17に注目します。空欄がこの間に入るか、外側に入るかを考えます。
使う工夫：空欄を「14以下」「15」「16」「17以上」に分けます。整数という条件を使い、14と17の間では15と16だけを調べます。
段階ヒント
ヒント1：空欄が14以下なら、並べたときの3番目は14です。空欄が17以上なら、3番目は17です。
ヒント2：14より大きく17より小さい整数は15と16だけです。それぞれを空欄へ入れたときの3番目も確かめます。
完全解説
①空欄が0から14までなら、並べた5個の3番目は14なので、中央値は14です。②空欄が15なら並びは8、14、15、17、22となり、中央値は15です。③空欄が16なら中央値は16です。④空欄が17以上なら、8、14の次には17が来るため、中央値は17です。したがって可能な中央値は14、15、16、17の4通りです。
本番の書き方
□≦14 → 14
□＝15、16 → 15、16
□≧17 → 17
よって4通り
答え：4通り
検算：実例として空欄を0、15、16、22にすると、中央値は順に14、15、16、17になります。4つすべて実現し、それ以外は14と17の外側で増えません。
よくあるミス：空欄が18、19、20、21のとき、その空欄の数が中央値になると考えることや、並べ替えずに元の3番目の17だけを見ることです。
次に見抜く印：奇数個の中央値に未知数がある問題では、固定された数を並べ、中央付近の2数を境目にして場合分けします。
2024年度｜問31｜公式PDF p.10 未着手
記号の並びの星の個数
規則性 → 繰り返しの長さと余りで位置を決める → 同じ記号の並びが一定の個数ごとに繰り返されるとき、1周期の記号の個数と、周期内の目的の記号の個数を調べます。
この問題の見方：並びを5個ずつ区切り、「○☆☆○○」が繰り返されていることと、1周期の星の数を見る。
使う工夫：37を5で割り、完全な周期と余りに分けて数える。
段階ヒント
ヒント1：1周期は5個で、その中に星は2個あります。
ヒント2：37個では、5個の周期が7つでき、あと2個残ります。
完全解説
並びを5個ずつ区切ると、1周期は「○☆☆○○」で、星は2個です。37個には、5個の周期が7つあり、35個まで進みます。ここまでの星は2×7=14個です。残りの36個目、37個目は「○☆」なので、星がさらに1個あります。したがって、星の個数は14+1=15個です。
本番の書き方
37÷5=7あまり2
2×7+1=15
残り「○☆」の星を1個加える。
答え：15個
検算：8周期目の最初の2個は「○☆」なので、37個目は星です。14個+1個で15個となり、公式解答の15個と一致します。
よくあるミス：余り2個を「☆☆」と考えたり、完全な周期を8つ分数えたりしない。
次に見抜く印：同じ記号列が何度も繰り返され、何番目までの個数を聞かれたら、周期で割って考える。
2024年度｜問32｜公式PDF p.10 未着手
長方形の辺の長さと面積の増加
平面図形 → 底辺比・高さ比から面積や辺の比を求める → 縦と横の比が1:2なら、縦を基準の長さとしたとき横はその2倍です。長方形の辺を両方伸ばした面積の増加は、増えた部分に分けて考えられます。
この問題の見方：縦をxcm、横を2xcmと置き、縦1cm・横2cmの増加部分を3つに分けて見る。
使う工夫：増えた面積を、縦の帯・横の帯・角の小長方形に分け、分配法則でまとめる。
段階ヒント
ヒント1：元の長方形は縦xcm、横2xcmです。
ヒント2：増えた部分は、2x+x×2+1×2で表せます。
完全解説
縦をxcmとすると、横は2xcmです。縦を1cm、横を2cm伸ばしたときの増加部分は、縦側の帯が1×2x=2x、上側の帯がx×2=2x、角の部分が1×2=2cm²です。増加面積50cm²なので、2x+2x+2=50。よって4x=48、x=12です。求める元の縦の長さは12cmです。
本番の書き方
縦=x、横=2x
増加面積=2x+2x+2=50
4x=48、x=12
答え：12cm
検算：縦12cm、横24cmなら、元の面積は288cm²、伸ばした後は13×26=338cm²です。338-288=50cm²で条件に合います。
よくあるミス：横をx+2cmとせず、元の横が2xcmであることを忘れない。また、角の2cm²を二重に数えない。
次に見抜く印：辺の比が示され、縦横を伸ばした後の面積の増加が与えられたら、増えた部分を帯に分ける。
2024年度｜問33｜公式PDF p.11 未着手
2でも3でも割り切れない整数の200番目
規則性 → 繰り返しの長さと余りで位置を決める → 2でも3でも割り切れない整数は、2と3の最小公倍数である6個を1周期として同じ現れ方をします。1から6では1と5の2個です。
この問題の見方：2と3の最小公倍数6に注目し、1〜6の中で条件を満たす数を確認する。
使う工夫：200個を、1周期2個のまとまりと、最後の数個に分ける。
段階ヒント
ヒント1：1から6まででは、条件を満たすのは1と5です。
ヒント2：198個分は99周期で、99×6=594までに対応します。
完全解説
6個ごとに見ると、どのまとまりにも条件を満たす数が2個あります。99周期では、2×99=198個になり、範囲は1から594までです。次の595は2でも3でも割り切れないので199番目です。596は2の倍数、597は3の倍数、598は2の倍数です。次の599が条件を満たすため、200番目は599です。
本番の書き方
1周期6個に2個
2×99=198、99×6=594
595が199番目、599が200番目
答え：599
検算：595÷2、595÷3、599÷2、599÷3はいずれも割り切れません。594までに198個、595と599を加えて200個です。
よくあるミス：595の次を597としてしまう。597は各位の和が21なので3の倍数です。
次に見抜く印：「2でも3でも」のように複数の倍数条件が出たら、最小公倍数6を周期として調べる。
2024年度｜問34｜公式PDF p.11 未着手
うるう年の日付と曜日
規則性 → 7日周期とうるう年を数える → 曜日は、経過した日数を7で割った余りだけ進みます。2024年はうるう年なので、2月は29日です。
この問題の見方：1月31日から6月1日までに経過する日数と、2月29日を確認する。
使う工夫：月ごとの日数を足してから7で割り、曜日を3日分進める。
段階ヒント
ヒント1：2月、3月、4月、5月の日数は29、31、30、31日です。
ヒント2：1月31日から6月1日までの経過日数は122日です。
完全解説
1月31日を出発点として、2月1日までに1日、2月29日までに29日、そこから3月31日、4月30日、5月31日、6月1日まで進みます。したがって経過日数は29+31+30+31+1=122日です。122を7で割ると17あまり3なので、水曜日から3日後を考えます。木曜日、金曜日、土曜日の順に進み、6月1日は土曜日です。
本番の書き方
29+31+30+31+1=122
122÷7=17あまり3
水曜の3日後＝土曜
答え：土曜日
検算：1月31日水曜の翌日は2月1日木曜です。月初を順に追うと、6月1日は土曜日となり、公式解答と一致します。
よくあるミス：2024年を平年として2月を28日で計算しない。また、1月31日を経過日数に二重に入れない。
次に見抜く印：日付と曜日の問題でうるう年が指定されたら、まず2月の日数を29日に直す。
2024年度｜問35｜公式PDF p.11 未着手
父母と子の年齢の和
特殊算 → 変わらない年齢差と年齢の比を使う → 年齢は1年に1歳ずつ増減します。父母2人の年齢の合計は、4年前には現在より4×2=8歳少なくなります。
この問題の見方：子の現在の年齢をx歳とし、現在の父母の合計6xと4年前の子の年齢x-4を比べる。
使う工夫：父母2人分の減少8歳を使い、現在の合計を4年前の合計に変換する。
段階ヒント
ヒント1：現在の子をx歳とすると、父母の合計は6x歳です。
ヒント2：4年前の父母の合計は6x-8歳、子はx-4歳です。
完全解説
子の現在の年齢をx歳とします。現在の父母の年齢の合計は、子の6倍なので6x歳です。4年前には父も母も4歳若くなるため、合計は8歳減って6x-8歳になります。一方、4年前の子はx-4歳で、その8倍が父母の合計です。よって6x-8=8×(x-4)。これを整理すると2x=24となり、x=12です。
本番の書き方
子=x歳
6x-8=8(x-4)
2x=24、x=12
答え：12才
検算：子が12歳なら、現在の父母の合計は72歳です。4年前は合計64歳、子は8歳で、8×8=64となり条件に合います。
よくあるミス：父母2人分の年齢の減少を4歳としてしまわない。4年前には合計で8歳減ります。
次に見抜く印：複数人の年齢の合計と、何年前の何倍という条件が出たら、人数分の年齢の変化をまとめる。
2024年度｜問36｜公式PDF p.11 未着手
L字形を回転してできる立体の表面積
立体図形 → 回転軸から半径と立体の形を決める → 図形を直線の周りに回転すると、断面の横の長さが円柱の高さ、直線からの距離が円柱の半径になります。表面積では、外側の側面だけでなく、端面と段差の円環も数えます。
この問題の見方：図形を高さ1cm・半径2cmの円柱と、高さ1cm・半径1cmの円柱に分ける。
使う工夫：円柱の側面、左右の円、半径2cmと1cmの間の円環を分けて合計する。
段階ヒント
ヒント1：側面積は2πrh、円の面積はπr²です。
ヒント2：側面は4π+2π、端面と段差は4π+π+(4π-π)です。
完全解説
図形を回転すると、半径2cm・高さ1cmの円柱と、半径1cm・高さ1cmの円柱がつながった形になります。外側の側面積は2π×2×1+2π×1×1=6πです。左端の円は4π、右端の円はπです。2つの円柱の境目には、半径2cmから半径1cmを除いた円環があり、面積は4π-π=3πです。したがって表面積は6π+4π+π+3π=14π=43.96cm²です。
本番の書き方
側面：4π+2π=6π
端面・段差：4π+π+3π=8π
14π=14×3.14=43.96
答え：43.96cm²
検算：すべての外側の面を、側面6π、左端4π、右端π、段差3πに分けると合計14πです。π=3.14で43.96cm²となり、公式解答と一致します。
よくあるミス：段差の円環3πを落としたり、半径1cmの円を段差と端面の両方で二重に数えたりしない。
次に見抜く印：直角に折れた断面を直線の周りに回す問題では、段のある円柱に置き換えて各面を数える。
2024年度｜問37｜公式PDF p.12 未着手
分数の間に入る整数の個数
計算・単位 → 通分・1との差で分数を比較する → 正の数を両辺に掛けても不等号の向きは変わりません。中央の分数を整数nとし、nの範囲を求めてから整数だけを数えます。
この問題の見方：17/45<n/210<23/56の中央にあるnを求めるため、両辺に210を掛ける。
使う工夫：分母を無理にそろえず、中央の分母210を利用してnの範囲を直接出す。
段階ヒント
ヒント1：左側からはn>210×17/45、右側からはn<210×23/56です。
ヒント2：範囲は238/3<n<345/4となります。
完全解説
不等式の全体に210を掛けると、210×17/45<n<210×23/56です。計算すると238/3<n<345/4、つまり79と1/3<n<86と1/4となります。この間にある整数は80、81、82、83、84、85、86です。端の79は小さすぎ、87は大きすぎるため入りません。したがって整数は7個あります。
本番の書き方
238/3<n<345/4
80≤n≤86
86-80+1=7
答え：7個
検算：80から86までを代入すると、最小の80は左の分数より大きく、最大の86は右の分数より小さいです。範囲内の整数を7個すべて確認できます。
よくあるミス：79や87を含めたり、整数の個数を86-80=6個として1を足し忘れたりしない。
次に見抜く印：分数の間に入る整数の個数を聞かれたら、まず中央の整数を不等式で挟む。
2024年度｜問38｜公式PDF p.12 未着手
3人の年齢の比
特殊算 → 変わらない年齢差と年齢の比を使う → 「年齢×分数」が同じとき、年齢の比は分数の逆比になります。分母の最小公倍数を使うと、分数を整数比に直せます。
この問題の見方：2/3、3/4、6/7を年齢に掛けた値が同じことに注目し、各分数の逆比を考える。
使う工夫：分母の最小公倍数6を共通の値として、3人の年齢を9、8、7の形で表す。
段階ヒント
ヒント1：共通の値を6とすると、友子・町子・三太郎の年齢をそれぞれ求められます。
ヒント2：年齢はそれぞれ6÷(2/3)、6÷(3/4)、6÷(6/7)です。
完全解説
3人について、年齢にそれぞれ2/3、3/4、6/7を掛けた値が同じです。共通の値を6と考えると、友子の年齢は6÷(2/3)=9、町子は6÷(3/4)=8、三太郎は6÷(6/7)=7となります。実際の共通の値が6でなくても、年齢の比は変わりません。したがって、友子：町子：三太郎は9：8：7です。
本番の書き方
逆比を使う
(2/3):(3/4):(6/7)の逆比
9:8:7
答え：9：8：7
検算：9×2/3=6、8×3/4=6、7×6/7=6となり、3つの値が同じです。条件を満たす比なので、公式解答と一致します。
よくあるミス：2/3：3/4：6/7をそのまま年齢の比にしない。年齢は分数の逆比になります。
次に見抜く印：それぞれの年齢に異なる分数を掛けた値が等しいときは、分数の逆比を作る。
2024年度｜問39｜公式PDF p.12 未着手
動く直角二等辺三角形と長方形の重なり
平面図形 → 回転・転がり・移動でできる面積や角度 → 直角二等辺三角形では、2本の直角をはさむ辺が等しいため、斜辺の傾きは横1cmにつき高さ1cmです。移動後は、重なり部分を三角形と長方形に分けます。
この問題の見方：三角形の16秒後の移動距離16cmと、図の底辺10cm・長方形の横15cmを重ねて見る。
使う工夫：重なりのうち、斜辺が上がる三角形部分と、長方形いっぱいの部分に分割する。
段階ヒント
ヒント1：三角形の左端は16cm移動し、長方形の右端までの重なりの横幅を考えます。
ヒント2：高さ6cmに達するまでの横幅は6cm、その後の横幅は15-6-6=3cmです。
完全解説
三角形は16秒で16cm右へ動きます。図の位置関係から、重なりは三角形の左端から長方形の右端までです。斜辺は横1cmで高さ1cm上がるので、長方形の高さ6cmに達するまでの横幅は6cmです。その部分は底辺6cm、高さ6cmの三角形で、面積は6×6÷2=18cm²です。長方形の残りの横幅は15-6-6=3cmなので、面積は3×6=18cm²。合計36cm²です。
本番の書き方
三角形部分：6×6÷2=18
長方形部分：3×6=18
18+18=36
答え：36cm²
検算：重なり全体の横幅は6+3=9cmです。高さが0から6まで増える三角形部分と、高さ6の長方形部分に分けると、18+18=36cm²となります。
よくあるミス：三角形全体や長方形全体の面積を重なりとしたり、高さ6cmに達した後も三角形として計算したりしない。
次に見抜く印：図形が一定速度で動き、重なりを聞かれたら、移動距離を先に図へ書き、境界で三角形・長方形に分ける。
2024年度｜問40｜公式PDF p.13 未着手
循環小数の加法
計算・単位 → 循環小数を分数に直す → 0.111…は1/9、0.010101…は1/99なので、循環小数をその整数倍として分数に直せます。分数に直した後は通分して計算します。
この問題の見方：0.666…を0.111…の6倍、0.151515…を0.010101…の15倍として見る。
使う工夫：与えられた1/9と1/99を使い、先に各循環小数を分数にしてから通分する。
段階ヒント
ヒント1：0.666…=6×0.111…、0.151515…=15×0.010101…です。
ヒント2：それぞれ6/9と15/99に直し、最後に分母33でそろえます。
完全解説
0.666…は0.111…の6倍なので、6×1/9=6/9=2/3です。0.151515…は0.010101…の15倍なので、15×1/99=15/99=5/33です。分母を33にそろえると、2/3=22/33となります。したがって、求める和は22/33+5/33=27/33です。最後に3で約分して9/11となります。
本番の書き方
0.666…=6/9=2/3
0.151515…=15/99=5/33
2/3+5/33=22/33+5/33=9/11
答え：9/11
検算：9/11=0.818181…です。0.666…+0.151515…も0.818181…となるため、計算結果と小数の概算が一致します。
よくあるミス：0.151515…を15/100としない。2桁の循環小数は15/99として表します。
次に見抜く印：循環小数の形が1/9や1/99の小数倍になっていたら、与えられた分数を利用して分数に直す。
2024年度｜問41｜公式PDF p.13 未着手
買い物と親からもらったお金
特殊算 → 最後の残りから操作を逆向きに戻す → 割合で何度もお金が増減する問題は、最後の金額から順に逆算すると整理しやすい。使った金額を戻し、残った割合から元の金額を求める。
この問題の見方：最後の100円に、直前に使った500円を戻し、さらに「3分の1を使った後」という操作を逆にたどる。
使う工夫：割合の操作を、最後から逆向きに戻す。分数の計算では、先に使った金額を足してから、残った割合で割る。
段階ヒント
ヒント1：最後の100円に500円を戻すと、その前に残っていた金額が分かる。
ヒント2：戻した600円は、直前の所持金の3分の2。さらに親からもらった同額と、1店目で使った300円を逆に戻す。
完全解説
最後に100円残ったところから逆に考える。まず使った500円を戻すと600円。この600円は、その直前の所持金の3分の2なので、直前は600÷2×3=900円。これは親から同額をもらった後だから、親からもらう前は900÷2=450円。1店目の後が450円なので、使う前の4分の3は450+300=750円。したがって最初は750÷3×4=1000円。
本番の書き方
100+500=600→600÷2×3=900→900÷2=450→(450+300)÷3×4=1000。
答え：1000円
検算：公式解答の1000円と一致する。1000円なら、1店目後は1000×3/4−300=450円、同額をもらって900円。そこから300円と500円を使うと100円残る。
よくあるミス：1店目で使った300円を割合の計算に含め忘れたり、親からもらった同額を足すだけでなく、逆算では半分に戻すことを忘れたりしない。
次に見抜く印：割合で減る操作と一定額の出費が交互に出てきたら、最後の金額から逆算する問題。
2024年度｜問42｜公式PDF p.13 未着手
りんご・みかん・梨の買い方
場合の数・論理 → 同じ物の分け方を漏れなく数える → 3種類をそれぞれ1個以上買うときは、まず各1個を確保し、残りを分ける。残りの個数を1種類ずつ決めると重複なく数えられる。
この問題の見方：りんご・みかん・梨を各1個ずつ取ると、残りは3個になる。追加分の分け方を数える。
使う工夫：りんごの個数を1個、2個、3個、4個と順に固定し、そのたびにみかんと梨の組合せを数える。
段階ヒント
ヒント1：最初に3種類を1個ずつ買うと、残り3個を分ける問題になる。
ヒント2：りんごが元の個数で1〜4個のとき、みかんと梨の選び方はそれぞれ4、3、2、1通り。
完全解説
各種類を1個ずつ確保すると、残りは3個になる。りんごの追加を0個、1個、2個、3個とすると、みかんと梨への追加の分け方はそれぞれ4通り、3通り、2通り、1通りある。したがって4+3+2+1=10通り。これは、元のりんごの個数を1個から4個まで決めて数える方法と同じで、各種類を必ず1個以上買う条件も満たしている。
本番の書き方
各1個で3個→残り3個。りんご1〜4個のとき、他2種類は4,3,2,1通り→4+3+2+1=10。
答え：10通り
検算：公式解答の10通りと一致する。りんごの個数ごとの場合数を合計すると、4+3+2+1=10で、合計6個かつ3種類すべて1個以上になっている。
よくあるミス：ある種類を0個にしてしまったり、りんご・みかん・梨の順序を変えただけの同じ買い方を重複して数えたりしない。
次に見抜く印：合計個数が決まり、各種類を少なくとも1個買う場合は、1個ずつ先に確保して残りを分配する。
2024年度｜問43｜公式PDF p.13 未着手
逆さ円すいに水を入れる
立体図形 → 底面積比×高さ比で体積を比べる → 同じ頂点をもつ相似な円すいでは、長さの比がkなら体積比はkの3乗になる。水の深さと容器全体の深さの比から水量を求める。
この問題の見方：水の深さ3cmと容器全体の深さ9cmを比べる。逆さ円すいの水の部分も全体と相似である。
使う工夫：深さの比を求め、体積比はその3乗にする。4秒後の水量から満水までの全時間を出し、最後に4秒を引く。
段階ヒント
ヒント1：水の円すいと容器全体の相似比は、深さ3cmと9cmから分かる。
ヒント2：長さの比が1:3なら体積比は1:27。4秒で全体の27分の1が入る。
完全解説
水の深さ3cmと容器の深さ9cmの比は1:3。水の部分は容器全体と相似な円すいなので、半径の比も1:3、体積比は1の3乗:3の3乗=1:27となる。4秒で全体の27分の1が入るから、満水までには4×27=108秒かかる。問題は4秒後からあと何秒かを聞いているので、108−4=104秒。
本番の書き方
深さ3:9=1:3→体積比1:27→満水まで4×27=108秒→あと108−4=104秒。
答え：104秒
検算：公式解答の104秒と一致する。4秒後の水量は全体の1/27なので、残りは26/27、時間にすると104秒分である。
よくあるミス：体積比を1:3のままにしたり、満水までの108秒をそのまま答えて、4秒後からの残り時間を引き忘れたりしない。
次に見抜く印：円すい・円柱などで水の高さが変わり、同じ形の一部になっているときは、体積比を長さの比の3乗で考える。
2024年度｜問44｜公式PDF p.14 未着手
箱に入れるえんぴつの本数
特殊算 → 配り方による余り・不足の差を使う → 同じ本数を箱に入れる方法が2通りあるとき、箱に入った本数と余った本数を合わせて全体を表す。箱数の差を使うと差が消えて求めやすい。
この問題の見方：箱Aは箱Bより5箱多い。Aに入らない43本、Bに入らない31本を、箱に入った本数に足して全体を比べる。
使う工夫：箱Bを基準にし、Aの箱数を5箱多い形で表す。2つの全体が同じなので、差を取って箱Bの数を求める。
段階ヒント
ヒント1：余った43本・31本は、どちらも箱に入った本数に足すと全体になる。
ヒント2：箱Bをx箱とすれば、Aの場合は24(x+5)+43、Bの場合は36x+31で同じ全体。
完全解説
箱Bをx箱とすると、箱Aはx+5箱。Aに入れたときの全体は、24本入りの箱がx+5箱と余り43本なので24(x+5)+43本。Bに入れたときは36x+31本である。同じえんぴつの総数だから両方を等しくする。整理すると12x=132、x=11。箱Aは16箱なので、24×16+43=427本となる。
本番の書き方
Bをx箱、Aをx+5箱→24(x+5)+43=36x+31→12x=132→x=11→24×16+43=427。
答え：427本
検算：公式解答の427本と一致する。24×16+43=427、36×11+31=427で、どちらの入れ方でも同じ本数になる。
よくあるミス：入らない本数を全体から引いてしまったり、箱Aが5箱多いのにx−5箱としてしまったりしない。
次に見抜く印：「同じ物を別の大きさの箱に入れる」「余る本数」「箱数の差」がそろったら過不足算。
2024年度｜問45｜公式PDF p.14 未着手
円周上を動く2点
速さ → 円周上の出会い・追いつきを考える → 反対方向に進む2点の相対速度は、それぞれの速さの和になる。直径になるのは、2点の離れ方が半周の奇数倍になったときである。
この問題の見方：Pは10秒で1周、Qは12秒で1周し、反対方向なので1秒ごとの離れ方の増加を足し算する。
使う工夫：円周を1とし、相対速度を求める。直径になる半周分を1回目から並べ、5回目の半周数を使う。
段階ヒント
ヒント1：相対速度は1/10+1/12周/秒。直径になる条件は、半周、1周半、2周半…である。
ヒント2：5回目の相対的な移動距離は9/2周。時間は、距離を相対速度で割って求める。
完全解説
1秒でPは円周の1/10、Qは1/12進む。反対向きなので、2点の離れ方は1秒に1/10+1/12=11/60周ずつ増える。直径になるのは離れ方が半周、1周半、2周半、3周半、4周半となるときで、5回目は9/2周。したがって時間は9/2÷11/60=270/11=24と6/11秒。
本番の書き方
相対速度1/10+1/12=11/60周/秒→5回目は9/2周→時間=(9/2)÷(11/60)=270/11秒。
答え：24と6/11秒後
検算：公式解答の24と6/11秒後と一致する。その時刻の相対移動量は(11/60)×(270/11)=9/2周で、5回目の直径条件になる。
よくあるミス：反対方向なのに速さを引いたり、5回目を5/2周としてしまったりしない。最初の半周が1回目である。
次に見抜く印：円周上を反対向きに動く点で、出会い・直径・同じ位置などを問われたら相対速度と周期を使う。
2024年度｜問46｜公式PDF p.14 未着手
4つの数の条件
数の性質 → 因数・等式の条件から整数を絞る → 複数の式がすべて等しいとき、共通の数を1つ置くと、各数をその共通値で表せる。割り算や掛け算の向きを正確に読み取る。
この問題の見方：A+4、B−4、4C、D÷4がすべて同じ数であることに注目し、共通値からA〜Dを逆算する。
使う工夫：共通の値を□と置き、A〜Dを□で表す。4数の合計175に代入し、共通値を決める。
段階ヒント
ヒント1：Aは共通値から4を引き、Bは4を足す。CとDは掛け算・割り算を逆に戻す。
ヒント2：A=□−4、B=□+4、C=□÷4、D=□×4として、4数の和を175にする。
完全解説
A+4、B−4、4C、D÷4が同じ数になるので、その共通の数を□とする。するとAは□から4を引いた数、Bは□に4を足した数、Cは□を4で割った数、Dは□の4倍である。4数の合計は175だから、□−4+□+4+□÷4+□×4=175。□の25/4倍が175なので□=28、A=28−4=24。
本番の書き方
共通値を□→A=□−4,B=□+4,C=□÷4,D=□×4→和175→□=28→A=24。
答え：24
検算：公式解答の24と一致する。A=24、B=32、C=7、D=112で合計175。またA+4=B−4=4C=D÷4=28となる。
よくあるミス：D÷4を4D、4CをC÷4としてしまったり、A+4=□からAを□+4としてしまったりしない。
次に見抜く印：いくつかの数を足す・引く・掛ける・割る式がすべて等しいときは、共通値を置いて逆算する。
2024年度｜問47｜公式PDF p.14 未着手
0〜4の数字だけを使う整数
場合の数・論理 → カード・さいころの並べ方を条件で分ける → 使える数字が限られた整数を順番に並べるときは、桁数ごとに個数を数える。最上位の桁だけ0を使えない点と、上限の数での分割に注意する。
この問題の見方：2024が4桁なので、1〜3桁を先に数え、4桁は1000〜1999と2000〜2024に分ける。
使う工夫：桁数別に数え、4桁部分では2024以下になるよう千の位・百の位を固定して場合分けする。
段階ヒント
ヒント1：1桁は4個、2桁は4×5個、3桁は4×5×5個。先頭には0を置けない。
ヒント2：4桁は1000〜1999が125個。2000〜2024では、2000〜2004、2010〜2014、2020〜2024を数える。
完全解説
1桁は1〜4の4個。2桁は十の位4通り、一の位5通りで20個、3桁は4×5×5=100個。ここまでで124個。4桁のうち1000〜1999は、下3桁を0〜4から選べるので125個。2000〜2024では2000〜2004、2010〜2014、2020〜2024の3組だけで15個。合計124+125+15=264個目。
本番の書き方
1桁4→2桁20→3桁100→1000台125→2000〜2024は15→合計4+20+100+125+15=264。
答え：264番目
検算：公式解答の264番目と一致する。2024以下で条件に合う数は合計264個なので、2024は並べたときの264番目になる。
よくあるミス：先頭に0を置く数を数えたり、2005や2015のように使えない数字5を含む数、または2024より大きい数を入れたりしない。
次に見抜く印：使える数字が限定され、ある数が何番目かを問われたら、桁数ごとに数えて上限付近を分ける。
2024年度｜問48｜公式PDF p.15 未着手
AとBの量の入れ替え
割合・比 → 増減・移動で変わらない差や合計を使う → 量の一部を互いに移した後の量は、残った分と受け取った分を足して表す。全体量が変わらないので、一方が元の相手の量になれば比を決められる。
この問題の見方：Aから3分の1を出すのでAには3分の2が残り、そこへBの4分の1が入る。入れ替え後のAが元のBになる。
使う工夫：元のA、Bを文字で表し、移動後のAを「残り＋受け取った量」で表す。比が出るように分母をそろえる。
段階ヒント
ヒント1：移動後のAは、元のAの2/3と元のBの1/4の合計。
ヒント2：その量が元のBに等しいので、2A/3+B/4=Bとして、分数をなくして比を求める。
完全解説
AからAの3分の1を出すのでA側には元の2/3が残り、そこへBの1/4が入る。入れ替え後にAの量が元のBと同じになるから、2A/3+B/4=B。全体量は変わらないため、A側だけを使えば十分である。B/4を右辺に移すと2A/3=3B/4、両辺を12倍して8A=9B。したがってA:B=9:8。
本番の書き方
移動後A=2A/3+B/4=B→2A/3=3B/4→8A=9B→A:B=9:8。
答え：9:8
検算：公式解答の9:8と一致する。A=9、B=8とすると、移動後Aは6+2=8、移動後Bは6+3=9で、量がちょうど入れ替わる。
よくあるミス：Aから移す量を3分の2としたり、Bから受け取る量をBの4分の3としたりしない。移す量と残る量を区別する。
次に見抜く印：2つの量から割合で一部を移し、移動後に「入れ替わる」「等しくなる」ときは、残りと受け取りを式にする。
2024年度｜問49｜公式PDF p.15 未着手
道路上の赤色・黄色ポール
特殊算 → 間隔数と個数・両端の有無を区別する → 長さL mの道に、両端を除いてd m間隔でポールを立てると、個数はL÷d−1本になる。個数の差では、両方の「−1」が消える。
この問題の見方：赤は4m、黄色は5m間隔で、どちらも道路の両端には立てない。個数を長さ÷間隔から1引いて表す。
使う工夫：道路の長さを□mと置き、赤色と黄色の本数の差を式にする。4と5の差ではなく、1/4と1/5の差を使う。
段階ヒント
ヒント1：赤色は□÷4−1本、黄色は□÷5−1本。両端を除くため、それぞれ1を引く。
ヒント2：差を取ると−1が消え、□÷4−□÷5=98になる。分母をそろえて□を求める。
完全解説
道路の長さを□mとする。4mごとなら区切りの数は□÷4だが、両端のポールを置かないため赤色は□÷4−1本。同様に黄色は□÷5−1本。赤色が98本多いので、（□÷4−1）−（□÷5−1）=98となり、両端を除く−1が消える。□÷20=98より□=1960。
本番の書き方
赤□÷4−1、黄□÷5−1→差□÷4−□÷5=98→□÷20=98→□=1960m。
答え：1960m
検算：公式解答の1960mと一致する。赤色は1960÷4−1=489本、黄色は1960÷5−1=391本で、差は98本。
よくあるミス：両端を除くための−1を忘れたり、赤色の本数を□÷4+1としてしまったりしない。
次に見抜く印：一定間隔で物を並べ、両端を置く・置かない条件と個数の差が出たら植木算。
2024年度｜問50｜公式PDF p.15 未着手
3つの数の組合せ積
数の性質 → 因数・等式の条件から整数を絞る → 3つの数の2数ずつの積が分かるとき、2つの積を掛けて別の積で割ると、ある数の2乗を作れる。積の大きさから各数の組合せを対応させる。
この問題の見方：積126、168、192を小さい順に並べ、最小の数がどの2つの積に共通しているかを見る。
使う工夫：3数を小さい順に置き、最小の数が入る2つの積を掛け、残りの積で割って平方根を求める。
段階ヒント
ヒント1：小さい数は、126と168の両方に含まれる。192は大きい2数の積になる。
ヒント2：最小の数をaとすると、a²=(126×168)÷192。最後に平方根を取る。
完全解説
3数を小さい順にa、b、cとすると、積もab<ac<bcの順になるので、ab=126、ac=168、bc=192。最小のaを求めるため、(ab)×(ac)÷(bc)を作る。aが2回、bとcが1回ずつ現れるので、これはa×a=a²になる。a²=126×168÷192=110.25。10.5×10.5=110.25だから、a=10.5。
本番の書き方
a²=(ab×ac)÷bc=126×168÷192=110.25→a=√110.25=10.5。
答え：10.5
検算：公式解答の10.5と一致する。10.5×12=126、10.5×16=168、12×16=192となり、3つの積をすべて再現できる。
よくあるミス：積の対応を取り違えたり、110.25をそのまま答えたりしない。求めたのは数の2乗なので、最後に平方根を取る。
次に見抜く印：3つの数について「2つずつの積」が3つ与えられたら、積を掛けて別の積で割り、各数の2乗を作る。